北京市四中2011年自主招生考试素质测数学试题(含答案).doc

学校 姓名 准考证号 北京市四中2011年自主招生考试数学素质测试题注意事项：本试题共三大题，满分120分，考试时间120分钟。参考公式： 一、选择题（每小题5分，共30分。以下每小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填均得0分）1、已知 ，则锐角A的取值范围是 （）A B C D（）2、实数满足，并且有实数，使恒成立，则的取值范围是A小于或等于3的实数 B小于3的实数C小于或等于的实数 D小于的实数3、设、是方程的两个实根，若恰有成立，则的值为（）A B或 C D或 1（）4、代数式的最小值为A12 B13 C14 D11（）5、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6六个数。连续掷两次，掷得面向上的点数之和是3的倍数的概率为A B C D （）6、A223300 B333300 C443300 D433300二、填空题（每小题5分，共30分）1、多项式可分解为 。2、已知点位于第二象限，并且，、为整数，则点的个数是 。3、已知的半径，弦、的长分别是、，则的度数是 。4、方程的较大根为，方程的较小根为，则 。5、已知，则的算术平方根是 。6、如图，在中，。将以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的点处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是 。三、解答题（每题12分，共60分）1、现将一个表面涂满红色的正方体的每条棱十等分，此正方体分割成若干个小正方体。在这些小正方体中，求： 两面涂有红色的小正方体的个数； 任取一个小正方体，各面均无色的小正方体的概率； 若将原正方体每条棱等分，只有一面涂有红色的小正方体的个数。2、已知、均为实数，且满足，求：代数式的值。3、在直角中，直角边与直角坐标系中的轴重合，其内切圆的圆心坐标为，若抛物线的顶点为A。求： 求抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向； 用表示B点的坐标； 当取何值时，。4、如图，和是的半径，并且。是上的任意一点，的延长线交于点，点在的延长线上，且。ABQPRO 求证：是的切线； 求证： ； 当时，试确定的取值范围。5、平面上有个点（，为自然数），其中任何三点不在同一直线上。证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于。北京市四中2011年自主招生考试数学素质测试题答案一、选择题（每小题5分，共30分）题号123456答案DCABCB二、填空题（每小题5分，共30分）1、2、63、或4、20085、6、三、解答题（每小题12分，共60分）1、 96块（4分） （4分）（4分）2、由已知条件可知和是方程的两个实数根， 或（4分）当，时，、是方程的两个根此方程没有实数根 （3分）当，时，、是方程的两个根 此方程有实数根，这时3、 对称轴，易见抛物线是以的直角边所在直线为对称轴，由题易得，又当时，即抛物线过，故开口向下。（4分）ABCEDOPyx 如图， 由勾股定理得（4分） ，又，又 （4分）4、 证明：连结， 是的切线 （4分） 证明：延长交于点 （4分） 解：当时，易得，当与重合时，是延长线上的点 与不重合 又 （4分）5、如图，在这个点中，必存在这样的两点，使其它各点均在这两点所在直线同侧，设这两个点为、，其它各点按逆时针方向设为、。当时，连A1A2AnA3A4An-1在中， 则、中必有一个角不大于（6分）当时，则在这个角中，必有一个角不大于设，则即为所求三角形。（6分）- 6 -