高三物理教案机械振动及机械波.doc

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简谐振动、振动图像
一、机械振动
1、机械振动：物体（或物体的一部分）在某一中心位置两侧做的往复运动．
振动的特点:①存在某一中心位置;②往复运动,这是判断物体运动是否是机械振动的条件.
产生振动的条件:①振动物体受到回复力作用;②阻尼足够小;
2、回复力：振动物体所受到的总是指向平衡位置的合外力．
①回复力时刻指向平衡位置;②回复力是按效果命名的, 可由任意性质的力提供．可以是几个力的合力也可以是一个力的分力; ③合外力：指振动方向上的合外力，而不一定是物体受到的合外力．④在平衡位置处：回复力为零，而物体所受合外力不一定为零．如单摆运动，当小球在最低点处，回复力为零，而物体所受的合外力不为零．
3、平衡位置：是振动物体受回复力等于零的位置；“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态）
二、简谐振动及其描述物理量
1、振动描述的物理量
（1）位移：由平衡位置指向振动质点所在位置的有向线段．
①是矢量，其最大值等于振幅；②始点是平衡位置，所以跟回复力方向永远相反；③位移随时间的变化图线就是振动图象．
（2）振幅：离开平衡位置的最大距离．
①是标量； ②表示振动的强弱；
（3）周期和频率：完成一次全变化所用的时间为周期T，每秒钟完成全变化的次数为频率f．
①二者都表示振动的快慢；②二者互为倒数；T=1/f；③当T和f由振动系统本身的性质决定时（非受迫振动），则叫固有频率与固有周期是定值，固有周期和固有频率与物体所处的状态无关．
2、简谐振动：物体所受的回复力跟位移大小成正比时，物体的振动是简偕振动．
①受力特征：回复力F=—KX。
②运动特征：加速度a=一kx／m，方向与位移方向相反，总指向平衡位置。简谐运动是一种变加速运动，在平衡位置时，速度最大，加速度为零；在最大位移处，速度为零，加速度最大。
说明：①判断一个振动是否为简谐运动的依据是看该振动中是否满足上述受力特征或运动特征。
②简谐运动中涉及的位移、速率、加速度的参考点，都是平衡位置.
【例1】如图所示，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于O位置，现将小球由O位置再下拉一小段距离后释放（在弹性限度内），试证明释放后小球的上下振动是简谐振动，
证明：设小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，小球处在O位置有：mg—kΔx=0………①
式中Δx为小球处在O位置时弹簧的伸长量．
再设小球离开O点的位移x（比如在O点的下方），并取x为矢量正方向，此时小球受到的合外力∑Fx为：∑Fx =mg－k（x＋Δx）②
由①②两式可得：∑Fx =－kx, 所以小球的振动是简谐振动，O点即其振动的平衡位置．
三．弹簧振子：
1、一个可作为质点的小球与一根弹性很好且不计质量的弹簧相连组成一个弹簧振子．一般来讲，弹簧振子的回复力是弹力（水平的弹簧振子）或弹力和重力的合力（竖直的弹簧振子）提供的．弹簧振子与质点一样，是一个理想的物理模型．
2、弹簧振子振动周期：T=2，只由振子质量和弹簧的劲度决定，与振幅无关，也与弹簧振动情况。
3、可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是。这个结论可以直接使用。
4、在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
【例2】如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（ ）
A、Mg； B．（M－m）g； C、（M＋m）g ； D、（M＋2m）g
【解析】当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为x1＝2 mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为A＝x2－x1= mg／k
D物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．
四、振动过程中各物理量的变化情况
振动体位置
位移X
回复力F
加速度a
速度v
势能
动能
方向
大小
方向
大小
方向
大小
方向
大小
平衡位置O

0

0

0

最大
最小
最大
最大位移处A
指向A
最大
指向O
最大
指向O
0→最大

0
最大
最小
平衡位置O→最大位移处A
指向A
0→最大
指向O
0→最大
指向O
最大
O→A
最大→0
最小→最大
最大→最小
最大位移处A→平衡位置O
指向A
最大→0
指向O
最大→0
指向O
最大→0
A→O
0→最大
最大→最小
最小→最大
【例3】如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0．2s，从b再回到a的最短时间为0．4s，则该振子的振动频率为（ ）。
（A）1Hz；（B）1.25Hz （C）2Hz；（D） 2．5Hz
