河北省正定中学2013届高三上学期第四次月考数学文试题.doc

正定中学2013届高三上学期第四次月考
数学文试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合=( )
A． B． C． D．
2.设为虚数单位，则复数的共轭复数为( )
A． B． C． D．
3.已知平面向量，且//，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知等比数列的各项都是正数，且成等差数列，则=( )
第5题
A． B． C． D．
5.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6.在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域上恰有两个点在圆（）上，则( )
A． B． C． D．
7.在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在双曲线上，则为( )
A. B. C. D.
8.若存在实数满足，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
9.下列命题中，真命题的个数为( )
①在中，若，则；[来源: HTTP://WX.JTYJY.COM/]
②已知,则在上的投影为；
③已知，为假命题；
④要得到函数的图象，只需将的图象向左平移个单位．
A．1 B．2 C．3 D．4
10.椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为则点位置（ ）
A．必在圆内 B．必在圆上
C．必在圆外 D．以上三种情况都有可能[来源:
11.已知矩形的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线把△折起，则三棱锥的外接球的表面积等于（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13.在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组．已知第二小组的频数是40，则成绩在80—100分的学生人数是 ．

14.设曲线在点处的切线与直线垂直，则

输出
开始

否
是
结束
（第15题）
15.阅读右面的程序框图，则输出的等于 ．

16.设为数列的前项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列是首项为2，公差为的等差数列，且数列是“和等比数列”，则

三、解答题（共5小题，60分，须写出必要的解答过程）
17.已知函数．
（1）求函数的最小值，及取最小值时的值；
（2）设的内角的对边分别为且，，若，求的值．

18.甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2,红桃3,红桃4,方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
（1)设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．
（2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．

A1
B1
C1
A
B
C
M
N
P

19.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，∠，，，分别是，的中点.
（1）证明：∥平面；
（2）若点在线段上，且三棱锥的体积为，求的值．

20.已知函数．[来源:
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．

[来源:
21.如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点.
（1）求的取值范围
（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。

四、选做题．（本小题满分10分．请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）
22.如图，⊙与⊙相交于两点，过点作⊙的切线交⊙于点，过点作两圆的割线，分别交⊙、⊙于点，与相交于点．
（1）求证：//；
（2）若是⊙的切线，且，，，求的长.

23.已知直线：为参数),曲线（为参数）.
（1）设与相交于两点,求；
（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

24.已知函数
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是,求的取值范围.
文科部高三第（四）次月考
数学答案
BCCBB DCBCA CC 15 50 4
17解： ，
则的最小值是，当且仅当
，则，
，
，，，由正弦定理，得
由余弦定理，得，即，由解得．
18解: 解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4 ’表示)为：
（2，3）、（2，4）、（2，4 ’）、（3，2）、（3，4）、（3，4 ’）、
（4，2）、（4，3）、（4，4 ’）、（ 4 ’，2）、（4 ’，3）（4 ’，4），
共12种不同情况
（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为；
（3）由甲抽到牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4 ’，2）、（4 ’，3）5种，
甲胜的概率，乙获胜的概率为．∵＜， ∴此游戏不公平．
19.（Ⅰ）设AC的中点为D，连接DN，A1D.∵D，N分别是AC,BC的中点，=
∴DN∥AB
=
=
又∵A1M=A1B1，A1B1∥AB，∴A1M∥DN∴四边形A1DNM是平行四边形. ∴A1D∥MN
∵A1D平面ACC1A1，MN平面ACC1A1，∴MN∥平面ACC1A

20.解：（1）因为，所以．
当时，，函数没有单调递增区间
当时，令，得．故的单调递增区间为；
当时，令，得．故的单调递增区间为．
（2）解：，由（1）知，时，的单调递增区间为，
单调递减区间为和．
所以函数在处取得极小值，
函数在处取得极大值．
由于对任意，函数在上都有三个零点，所以即
解得． 因为对任意，恒成立，
所以．所以实数的取值范围是
21.解：（Ⅰ）将抛物线代入圆的方程，消去，
整理得．．．．．．．．．．．．．（1）
抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根
∴，解得，因为，所以.
（II）设四个交点的坐标分别为、、、
则直线AC、BD的方程分别为

解得点P的坐标为。
设，由及（Ⅰ）得 w
由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积
则将，代入上式，并令，，
∴，
当时，；当时；当时，
故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，
故所求的点P的坐标为。
22.解：（1）证明：连接，是的切线，.
又
（2）是的切线，是的割线，
..又中由相交弦定理，
得，.是的切线，是的割线，

23.解：（I）的普通方程为的普通方程为
联立方程组解得与的交点为,,则.
（II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,
从而点到直线的距离是,
由此当时,取得最小值,且最小值为.

24.解：(1)由题意，令
解得或，函数的定义域为
(2) ,，即.
由题意,不等式的解集是， 则在上恒成立.
而，故.