单元测试卷第18单元++极限.doc

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第十八单元 极限
一.选择题：
1．= ( )
A． B．0 C． D．
2．用数学归纳法证的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为 ( )
A． B． C． D．
3．已知两点O（0,0），Q（,b）,点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，┅，是线段的中点，则点的极限位置应是 ( )
A．（,） B.() C.() D. ()
4． 10x x>1
若f(x)= 5 x=1 则 的值为 ( )
7-x x<1
A． 5 B. 6 C. 10 D. 不存在
5．的值为 ( )
A． B. 不存在 C. 3 D. 0
6. 的值为 ( )
A． 0 B. 不存在 C. D. 1
7．＝ ( )
A．2 B．4 C． D．0
8．若f(x)在[a,b]上连续且单调递减，又f(x)在[a,b]上的值域为[m,n]，则下列正确的
是 ( )
A． B. C. D.
9. f(x)在x0处连续，是f(x0)有定义的__________条件 ( )
A．充分不必要 B. 充要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
10． ( )
A．－1 B．1 C．－ D．
二.填空题：
11．等比数列1，，，,……所有项和为___________.
12．… =_______________.
13.若，则m=__________,n=__________.
14.若 ， 则a=_________,b=_________.
三.解答题：
15．用数学归纳法证明：能被x －y整除.

16．已知 =,且
（1） 求 ， ，
（2） 猜测{ }的通项公式，并用数学归纳法证明之.

17． 讨论 的值.

18．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.
（Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.

参考答案
一、选择题：
1、A
[解析]: ==
2、C
[解析]: 当n=k到n=k+1时，左边增加了两项,减少了一项,
左边所增加的项为 －=
3、C
[解析]: ∵点的位置应是(
∴点的极限位置应是()
4、B
[解析]: =
5、A
[解析]: =
6、D
[解析]: =
=
7、C
[解析]: =
8、A
[解析]: 若f(x)在[a,b]上连续且单调递减，又f(x)在[a,b]上的值域为[m,n],
则f(a)=n,f(b)=m,而 f(a)
故
9、A
[解析]: f(x)在x0处连续，是f(x0)有定义充分不必要的条件
10、C
[解析]:
二、填空题：
11、2
[解析]: 等比数列1，，，,……所有项和为
12、
[解析]: …
=
=
=
13、2；1
[解析]: 若, 则=
∴
∴
14、1；0
[解析]: ∵
又2
∴
三、解答题：
15、证①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即x2k-1-y2k-1能被x-y整除
则当n=k+1时，
x2k+1-y2k+1= x2x2k-1-y2y2k-1= x2x2k-1-x2y2k-1+x2y2k-1-y2y2k-1= x2(x2k-1-y2k-1)+ (x2-y2)y2k-1
∴x2k+1-y2k+1也能被x-y整除
故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*, x2n-1-y2n-1能被x-y整除
16、解: ∵, ∴
∴
∴(1) = ， = ，=
(2) 猜测=;下面用数学归纳法证
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即=
则当n=k+1时，
故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有=
1 （|a|<1）
17、解:= - （a=1）
-2 （|a|>1）
18、解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为

（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得

因为x1>0，所以a>b.
猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.
（Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N*
由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0<xn<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x1<3－b. 即0<b<3－x1.
而x1∈(0, 2)，所以
由此猜测b的最大允许值是1.
下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N*
①当n=1时，结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2),
则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0.
又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

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