解析：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经O到a所用的时间也是0．2s，由于“从b再回到a的最短时间是0．4s，”说明振子运动到b后是第一次回到a点，且Ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b→c→b历时0．2s，同理，振子从a→d→a，也历时0．2s，故该振子的周期T＝0．8s，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1．25Hz。 综上所述，本题应选择（B）。
五、简谐运动图象
1.物理意义：表示振动物体（或质点）的位移随时间变化的规律．
2.坐标系：以横轴表示时间，纵轴表示位移，用平滑曲线连接各时刻对应的位移末端即得
3.特点：简谐运动的图象是正弦（或余弦）曲线．
4.应用：①可直观地读取振幅A、周期T以及各时刻的位移x；
②判定各时刻的回复力、速度、加速度方向；
③判定某段时间内位移、回复力、加速度、速度、动能、势能、等物理量的变化情况
注意：①振动图象不是质点的运动轨迹．
②计时点一旦确定，形状不变，仅随时间向后延伸。
③简谐运动图像的具体形状跟计时起点及正方向的规定有关。
1、简谐运动的特点
【例4】（1995年全国）一弹簧振子作简谐振动，周期为T（ ）
A．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B．若t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则上t一定等于T/2的整数倍
C．若Δt=T，则在 t时刻和（t＋Δt）时刻振子运动的加速度一定相等
D．若Δt＝T/2，则在t时刻和（t十Δt）时刻弹簧的长度一定相等
解析:做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A错误。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过程中，速度大小相等、方向相反的位里之间的时间间隔小于T/2，选项B错误。相差T/2的两个时刻，弹黄的长度可能相等，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相等、也可能不相等、选项D错误。若Δt＝T，则根据周期性，该振子所有的物理量应和t时刻都相同，a就一定相等，所以，选项C正确。
本题也可通过振动图像分析出结果，请你自己尝试一下。

2、弹簧振子模型
【例5】如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹簧上。若使 A随 B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当 A的回复力的是 。当A的速度达到最大时，A对B的压力大小为 。
解析：根据题意，只要在最高点A、B仍能相对静止，则它们就会始终不脱离。而在最高点，外界对A所提供的最大回复力为mg，即最大加速度amax=g，故A、B不脱离的条件是a≤g，可见，在振动过程中，是A的重力和B对A的支持力的合力充当回复力。
因为A在系统的平衡位置时，速度最大，此时A所受重力与B对它的支持力的合力为零，由牛顿第三定律可知，a对B的压力大小等于其重力mg。
拓展：①要使不脱离B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例，设弹簧的劲度系数为k，B的质量为mB，因为mg=mamax，振幅最大时，a才有最大值，，是由kAmax=（m+mB）g，得Amax= m+mB）g/k。
②运动至最低点时A对B的最大压力是多少?③若让A从离静止的B上方h处自由下落与B相碰一起运动,则在最低点的加速度一定满足a>g,为什么?

单摆、振动中的能量
一、单摆
1、单摆：在细线的一端挂上一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸缩和质量可以忽略，球的直径比线长短得多，这样的装置叫做单摆．
这是一种理想化的模型，一般情况下细线（杆）下接一个小球的装置都可作为单摆．
2、单摆振动可看做简谐运动的条件是：在同一竖直面内摆动,摆角θ＜100．
3、单摆振动的回复力是重力的切向分力，不能说成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回复力是零，但合力是向心力，指向悬点，不为零。
4、单摆的周期：当 l、g一定，则周期为定值 T=2π，与小球是否运动无关．与摆球质量m、振幅A都无关。其中摆长l指悬点到小球重心的距离，重力加速度为单摆所在处的测量值。要区分摆长和摆线长。
5、小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同。只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动。这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r的差。
6、秒摆：周期为2s的单摆．其摆长约为lm.
