江苏省新海高级中学2011届高三第二学期调研考试.doc

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江苏省新海高级中学2011届高三第二学期调研考试
数 学 试 题
一、YCY
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置.
1. 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据除以100后进行分析，得出新样本方差为3，则估计总体的标准差为 ．
2. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____
3. 设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是____ __
4. 若方程的解为，则满足的最大整数 ．
5. 已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 .
6. A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为
7. 对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
8. 如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是_________
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是
10. 在约束条件下,当时,目标函数的最大值的变化范围是
11. 已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是 .
12. 已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是____ ___．
13. 设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是
14. 对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右）上[]是在点左侧的第一个整数点，当是整数时[]就是。这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么= ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本题满分14分)
已知向量设函数
（I）求的最小正周期与单调递减区间；
（II）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值.

E
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

16. (本题满分14分)
在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为CC1的中点．

求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E^平面BDE．

17.(本题满分14分)
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点B
C
D
A
O
P

O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短

18．(本题满分16分)
已知数列{ }、{ }满足：.
(1)求; (2)求数列{ }的通项公式；
(3)设，求实数为何值时恒成立

19. (本题满分16分)
椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）若，求m的取值范围．

20. (本题满分16分)
已知函数(a为实常数).
(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；
(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.

江苏省新海高级中学2011届高三第二学期调研考试
数 学 试 题
一、YCY
填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置.
1. 在总体中抽取了一个样本，为了便于统计，将样本中的每个数据除以100后进行分析，得出新样本方差为3，则估计总体的标准差为 ．
【答案】
2. 箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，先摸出1只球，记下颜色后放回箱子，然后再摸出1只球，则摸到两只不同颜色的球的概率为_____
【答案】
3. 设为曲线上一点,曲线在点处的切线的斜率的范围是,则点纵坐标的取值范围是____ __
【答案】
4. 若方程的解为，则满足的最大整数 ．
【答案】2
5. 已知抛物线的准线与双曲线的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 .【答案】
6. A是圆上固定的一定点，在圆上其他位置任取一点B，连接A、B两点，它是一条弦，它的长度大于等于半径长度的概率为
【答案】
7. 对一切实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是
【答案】
8. 如果圆上总存在两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是_________
【答案】
9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是准线上一点，且，，则双曲线的离心率是
【答案】
10. 在约束条件下,当时,目标函数的最大值的变化范围是
【答案】
11. 已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是 .
【答案】2
12. 已知函数, 数列满足，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是____ ___．
【答案】
13. 设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是
【答案】(－∞，1)
14. 对于任意实数，符号[]表示的整数部分，即[]是不超过的最大整数”。在实数轴R（箭头向右）上[]是在点左侧的第一个整数点，当是整数时[]就是。这个函数[]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。那么= ．
【答案】857
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本题满分14分)
已知向量设函数
（I）求的最小正周期与单调递减区间；
（II）在△ABC中，分别是角A、B、C的对边，若△ABC的面积为，求的值.
解：（I）

…………4分
…………5分

…………7分
（II）由得

…………10分

…………12分

…………14分
E
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1

16. (本题满分14分)
在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为CC1的中点．

求证：（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E^平面BDE．
（1）证明：连接AC，设AC∩BD＝O．由条件得ABCD为正方形，
故O为AC中点．因为E为CC1中点，所以OE∥AC1．
因为OEÌ平面BDE，AC1平面BDE．所以AC1∥平面BDE．
（2）连接B1E．设AB＝a，则在△BB1E中，BE＝B1E＝a，BB1＝2a．所以BE2＋B1E2＝BB12．
所以B1E^BE．由正四棱柱得，A1B1^平面BB1C1C，所以A1B1^BE．
所以BE^平面A1B1E．所以A1E^BE．同理A1E^DE．所以A1E^平面BDE．
17.(本题满分14分)
某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km，BC=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A、B与等距离的一点B
C
D
A
O
P

O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP，设排污管道的总长为ykm。
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；
②设OP=x(km)，将y表示成x的函数关系式；
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短
【解析】本小题主要考查函数最值的应用．
（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故
，又OP＝，
所以，
所求函数关系式为
②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=
所求函数关系式为
（Ⅱ）选择函数模型①，
令0 得sin ，因为，所以=，
当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。

18．(本题满分16分)
已知数列{ }、{ }满足：.
(1)求; (2)求数列{ }的通项公式；
(3)设，求实数为何值时恒成立
解：（1)
∵ ∴ ……………4分
（2）∵ ∴
∴数列{}是以－4为首项，－1为公差的等差数列 ……………6分
∴ ∴ ……………8分
(3)
∴
∴ ……………10分
由条件可知恒成立即可满足条件设
a＝1时，恒成立, a>1时，由二次函数的性质知不可能成立
a<l时，对称轴 ……………13分
f(n)在为单调递减函数．

∴ ∴a<1时恒成立 ……………15分
综上知：a≤1时，恒成立 ……………16分
19. (本题满分16分)
椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）若，求m的取值范围．
（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝，＝，
∴a＝1，b＝c＝，故C的方程为：y2＋＝1　 5′
（2）由＝λ，
∴λ＋1＝4，λ＝3　或O点与P点重合= 7′
当O点与P点重合=时，m=0
当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。
设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*）
x1＋x2＝， x1x2＝　 11′
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 13′
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝，
因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，∴－1<m<－ 或 <m<1
容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝ 16′
20. (本题满分16分)
已知函数(a为实常数).
(1)若，求证：函数在(1，+．∞)上是增函数；
(2)求函数在[1，e]上的最小值及相应的值；
(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.
（1）当时，，当，，
故函数在上是增函数．…………………………………………………4分
（2），当，．
若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时．　………………………………………………6分
若，当时，；当时，，此时
是减函数； 当时，，此时是增函数．故
．
若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时．……………………………………8分
综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，
的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，
相应的x值为．……………………………………………………………………10分
（3）不等式， 可化为．
∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，
因而（）………………………………………………12分
令（），又，…………………14分
当时，，，
从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，
故的最小值为，所以a的取值范围是． ………………………16分

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