复变函数——公式集合.doc

第一章  随机事件和概率 
（1）排列组合公式
   从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。
  从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n
某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。
（3）一些常见排列
重复排列和非重复排列（有序）
对立事件（至少有一个）
顺序问题
（4）随机试验和随机事件
如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
（5）基本事件、样本空间和事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：
①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；
②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。
这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。
基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。
一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。
为必然事件，Ø为不可能事件。
不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算
①关系：
如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：
如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。
A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。
②运算：
 结合率：A(BC)=(AB)C  A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)  (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
 德摩根率：     ，
（7）概率的公理化定义
设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：
1° 0≤P(A)≤1，
2° P(Ω) =1
3° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有

常称为可列（完全）可加性。
则称P(A)为事件 的概率。
（8）古典概型
1° ，
2° 。
设任一事件 ，它是由 组成的，则有
P(A)=  =

（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，
。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
（12）条件概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：
更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有
… …… … 。
（14）独立性
①两个事件的独立性
设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。
若事件 、 相互独立，且 ，则有

若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。
必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件 满足
1° 两两互不相容， ，
2° ，
则有
。
（16）贝叶斯公式
设事件 ， ，…， 及 满足
1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，
2° ， ，
则
，i=1，2，…n。
此公式即为贝叶斯公式。
，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了 次试验，且满足
u       每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； 
u       次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
u       每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。
用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率，
， 。
第二章  随机变量及其分布 
（1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） ， ，  （2） 。
（2）连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
，       
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：
1°  。
2°  。
（3）离散与连续型随机变量的关系

积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。
（4）分布函数
设 为随机变量， 是任意实数，则函数

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
  可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1°     ；
2°  是单调不减的函数，即 时，有 ；
3°  ，  ；
4°  ，即 是右连续的；
5°  。
对于离散型随机变量， ；
对于连续型随机变量，  。
（5）八大分布
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
，  其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布

随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布
设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即

a≤x≤b
      其他，
则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为

       a≤x≤b

0，           x<a，

1，          x>b。

当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ ）内的概率为
。
指数分布
       ,

0,             ,

 其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。
X的分布函数为
      ,

            x<0。

 记住积分公式：

正态分布
设随机变量 的密度函数为
，  ，
其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。
具有如下性质：
1°  的图形是关于 对称的；
2°  当 时， 为最大值；
若 ，则 的分布函数为
。。

参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为
， ，
分布函数为
。
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。
如果 ~ ，则 ~ 。
。   
（6）分位数
下分位表： ；
上分位表： 。
（7）函数分布
离散型
已知 的分布列为
  ，
的分布列（ 互不相等）如下：
，
若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
连续型
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
第三章  二维随机变量及其分布
（1）联合分布
离散型
如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。
设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称

为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
      Y
X
y1
y2
…
yj
…
x1
p11
p12
…
p1j
…
x2
p21
p22
…
p2j
…

xi
pi1

…

…

这里pij具有下面两个性质：
（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；
（2）
连续型
对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有

则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
    分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）       f(x,y)≥0;
（2）
（2）二维随机变量的本质

（3）联合分布函数
设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。
    分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：
（1）
（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即
当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1);
（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

（4）
（5）对于
.
（4）离散型与连续型的关系

（5）边缘分布
离散型
X的边缘分布为
；
Y的边缘分布为
。
连续型
X的边缘分布密度为

Y的边缘分布密度为

（6）条件分布
离散型
在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为

在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为

连续型
在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为
；
在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为

（7）独立性
一般型
F(X,Y)=FX(x)FY(y)
离散型

有零不独立
连续型
f(x,y)=fX(x)fY(y)
直接判断，充要条件：
①可分离变量
②正概率密度区间为矩形
二维正态分布

＝0
随机变量的函数
若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则：
h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。
特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。
例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。
（8）二维均匀分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。
例如图3.1、图3.2和图3.3。
y
1

     D1
O      1          x

图3.1

y
D2

1
1

O              2  x

图3.2

y
D3
d

c
O  a          b   x
图3.3

（9）二维正态分布
设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，
记为（X，Y）～N（
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即X～N（
但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。
（10）函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
， 
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：

分布
设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和

的分布密度为

我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ ，其中

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。
分布满足可加性：设

则

t分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

可以证明函数

的概率密度为

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。

F分布
设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).

