资源描述
第3讲 函数的奇偶性与周期性
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)等于 ( )．
A．－5 B．－6 C．－ D．－
解析 f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．
∵log26－2＝log2∈(0,1)，∴f＝，
∴f(log6)＝－.
答案 D
2．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于 ( )．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.
答案 A
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是 ( )．
A．f>f B．f(sin 1)<f(cos 1)
C．f<f D．f(cos 2)>f(sin 2)
解析 当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，
显然当x∈[－1,0]时，f(x)为增函数；当x∈[0,1]时，f(x)为减函数，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f.
答案 A
4．(2013·连云港一模)已知函数f(x)＝则该函数是 ( )．
A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
解析 当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析 由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
答案 0
6．(2012·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
解析 因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，所以当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
答案 －1
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解 (1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．
8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围．
解 由偶函数性质知f(x)在[0,2]上单调递增，且f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)，
因此f(1－m)<f(m)等价于
解得：<m≤2.
因此实数m的取值范围是.
B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则 ( )．
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数
解析 由已知条件，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)．由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(－x＋2)＝－f(x)；由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－x－2)＝－f(x)．则f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即函数f(x＋3)也是奇函数．
答案 D
2．(2012·福建)设函数D(x)＝则下列结论错误的是 ( )．
A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数
C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
解析 显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误．
答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．f(x)＝2x＋sin x为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是 ________.
解析 f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－a)<f(2a－1)等价于
解得<a<1.
答案
4．若定义域为R的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，则下列结论：①f(x)的图象关于点对称；②f(x)的图象关于直线x＝对称；③f(x)是周期函数，且2是它的一个周期；④f(x)在区间(－1,1)上是单调函数．其中所有正确的序号是________．
解析 由函数为奇函数且满足f(1＋x)＝－f(x)，得f(x＋2)＝f(x)，又f＝－f，f＝f，所以②③正确．
答案 ②③
三、解答题(共25分)
5．(12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数．求实数a的取值范围．
解 (1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0)
显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，
因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，
所以函数f(x)＝x2＋既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f′(x)＝2x－＝，
当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
当a>0时，由f′(x)＝>0，
解得x> ，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
可知 ≤2.解得0<a≤16.
综上可知实数a的取值范围是(－∞，16]．
6．(13分)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)＝x，求使f(x)＝－在[0,2 014]上的所有x的个数．
(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数．
(2)解 当0≤x≤1时，f(x)＝x，
设－1≤x≤0，则0≤－x≤1，
∴f(－x)＝(－x)＝－x.
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.
故f(x)＝x(－1≤x≤1)．
又设1<x<3，则－1<x－2<1，
∴f(x－2)＝(x－2)．
又∵f(x)是以4为周期的周期函数
∴f(x－2)＝f(x＋2)＝－f(x)，∴－f(x)＝(x－2)，
∴f(x)＝－(x－2)(1<x<3)．
∴f(x)＝
由f(x)＝－，解得x＝－1.
∵f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(x)＝－的所有x＝4n－1(n∈Z)．
令0≤4n－1≤2 014，则≤n≤.
又∵n∈Z，∴1≤n≤503(n∈Z)，
∴在[0,2 014]上共有503个x使f(x)＝－.
特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