（3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是（）
A．位移；B．速度；C．加速度； D．动量；E．动能；F．摆线张力
解析：过同一位置，位移、回复力和加速度不变；由机械能守恒知，动能不变，速率也不变，摆线张力mgcosα＋m v2/L也不变；由运动分析，相邻两次过同一点，速度方向改变，从而动量方向也改变，故选B、D．
如果有兴趣的话，可以分析一下，当回复力由小变大时，上述哪些物理量的数值是变小的？
从（1）、（2）、（3）看出，解决此类问题的关键是把图象和实际的振动—一对应起来．
（5）若单摆摆球在最大位移处摆线断了，此后球做什么运动？若在摆球过平衡位置时摆线断了，摆球又做什么运动？
二、振动的能量
1、对于给定的振动系统，振动的动能由振动的速度决定，振动的势能由振动的位移决定，振动的能量就是振动系统在某个状态下的动能和势能的总和．
2、振动系统的机械能大小由振幅大小决定，同一系统振幅越大，机械能就越大．若无能量损失，简谐运动过程中机械能守恒，做等幅振动．
3、阻尼振动与无阻尼振动
（1)振幅逐渐减小的振动叫做阻尼振动．
（2)振幅不变的振动为等幅振动，也叫做无阻尼振动．
4.受迫振动
（1)振动系统在周期性驱动力作用下的振动叫做受迫振动．
（2)受迫振动稳定时，系统振动的频率等于驱动力的频率，跟系统的固有频率无关．
5.共振
（1)当驱动力的频率等于振动系统的固有频率时，物体的振幅最大的现象叫做共振．
(2）条件：驱动力的频率等于振动系统的固有频率．
（3)共振曲线．如图所示．
1、单摆的等效问题
①等效摆长：如图所示，当小球垂直纸面方向运动时，摆长为CO．
②等效重力加速度：当单摆在某装置内向上运动加速度为a时，T＝2π；当向上减速时T=2π，影响回复力的等效加速度可以这样求，摆球在平衡位置静止时，摆线的张力T与摆球质量的比值．
说明：据动量守恒条件，2m在A位置时，m在 B位置，当2 m运动到A/时，m运动到B/。
【例5】如图所示，三根细线OA, OB,OC结于O点，A,B端固定在同一水平面上且相距为L，使AOB成一直角三角形，∠BAO = 300，已知OC绳长也为L，下端C点系一个可视为质点的小球，下面说法中正确的是
300
B
A
C
O
A、当小球在纸面内做小角度振动时,周期为：
B.当小球在垂直纸面方向做小角度振动时，周期为
C.当小球在纸面内做小角度振动时，周期为
D.当小球在垂直纸面内做小角度振动时，周期为
解析:当小球在纸面内做简谐振动时，是以0点为圆心,OC长L为半径做变速圆周运动，OA和OB绳没有松弛，其摆长为L,所以周期是；当小球在垂直于纸面的方向上做简谐振动时，摆球是以OC的延长线与AB交点为圆心做振动,其等效的摆长为L十Lsin600/2=L十L/4 ,其周期为,故选A.
【例5】在图中的几个相同的单摆在不同的条件下，关于它们的周期关系，判断正确的是（ ）
＋
A、T1＞T2＞T3＞T4； B、T1＜T2=T3＜T4
C、T1＞T2=T3＞T4、； 、 D、T1＜T2＜T3＜T4
【解析】单摆的周期与重力加速度有关．这是因为是重力的分力提供回复力．当单摆处于（1）图所示的条件下，当摆球偏离平衡位置后，是重力平行斜面的分量（mgsinθ）沿切向分量提供回复力，回复力相对竖直放置的单摆是减小的，则运动中的加速度减小，回到平衡位置的时间变长，周期T1＞T3．对于（2）图所示的条件，带正电的摆球在振动过程中要受到天花板上带正电小球的斥力，但是两球间的斥力与运动的方向总是垂直，不影响回复力，故单摆的周期不变，T2=T3．在（4）图所示的条件下，单摆与升降机一起作加速上升的运动，也就是摆球在该升降机中是超重的，相当于摆球的重力增大，沿摆动的切向分量也增大，也就是回复力在增大，摆球回到相对平衡的位置时间变短，故周期变小，T4＜T3．综上所述，只有C选项正确．
2、摆钟问题
单摆的一个重要应用就是利用单摆振动的等时性制成摆钟。在计算摆钟类的问题时，利用以下方法比较简单：在一定时间内，摆钟走过的格子数n与频率f成正比（n可以是分钟数，也可以是秒数、小时数……），再由频率公式可以得到：