第四章  随机变量的数字特征
（1）一维随机变量的数字特征

离散型
连续型
期望
期望就是平均值
设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，

（要求绝对收敛）
设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，

（要求绝对收敛）
函数的期望
Y=g(X)

Y=g(X)

方差
D(X)=E[X-E(X)]2，
标准差
，

矩
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即
νk=E(Xk)= , k=1,2, ….
②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即

= ， k=1,2, ….
①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即
νk=E(Xk)=
 k=1,2, ….
②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即

=
k=1,2, ….
切比雪夫不等式
设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式

切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率

的一种估计，它在理论上有重要意义。
（2）期望的性质
（1）       E(C)=C
（2）       E(CX)=CE(X)
（3）       E(X+Y)=E(X)+E(Y)，
（4）       E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；
                         充要条件：X和Y不相关。
（3）方差的性质
（1）       D(C)=0；E(C)=C
（2）       D(aX)=a2D(X)；  E(aX)=aE(X)
（3）       D(aX+b)= a2D(X)；  E(aX+b)=aE(X)+b
（4）       D(X)=E(X2)-E2(X)
（5）       D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；
                            充要条件：X和Y不相关。
          D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。
而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。
（4）常见分布的期望和方差

期望
方差
0-1分布
p

二项分布
np

泊松分布

几何分布

超几何分布

均匀分布

指数分布

正态分布

n
2n
t分布
0
(n>2)
（5）二维随机变量的数字特征
期望

函数的期望
＝

＝

方差

协方差
对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即

与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。
相关系数
对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称

为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。
    | |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关：
完全相关
而当 时，称X与Y不相关。
以下五个命题是等价的：
① ；
②cov(X,Y)=0;
③E(XY)=E(X)E(Y);
④D(X+Y)=D(X)+D(Y);
⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y).
协方差矩阵

混合矩
对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：

（6）协方差的性质
(i)              cov (X, Y)=cov (Y, X);
(ii)          cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);
(iii)       cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);
(iv)              cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).
（7）独立和不相关
（i）                   若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。
（ii）               若（X，Y）～N（ ），
则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。
第五章  大数定律和中心极限定理
（1）大数定律

切比雪夫大数定律
设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有

    特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为

伯努利大数定律
设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有

    伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即

这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。
辛钦大数定律
设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有

（2）中心极限定理

列维－林德伯格定理
设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： ，则随机变量

的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有

此定理也称为独立同分布的中心极限定理。
棣莫弗－拉普拉斯定理
设随机变量 为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有

（3）二项定理
若当 ，则

超几何分布的极限分布为二项分布。
（4）泊松定理
若当 ，则

其中k=0，1，2，…，n，…。
二项分布的极限分布为泊松分布。
第六章 样本及抽样分布
（1）数理统计的基本概念
总体
在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。
个体
总体中的每一个单元称为样品（或个体）。
样本
我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。
样本函数和统计量
设 为总体的一个样本，称
   （ ）
为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。
常见统计量及其性质
样本均值               
样本方差               
样本标准差         
样本k阶原点矩         

样本k阶中心矩

， ，
， ,
其中 ，为二阶中心矩。
（2）正态总体下的四大分布
正态分布
设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

t分布
设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。

设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

其中 表示自由度为n-1的 分布。
F分布
设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数

其中

表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。
（3）正态总体下分布的性质
与 独立。
第七章  参数估计
（1）点估计
矩估计
设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。

若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。
极大似然估计
当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。又设 为总体的一个样本，称

为样本的似然函数，简记为Ln.
    当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称

为样本的似然函数。
    若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。

若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。
（2）估计量的评选标准
无偏性
设 为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。
E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X）
有效性
设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。
一致性
设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有

则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。

若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。
只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。
（3）区间估计
置信区间和置信度
设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即

那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。
单正态总体的期望和方差的区间估计

设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下：
（i）选择样本函数；
（ii）由置信度 ，查表找分位数；
（iii）导出置信区间 。
已知方差，估计均值
（i）选择样本函数

(ii) 查表找分位数

（iii）导出置信区间

未知方差，估计均值
（i）选择样本函数

    (ii)查表找分位数

（iii）导出置信区间

方差的区间估计
（i）选择样本函数

（ii）查表找分位数

    （iii）导出 的置信区间

第八章  假设检验
基本思想
假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。
    为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。
    这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。
基本步骤
假设检验的基本步骤如下：
(i)              提出零假设H0；
(ii)          选择统计量K；
(iii)       对于检验水平α查表找分位数λ；
(iv)          由样本值 计算统计量之值K；
将 进行比较，作出判断：当 时否定H0，否则认为H0相容。
两类错误

第一类错误
当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即
P{否定H0|H0为真}= ；
此处的α恰好为检验水平。
第二类错误
当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即
P{接受H0|H1为真}= 。
两类错误的关系
人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。
在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。

单正态总体均值和方差的假设检验
条件
零假设
统计量
对应样本
函数分布
否定域
已知

N（0，1）

未知

未知