数学理卷·2017届广东省揭阳市2017届高三第一次（3月）模拟考试（201703）.doc

揭阳市第一次模拟考试数学(理科)
（1）已知集合，集合，则
（A） （B） （C） （D）
v=2
否
输出v
是

开始
结束
图1

输入n, x
i≥0?
i=i-1

i=n-1
（2）已知复数,且是实数,则实数=
（A） （B） （C） （D）
（3）若，, 则
（A） （B） （C） （D）
（4）已知命题存在向量使得，命题对任
意的向量、、，若则.则下列判断正确的是
（A）命题是假命题 （B）命题是真命题
（C）命题是假命题 （D）命题是真命题
（5）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中
提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.
如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的
一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为
（A）66 （B）33 （C）16 （D）8
（6）如果实数满足条件， 那么的最大值为
（A） （B） （C） （D）
（7）在同一坐标系中，曲线与抛物线的交点横坐标所在区间为
（A） （B） （C） （D）
（8）在的展开式中，x项的系数为
（A）－4 （B）－2
（C）2 （D）4
（9）某工件的三视图如图2所示，现将该工件通过切割，
加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的
一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为
图2
（A） （B）1 （C） 2 （D）
（10）已知正数满足，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
（11）已知双曲线右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点,则△APF周长的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（12）已知函数，（），设方程，，的实根的个数为分别为、、，则
（A）9 (B)13 (C)17 (D) 21

（13）已知函数，若，则_________.
（14）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m, n作为点的坐标，那么点P在圆内部（不包括边界）的概率是 .
（15）已知△ABC的顶点都在球O的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O-ABC的体积为，则该球的表面积等于 .
（16）在△ABC中，,,点D在边AB上，且DA=DC，BD=1，则 .
（17）设等差数列的前项和为，且,.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)设数列满足 ，求的前项和．

（18）如图3，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=BB1，
，D为AC上的点，B1C∥平面A1BD；
(Ⅰ)求证：BD⊥平面；
(Ⅱ)若，且，求二面角
的余弦值．

（19）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完
整），已知，历年中日泄流量在区间[30，60）的年平均天数为156，一年按364天计．
（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；
（Ⅱ）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X<90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？

（20）如图5，已知椭圆的上顶点为A，左、右
顶点为B、C，右焦点为F，|AF|=3，且的周长为14.
（I）求椭圆的离心率；
（II）过点M(4, 0)的直线l与椭圆相交于不同两点P、Q，
点N在线段PQ上．设，试判断点N
是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围．

（21）已知函数.()
（I）试确定函数的零点个数；
（II）设是函数的两个零点，当时，求的取值范围．

（22）已知曲线C的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l：与曲线相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求的最大值．

（23）设函数．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）设，当时，求证：．
揭阳市第一次模拟考试数学(理科)参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
B
D
A
B
B
D
B
C
A
B
部分题目解析：
（9）依题意知该工件为圆锥，底面半径为，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2，则有，解得，故2x=1，故新工件的体积为1.
（10）设曲线在点处的切线的倾斜角为，
则，故．
（11）易得点,△APF的周长=
，要△APF的周长最小，只需最小，如图，当A、P、F三点共线时取到，故.
（12）由条件可在函数的值域为，方程的根为0，，，所以方程的根为方程或或的根，显然方程有3个实根，与均无实根，所以方程的实根个数为3，即；因是奇函数，先考虑的图象，因，由得，可知在上递增，在上递减，又，，由图象关于原点对称得的示意图如右，极小值为，
极大值为. 方程的实根为方程
或或的根，显然方程有3个根，
方程与各有１个根，从而方程
实根的个数为5，即n=5；记方程除0外的另外两个实根
分别为，可知，方程的实根为方程或或的根，显然方程有3个根，方程与各有１个根，从而方程根的个数为5，即t=5，故13.
题号
13
14
15
16
答案

或
部分题目解析：
（15）依题意知△ABC为直角三角形，其所在圆面的半径为，设三棱锥O-ABC的高为h，则由得，设球O的半径为R，则由得，故该球的表面积为.
（16）解法1：设，，则，又,由正弦定理得：在△BDC中由正弦定理得：

