学业分层测评(四) 量词 含有一个量词的全题的否定.doc

学业分层测评(四)　量词　含有一个量词的全题的否定
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、填空题
1.下列命题：①任何实数都有平方根；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.其中全称命题是________(填序号).
【解析】　命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题.
【答案】　①②④
2.命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋4<0的否定綈p：________.
【解析】　存在性命题“∃x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“∀x∈M, 綈p(x)”.故填∀x∈R, x2＋2x＋4≥0.
【答案】　∀x∈R，x2＋2x＋4≥0
3.下列命题中，________是全称命题；________是存在性命题.
①正方形的四条边相等；②有两个内角是45°的三角形都是等腰直角三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数.
【解析】　①②③为全称命题，④为存在性命题.
【答案】　①②③　④
4.(2016·保定高二检测)命题“零向量与任意向量共线”的否定为________.
【导学号：24830016】
【解析】　命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”.
【答案】　有的向量与零向量不共线
5.下列4个命题：
p1：∃x∈(0，＋∞)，x＜x ；
p2：∃x∈(0,1)，logx＞logx.
p3：∀x∈(0，＋∞)，x＞logx；p4：
∀x∈，x＜logx.
其中的真命题是________.
【解析】　当x∈(0，＋∞)时，x＞x，故p1错误；取x＝，则logx＝1，logx＝log32＜1，故p2正确；取x＝，则0＜x＜1，logx＝log＝3，即x＜logx，故p3错误；当x∈时，x＜1，而logx＞1，所以x＜logx，故p4正确.
【答案】　p2、p4
6.(2016·洛阳高二检测)已知命题：“∃x∈1,2]，使x2＋2x＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是________.
【解析】　当x∈1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，∴a≥－8.
【答案】　－8，＋∞)
7.(2016·泰州高二检测)已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“∃x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是________.
【解析】　由条件知∴m<－2.
【答案】　(－∞，－2)
8.(2016·义乌高二检测)在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(1－y).若对任意x∈R，不等式(x－a)⊙(x＋a)<1恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】　由x⊙y＝x(1－y)，得(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)
＝－(x－a)x－(1－a)]<1，整理得x2－x－a2＋a＋1>0恒成立，
则Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＝4a2－4a－3<0，解得－<a<.
【答案】　
二、解答题
9.判断下列命题的真假：
(1)∃x0∈(－∞，0)，使3x0＜4x0；
(2)∀x∈，使tan x＞x；
(3)∀x∈R，使sin2x＋cos2x＝1；
(4)∃x∈R，使x－2＞log x.
【解】　(1)由指数函数的图象可知，当x∈(－∞，0)时，3x＞4x恒成立，故(1)为假命题.
(2)当x∈时，tan x＞x恒成立，命题(2)是真命题.
(3)由同角三角函数的基本关系可知(3)为真命题.
(4)结合图象分析可知，∃x∈R，使得x－2＞lg x，故该命题是真命题.
10.判断下列命题的真假，并写出命题的否定：
(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立；
(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0成立；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解.
【解】　(1)对于方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立，所以命题为假命题.它的否定为：对任意实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0不恒成立.
(2)当x＝1时，|x＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x，使|x＋2|>0.
(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解.
能力提升]
1.(2016·咸阳高二检测)四个命题：①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________.
【解析】　x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题，
对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题，4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，
即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.
【答案】　0
2.已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0＜3x0，命题q：∀x∈，cos x＜1，则下列命题：①p∧q；②p∨(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)；⑤(綈p)∨q.
其中的真命题是________.
【导学号：24830017】
【解析】　当x0＜0时，2x0＞3x0，∴不存在x0∈(－∞，0)使得2x0＜3x0成立，即p为假命题，显然∀x∈，恒有cos x＜1，∴命题q为真，∴(綈p)∧q和(綈p)∨q是真命题.
【答案】　③⑤
3.(2016·成都高二检测)设命题p：c2<c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1>0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是________.
【解析】　p：0<c<1；q：由Δ<0知－<c<.∴若p真q假，则得≤c<1.
若p假q真，则得－<c≤0.
综上：≤c<1或－<c≤0.
【答案】　－<c≤0或≤c<1
4.已知命题p：“∀x∈1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围.
【解】　由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题.
若p为真命题，则a≤x2对于x∈1,2]恒成立.∴a≤1.
若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，
∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.
综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1.