【例6】有一摆钟的摆长为ll时，在某一标准时间内快amin。若摆长为l2时，在同一标准时间内慢bmin。，求为使其准确，摆长应为多长？（可把钟摆视为摆角很小的单摆）。
【解析】设该标准时间为ts，准确摆钟摆长为lm，走时快的钟周期为T1s，走慢时的周期为T2s，准确的钟周期为T3。不管走时准确与否，钟摆每完成一次全振动，钟面上显示时间都是Ts。
（法一）由各摆钟在ts内钟面上显示的时间求解，
对快钟： t＋60a=T； 对慢钟： t— 60a=T
联立解，可得== 最后可得L=。
（法二）由各摆钟在ts内的振动次数关系求解：
设快钟的 t s内全振动次数为 nl，慢钟为 n2，准确的钟为n。显然，快钟比准确的钟多振动了60a/T次，慢钟比准确的钟少振动60b/T次，故：
对快钟：nl＝t/T1＝n＋60a/T＝t/T+60a/T
对慢钟：n2＝t/T2＝n－60b/T＝t/T－60b/T
联解①②式，并利用单摆周期公式T＝2同样可得L=
3、单摆的综合应用
【例7】（1998年全国）图中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好触．现将摆球A在两摆线所在平面向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两球分开各自做简谐运动．以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则（ ）
A．如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
解析：由于两球线长相等,所以两球做单摆运动的周期必然相等.两球相碰后有这几种可能:①碰后两球速度方向相反,这样两球各自到达最高点再返回到平衡位置所用的时间相等,故两球只能在平衡位置相遇;②碰后两球向同一方向运动,则每个球都先到达最大位移处然后返回平衡位置,所用的时间也都是半个周期,两球仍只能在平衡位置相遇;③碰后一球静止,而另一球运动,则该球先到最大位移又返回到平衡位置,所用时间还是半个周期,在平衡位置相遇.
因此，不管mA＞mB，还是mA＜mB 还是mA＝mB ，无论摆球质量之比为多少，下一次碰撞都只能发生在平衡位置，也就是说不可能发生在平衡位置的右侧或左侧，所以选项C、D正确．

波的性质与波的图像
一、机械波
1、定义：机械振动在介质中传播就形成机械波．
2、产生条件:(1)有作机械振动的物体作为波源．(2)有能传播机械振动的介质．
3、分类:①横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直．凸起部分叫波峰，凹下部分叫波谷
②纵波：质点的振动方向与波的传播方向在一直线上．质点分布密的叫密部，疏的部分叫疏部，液体和气体不能传播横波。
4.机械波的传播过程
(1)机械波传播的是振动形式和能量．质点只在各自的平衡位置附近做振动，并不随波迁移．后一质点的振动总是落后于带动它的前一质点的振动。
(2）介质中各质点的振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同．
(3)由波源向远处的各质点都依次重复波源的振动．
二、描述机械波的物理量
1．波长λ：两个相邻的，在振动过程中相对平衡位置的位移总是相等的质点间的距离叫波长．在横波中，两个相邻的波峰或相邻的波谷之间的距离．在纵波中两相邻的的密部（或疏部）中央间的距离，振动在一个周期内在介质中传播的距离等于波长
2．周期与频率．波的频率由振源决定，在任何介质中传播波的频率不变。波从一种介质进入另一种介质时，唯一不变的是频率（或周期），波速与波长都发生变化．
3．波速：单位时间内波向外传播的距离。v=s/t=λ/T=λf，波速的大小由介质决定。
三、说明:①波的频率是介质中各质点的振动频率，质点的振动是一种受迫振动，驱动力来源于波源，所以波的频率由波源决定，是波源的频率.
