九年级下册数学《二次函数》二次函数的性质.doc

二次函数的性质
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一、本节学习指导
二次函数的知识无论是大考小考中都占据相当大的比例，分值也由2分的选择题到20+分的大题不等。但是无论怎么考，内容还是在二次函数的概念、图形、性质、系数之间变化。这一节我们重点掌握二次函数的性质，以及各个系数之间的关系。

二、知识要点
1、二次函数的性质
1. 当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；当时，y有最小值。
2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当时，有最大值。

2、二次函数解析式的表示方法
（1） 一般式：（，，为常数，）；
（2） 顶点式：（，，为常数，）；
（3）两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

3、二次函数的图象与各项系数之间的关系
（1）. 二次项系数a
二次函数中，作为二次项系数，显然．
⑴ 当a＞0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
⑵ 当a＜0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
结论：a决定抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小．
（2）. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在a＞0的前提下，
当b＞0时，，即抛物线的对称轴在y轴左侧；
当b＝0时，，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b＜0时，，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

⑵ 在a＜0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b＞0时，，即抛物线的对称轴在y轴右侧；
当b＝0时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当b＜0时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
结论：在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴在y轴左边则ab＞0，在y轴的右侧则ab＜0，概括的说就是“左同右异”

（3）. 常数项c
⑴ 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c＝0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
⑶ 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
结论：只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

4、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

三、经验之谈：
在二次函数的性质中我们要重点了解函数的增减性，所谓增减性就是指：当x发生变化时，y值如何变化，增减性在任何函数中都存在。二次函数中，增减性的界限就是对称轴，对称轴左右两边的增减性永远是相反的变化，且只有两种增减性。
关于系数的关系和表示的信息我们要理解，这是确定二次函数解析式的关键。

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