《创新设计》2014届高考数学人教A版（理）一轮复习【配套word版文档】：第二篇第3讲函数的奇偶性与周期性.doc

第3讲 函数的奇偶性与周期性

A级　基础演练(时间：30分钟　满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋2)＝f(x)，又当x∈(0,1)时，f(x)＝2x－1，则f(log6)等于 (　　)．
A．－5 B．－6 C．－ D．－
解析　f(log6)＝－f(log26)＝－f(log26－2)．
∵log26－2＝log2∈(0,1)，∴f＝，
∴f(log6)＝－.
答案　D
2．(2011·安徽)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)等于 (　　)．
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析　∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.
答案　A
3．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋2)，当x∈[3,5]时，f(x)＝2－|x－4|，则下列不等式一定成立的是 (　　)．
A．f>f B．f(sin 1)f(sin 2)
解析　当x∈[－1,1]时，x＋4∈[3,5]，由f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)＝2－|x＋4－4|＝2－|x|，
显然当x∈[－1,0]时，f(x)为增函数；当x∈[0,1]时，f(x)为减函数，cos＝－，sin ＝>，又f＝f>f，所以f>f.
答案　A
4．(2013·连云港一模)已知函数f(x)＝则该函数是 (　　)．
A．偶函数，且单调递增 B．偶函数，且单调递减
C．奇函数，且单调递增 D．奇函数，且单调递减
解析　当x>0时，f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．当x＝0时，f(0)＝0，故f(x)为奇函数，且f(x)＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f(x)＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x≥0时1－2－x≥0，x<0时2x－1<0，故f(x)为R上的增函数．
答案　C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.
解析　由题意知，函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则f(1)＝f(－1)，∴1－|1＋a|＝1－|－1＋a|，∴a＝0.
答案　0
6．(2012·上海)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.
解析　因为y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，所以当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
答案　－1
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意x，y，f(x)都满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)．
(1)求f(1)，f(－1)的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解　(1)因为对定义域内任意x，y，f(x)满足f(xy)＝yf(x)＋xf(y)，所以令x＝y＝1，得f(1)＝0，令x＝y＝－1，得f(－1)＝0.
(2)令y＝－1，有f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)，代入f(－1)＝0得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数．
8．(13分)设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[－2,0]上单调递减，若f(1－m)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数
解析　由已知条件，得f(－x＋1)＝－f(x＋1)，f(－x－1)＝－f(x－1)．由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，得f(－x＋2)＝－f(x)；由f(－x－1)＝－f(x－1)，得f(－x－2)＝－f(x)．则f(－x＋2)＝f(－x－2)，即f(x＋2)＝f(x－2)，由此可得f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(x＋3)＝f(x－1)，即函数f(x＋3)也是奇函数．
答案　D
2．(2012·福建)设函数D(x)＝则下列结论错误的是 (　　)．
A．D(x)的值域为{0,1} B．D(x)是偶函数
C．D(x)不是周期函数 D．D(x)不是单调函数
解析　显然D(x)不单调，且D(x)的值域为{0,1}，因此选项A、D正确．若x是无理数，－x，x＋1是无理数；若x是有理数，－x，x＋1也是有理数．∴D(－x)＝D(x)，D(x＋1)＝D(x)．则D(x)是偶函数，D(x)为周期函数，B正确，C错误．
答案　C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．f(x)＝2x＋sin x为定义在(－1,1)上的函数，则不等式f(1－a)＋f(1－2a)<0的解集是 ________.
解析　f(x)在(－1,1)上是增函数，且f(x)为奇函数．于是原不等式为f(1－a)．
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数．求实数a的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
当a＝0时，f(x)＝x2，(x≠0)
显然为偶函数；当a≠0时，f(1)＝1＋a，f(－1)＝1－a，
因此f(1)≠f(－1)，且f(－1)≠－f(1)，
所以函数f(x)＝x2＋既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)f′(x)＝2x－＝，
当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
当a>0时，由f′(x)＝>0，
解得x> ，由f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
可知 ≤2解得0x)，
∴－f(x)＝－x，即f(x)＝x.
故f(x)＝x(－1≤x≤1)．
又设1