波速是介质对波的传播速度．介质能传播波是因为介质中各质点间有弹力的作用，弹力越大，相互对运动的反应越灵教，则对波的传播速度越大．通常情况下，固体对机械波的传摇速度校大，气体对机械波的传播速度较小．对纵波和横波，质点间的相互作用的性质有区别，那么同一物质对纵波和对横波的传播速度不相同．所以，介质对波的传播速度由介质决定，与振动频率无关．
波长是质点完成一次全振动所传播的距离,所以波长的长度与波速v和周期T有关．即波长由波源和介质共同决定．
由以上分析知，波从一种介质进入另一种介质，频率不会发生变化，速度和波长将发生改变．
②振源的振动在介质中由近及远传播，离振源较远些的质点的振动要滞后一些，这样各质点的振动虽然频率相同，但步调不一致，离振源越远越滞后．沿波的传播方向上，离波源一个波长的质点的振动要滞后一个周期，相距一个波长的两质点振动步调是一致的．反之，相距1/2个波长的两质点的振动步调是相反的．所以与波源相距波长的整数倍的质点与波源的振动同步（同相振动）；与波源相距为1/2波长的奇数倍的质点与波源派的振动步调相反（反相振动．）
【例1】一简谐横波的波源的振动周期为1s，振幅为1crn，波速为1m／s，若振源质点从平衡位置开始振动，且从振源质点开始振动计时，当 t＝0．5s时（ ）
A．距振源¼λ处的质点的位移处于最大值 B．距振源¼λ处的质点的速度处于最大值
C．距振源½λ处的质点的位移处于最大值 D．距振源½λ处的质点的速度处于最大值
解析：根据题意，在0．5s 内波传播的距离 Δx＝vt＝0．5m．即Δx=½λ．也就是说，振动刚好传播到½λ处，因此该处的质点刚要开始振动，速度和位移都是零，所以选项C、D都是不对的，振源的振动传播到距振源¼λ位置需要的时间为T/4=0。25s，所以在振源开始振动0．5 s后．¼λ处的质点，振动了0．25 s，即1/4个周期，此时该质点应处于最大位移处，速度为零． 答案：A
四、波的图象
（1）波的图象
①坐标轴：取质点平衡位置的连线作为x轴，表示质点分布的顺序；取过波源质点的振动方向作为Y轴表示质点位移．
②意义：在波的传播方向上，介质中质点在某一时刻相对各自平衡位置的位移．
③形状：正弦（或余弦）图线．
因而画波的图象．要画出波的图象通常需要知道波长λ、振幅A、波的传播方向（或波源的方位）、横轴上某质点在该时刻的振动状态（包括位移和振动方向）这四个要素．
（2）简谐波图象的应用
①从图象上直接读出波长和振幅．
②可确定任一质点在该时刻的位移．
③可确定任一质点在该时刻的加速度的方向．
④若已知波的传播方向，可确定各质点在该时刻的振动方向．若已知某质点的振动方向，可确定波的传播方向．
⑤若已知波的传播方向，可画出在Δt前后的波形．沿传播方向平移Δs=vΔt.
1、机械波的理解
【例2】地震震动以波的形式传播，地震波有纵波和横波之分。
（1）图中是某一地震波的传播图，其振幅为A，波长为λ，某一时刻某质点的坐标为（λ，0）经1/4周期该质点的坐标是多少？该波是纵波还是横波。
A．纵波（5λ/4．0） B．横波（λ，－A）
C．纵波（λ，A） D．横波（5λ/4．A）
（2）若 a、b两处与c地分别相距300 km和200 km。当 C处地下15 km处发生地震，则
A．C处居民会感到先上下颠簸，后水平摇动 B．地震波是横波
C．地震波传到a地时，方向均垂直地面 D．a、b两处烈度可能不同
解析:（1）由题图知，该地震波为横波，即传播方向与振动方向垂直。
某质点的坐标（λ，0）即为图中a点，经1/4周期，a点回到平衡位置下面的最大位移处，即位移大小等于振幅，坐标为（λ，－A），（水平方向质点并不随波逐流）。 故答案为B
（2）由于地震波有横波、纵波之分，二者同时发生，传播速度不同而异，传到a、b两处，由于距离，烈度也当然不同。 故答案为A、D。
2、质点振动方向和波的传播方向的判定
（1）在波形图中，由波的传播方向确定媒质中某个质点（设为质点A）的振动方向（即振动时的速度方向）：逆着波的传播方向，在质点 A的附近找一个相邻的质点B．若质点B的位置在质点A的负方向处，则A质点应向负方向运动，反之。则向正方向运动如图中所示，图中的质点A应向y轴的正方向运动（质点B先于质点A振动．A要跟随B振动）．
（2）在波形图中．由质点的振动方向确定波的传播方向，若质点C是沿Y轴负方向运动，在C质点位置的负方向附近找一相邻的质点D．若质点D在质点C位置X轴的正方向，则波由X轴的正方向向负方向传播：反之．则向X轴的正方向传播．如图所示，这列波应向X轴的正方向传播（质点c要跟随先振动的质点D的振动）
具体方法为：①带动法：根据波的形成，利用靠近波源的点带动它邻近的离波源稍远的点的道理，在被判定振动方向的点P附近（不超过λ/4）图象上靠近波源一方找另一点P/，若P/在P上方，则P/带动P向上运动如图，若P/在P的下方，则P/带动P向下运动．
②上下坡法：沿着波的传播方向走波形状“山路”，从“谷”到“峰”的上坡阶段上各点都是向下运动的，从“峰”到“谷”的下坡阶段上各点都是向上运动的，即“上坡下，下坡上”
③微平移法：将波形沿波的传播方向做微小移动Δx＝v·Δt＜λ/4，则可判定P点沿y方向的运动方向了．
反过来已知波形和波形上一点P的振动方向也可判定波的传播方向．
【例4】如图所示，a、b是一列横波上的两个质点，它们在X轴上的距离s=30m，波沿x轴正方向传播，当a振动到最高点时b恰好经过平衡位置，经过3s，波传播了30m，并且a经过平衡位置，b恰好到达最高点，那么．
A．这列波的速度一定是10 m／s B．这列波的周期可能是0．8s
C．这列波的周期可能是3s D．这列波的波长可能是 24 m
解析：因波向外传播是匀速推进的，故v＝ΔS／Δt=10m/s，设这列波的振动周期为T，由题意知经3s，a质点由波峰回到平衡位置，可得T/4十nT/2＝3（n=1，2……）
另由v=λ/T得波长λ=，（n＝0，1，2……）
在n＝2时，对应的波长λ＝24 m；在n＝7时，T＝0．8s．故选项A、B、D正确．答案：ABD
【例5】一列波在媒质中向某一方向传播，图所示的为此波在某一时刻的波形图，并且此时振动还只发生在M、N之间．此列波的周期为T，Q质点速度方向在波形图中是向下的，下列判断正确的是 （ ）
A． 波源是M，由波源起振开始计时，P质点已经振动的时间为T；
B．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为3 T／4
C．波源是N，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4。
D．波源是M，由波源起振开始计时，P点已经振动的时间为T／4
解析:若波源是M，则由于Q点的速度方向向下，在 Q点的下向找一相邻的质点，这样的质点在Q的右侧，说明了振动是由右向左传播，N点是波源，图示时刻的振动传到M点，P与M点相距λ／4，则P点已经振动了T／4．故C选项正确。
【例6】如图所示，O为上下振动的波源，振动频率为100Hz，它P所产生的横波同时向左、向在传播．波速为80 m／s，M、N两质点距波源的距离分别为OM＝17．4m，ON＝16．2m，当波源通过平衡位置向上振动时，M、N两质点的位置分别为（ ）
A．M点在波峰，N点在波谷； B．M、N两点均在波峰
C．N点在波峰，M点在波谷； D．M、N两点均在波谷
解析:由题意可知该列波的波长为λ＝v／f＝80／100m＝0．8m．M、N两点与波源的距离分别为OM＝17．4m＝（21＋3／4）λ， ON=16．2m＝（20＋l／4）A．这说明 M、N两点为反相点，当波源 O在平衡位置向上振动时波形图如图所示，图中的P点与M点是同相点，Q点与N点是同相点，所以M在波峰，N点在波谷，A选项正确
3．已知波速V和波形，画出再经Δt时间波形图的方法．
（1）平移法：先算出经Δt时间波传播的距离上Δx＝V·Δt，再把波形沿波的传播方向平移动Δx即可．因为波动图象的重复性，若知波长λ，则波形平移nλ时波形不变，当Δx=nλ十x时，可采取去整nλ留零x的方法，只需平移x即可
（2）特殊点法：（若知周期T则更简单）
在波形上找两特殊点，如过平衡位置的点和与它相邻的峰（谷）点，先确定这两点的振动方向，再看Δt＝nT＋t，由于经nT波形不变，所以也采取去整nT留零t的方法，分别做出两特殊点经 t后的位置，然后按正弦规律画出新波形．
【例7】图是某时刻一列横波在空间传播的波形图线。已知波是沿x轴正方向传播，波速为4m/s，试计算并画出经过此时之后1.25s的空间波形图。
解析:由波形图已知λ=0.08m,由T=λ/v=0.08/4=0.02s,经过t=1.25s,即相当于1.25/0.02=62.5个周期,而每经过一个周期,波就向前传播一个波长。经过62.5个周期，波向前传播了62.5个波长。据波的周期性，当经过振动周期的整数倍时，波只是向前传播了整数倍个波长，而原有波形不会发生改变,所以可以先画出经过1/2周期后的波形，如图。再将此图向前扩展62个波长即为题目要求，波形如图。

1
2
x/m
y
0

【例8】如图是一列向右传播的简谐横波在某时刻的波形图。已知波速v=0.5m/s，画出该时刻7s前及7s后的瞬时波形图。
0
x/m
y
解析：λ=2m，v=0.5m/s，=4 s.所以⑴波在7s内传播的距离为x=vt=3.5m=7λ/4,⑵质点振动时间为7T/4。
方法1 波形平移法：现有波形向右平移可得7s后的波形；
现有波形向左平移λ可得7s前的波形。
由上得到图中7s后的瞬时波形图（粗实线）和7s前的瞬时波形图（虚线）。
方法2 特殊质点振动法：根据波动方向和振动方向的关系，确定两个特殊点（如平衡点和峰点）在3T/4前和3T/4后的位置进而确定波形。请读者试着自行分析画出波形。
A
C
B
D
【例9】一列简谐横波向右传播，波速为v。沿波传播方向上有相距为L的P、Q两质点，如图15所示。某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰，经过时间t，Q质点第一次运动到波谷。则t的可能值（ ）
A．1个     B．2个
C．3个    D．4个
解析：由题意：“某时刻P、Q两质点都处于平衡位置，且P、Q间仅有一个波峰”，符合这一条件的波形图有4个，如图所示。显然，Q质点第一次运动到波谷所需的时间t的可能值有4个。故D选项正确。
【例10】一列简谐横波在传播方向上相距为3米的两个质点P和Q的振动图象分别用图中的实线和虚线表示，若P点离振源较Q点近，则该波的波长值可能为多少？若Q点离振源较P点近，则该波的波长值又可能为多少？
分析：由图可知，T= 4s，P近，波由P向Q传，P先振动，Q后振动，Dt=Kt+3T/4，所以，SPQ=kl+3l/4，则 k=0，1，2L
若Q近，波由Q向P传，Q先振动，P后振动，Dt=Kt+T/4，所以，SPQ=kl+l/4，则 k=0，1，2L
4．已知振幅A和周期T，求振动质点在Δt时间内的路程和位移．
求振动质点在Δt时间内的路程和位移，由于牵涉质点的初始状态，需用正弦函数较复杂．但Δt若为半周期T/2的整数倍则很容易．
在半周期内质点的路程为 2A．若Δt= n·T/2， n＝ 1、2、3……，则路程s=2A·n，其中n=．
当质点的初始位移（相对平衡位置）为x1＝x0时，经T/2的奇数倍时x2=－x0，经T/2的偶数倍时x2＝x0．
·P
·Q
【例11】如图所示,在xOy平面内有一沿x轴正方向传播的简谐振动横波,波速为1m/s,振幅为4cm,频率为2.5Hz,在t=0时刻,P点位于其平衡位置上方最大位移处,则距P点为0.2m的Q点
A、在0.1s时的位移是4cm;
B、在0.1s时的速度最大;
C、在0.1s时的速度向下;
D、在0到0.1s的时间内路程是4cm;
解析:,P与Q相距λ/2,先画出若干个波长的波形,经过0.1s也就是T/4后,Q点将回到平衡位置,且向上运动,B项正确;在0到0.1s时间内通过的路程为振幅,即4cm,D项正确
拓展:若求经Δt=2.5s时Q的路程和Q的位移,如何求?

专题：振动图像与波的图像及多解问题
一、振动图象和波的图象
振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象．
简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦（余弦）曲线形状，但二图象是有本质区别的．见表：

振动图象
波动图象
研究对象
一振动质点
沿波传播方向所有质点
研究内容
一质点的位移随时间的变化规律
某时刻所有质点的空间分布规律
图线

物理意义
表示一质点在各时刻的位移
表示某时刻各质点的位移
图线变化
随时间推移图延续，但已有形状不变
随时间推移，图象沿传播方向平移
一完整曲线占横坐标距离
表示一个周期
表示一个波长
【例1】如图6—27所示，甲为某一波动在t=1．0s时的图象，乙为参与该波动的P质点的振动图象
（1）说出两图中AA/的意义？
（2）说出甲图中OA/B图线的意义？
（3）求该波速v=？
（4）在甲图中画出再经3．5s时的波形图
（5）求再经过3．5s时p质点的路程S和位移
解析：（1）甲图中AA/表示A质点的振幅或1．0s时A质点的位移大小为0．2m，方向为负．乙图中AA/’表示P质点的振幅，也是 P质点在 0．25s的位移大小为0．2m，方向为负．
（2）甲图中OA/B段图线表示O 到B之间所有质点在1．0s时的位移、方向均为负．由乙图看出P质点在1．0s时向一y方向振动，由带动法可知甲图中波向左传播，则OA/间各质点正向远离平衡位置方向振动，A/B间各质点正向靠近平衡位置方向振动．
（3）甲图得波长λ＝4 m，乙图得周期 T＝1s 所以波速v=λ/T=4m/s
（4）用平移法：Δx＝v·Δt＝14 m＝（3十½）λ
所以只需将波形向x轴负向平移½λ=2m即可，如图6——28所示
（5）求路程：因为n==7，所以路程S=2An=2×0·2×7=2。8m
求位移：由于波动的重复性，经历时间为周期的整数倍时．位移不变·所以只需考查从图示时刻，p质点经T/2时的位移即可，所以经3．5s质点P的位移仍为零．
【例2】如图所示，（1）为某一波在t＝0时刻的波形图，（2）为参与该波动的P点的振动图象，则下列判断正确的是
A． 该列波的波速度为4m／s ；
B．若P点的坐标为xp＝2m，则该列波沿x轴正方向传播
C、该列波的频率可能为 2 Hz；
D．若P点的坐标为xp＝4 m，则该列波沿x轴负方向传播；
解析:由波动图象和振动图象可知该列波的波长λ=4m，周期T＝1．0s，所以波速v＝λ／T＝4m／s．
由P质点的振动图象说明在t=0后，P点是沿y轴的负方向运动：若P点的坐标为xp＝2m，则说明波是沿x轴负方向传播的；若P点的坐标为xp＝4 m，则说明波是沿x轴的正方向传播的．该列波周期由质点的振动图象被唯一地确定，频率也就唯一地被确定为f＝ l／t＝0Hz．综上所述，只有A选项正确．
点评：当一列波某一时刻的波动图象已知时，它的波长和振幅就被唯一地确定，当其媒质中某质点的振动图象已知时，这列波的周期也就被唯一地确定，所以本题中的波长λ、周期T、波速v均是唯一的．由于质点P的坐标位置没有唯一地确定，所以由其振动图象可知P点在t＝0后的运动方向，再由波动图象确定波的传播方向
二、波动图象的多解
波动图象的多解涉及：(1)波的空间的周期性；(2)波的时间的周期性；(3)波的双向性；(4)介质中两质点间距离与波长关系未定；(5)介质中质点的振动方向未定．
1.波的空间的周期性
沿波的传播方向，在x轴上任取一点P（x)，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后Δt，且Δt =x/v=xT0/λ.在同一波线上，凡坐标与P点坐标x之差为波长整数倍的许多质点，在同一时刻t的位移都与坐标为λ的质点的振动位移相同，其振动速度、加速度也与之相同，或者说它们的振动“相貌”完全相