，由
，得或或.[注：该题若考生漏掉一解扣2分]
【或或】
解法2：过点C作于E，,则,在Rt△AEC中，，则在Rt△CED中，，在Rt△CEB中,，由BD=1得
或.】
三、解答题：
（17）解：（Ⅰ）设的公差为，则有，
解得--------------------------------------------4分
-------------
（Ⅱ）由①
当时，，所以-----------------------------------------7分
当时，②-----------------------------8分
①式减去②式得，
求得，易知也成立，
所以数列为等比数列，------------------------------------------------10分
其前项和---------------12分
（18）解：（Ⅰ）连结ED，-------------------------------------------1分
∵平面AB1C∩平面A1BD=ED，B1C∥平面A1BD，
∴B1C∥ED，-------------------------------------------------------2分
∵E为AB1中点，∴D为AC中点，
∵AB=BC， ∴BD⊥AC①，--------------------------------3分
法一：由A1A⊥平面ABC，平面ABC，得A1A⊥BD②，
由①②及A1A、AC是平面内的两条相交直线，
得BD⊥平面.-------------------------------------------5分
【法二:由A1A⊥平面ABC，A1A平面
∴平面⊥平面ABC ，又平面平面ABC=AC，得BD⊥平面.】
（Ⅱ）由得BC=BB1=1，
由（Ⅰ）知，又得,---------------------------6分
∵，∴，-----------------7分
如图以B为原点，建立空间直角坐标系如图示，
则，，，
得，，
设是平面A1B1D的一个法向量，
则，得，令z=1，得，----9分
设为平面A1BD的一个法向量，则，得，
令得， --------------------------------------------------10分
依题意知二面角为锐二面角，设其大小为，
则 ，
即二面角的余弦值为．
其它解法请参照给分．
（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为
，----------------2分
设在区间[0，30）上，，
则，
解得，-------------------------------------------------3分
补充频率分布直方图如右；----------------------------------------------6分
（Ⅱ）记水电站日利润为Y元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为，恰好运行一台发电机的概率为，恰好运行二台发电机的概率为，恰好运行三台发电机的概率为，①若安装1台发电机，则Y的值为-500，4000，其分布列为
Y
-500
4000
P

E(Y)＝； ------------8分
②若安装2台发电机，则Y的值为-1000，3500，8000，其分布列为
Y
-1000
3500
8000
P

E(Y)＝；-----------------------------10分
③若安装3台发电机，则Y的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为
Y
-1500
3000
7500
12000
P

E(Y)＝；
∵
∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分
（20）解：（I）由，得，--------------------------1分
的周长为，即，得，
所以，椭圆的离心率为；---------------------------------------------4分
（II）显然直线l的斜率存在，设l的方程为，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，
由，得，化简得①，--6分
由消去x，得，
得，，-----------------------------8分
代入①式得，由得，
， ---------------10分
因为，得，所以，
因此，N在一条直线上，实数．--------------------12分
【法二：显然直线l的斜率存在，设l的方程为，不妨设，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，，
由，得，化简得①，6分
由，，得②，
由消去x，得，
可知，
得，，，--------------8分
代入①式得，由得，------------------------------9分
由②式得，得，
因此，N在一条直线上，实数．---------------------12分】
【法三：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，，由，
得------------------------------------------------------------5分
所以将，代入椭圆方程得------------------7分
-----------------9分
上面两式相减化简得
，
因为，得，所以，
因此，N在一条直线上，实数．----------------------------------12分】
（21）解法1：（I）函数的零点即方程的根，
由得，令，
则，--------------------2分
由得，∴函数在单调递增，
由得，∴函数在上单调递减，----3分
∴当时，函数有最大值，，
又当时，>0，当时；
当时>0，，当时，----------------------------------------4分
∴当时，与只有一个公共点，从而函数有一个零点；------ 5分
当时，与有两个公共点，从而函数有两个零点．-------------6分
（II）设由（I）知且，
由，得（）
由，得（）--------------8分
∴， ----------------9分
∵∴，，（两者仅当时取等号）
∴，又，
∴，-----------------------------------------------------------11分
∴，
由得．----------------------12分
【解法2：（I）∵，不是函数的零点；
当时，由得，--------------------1分
设，则，------------------------2分
所以在和上单调递减，-----------------------------------3分
当且时，；当时，；
当且时，；当时，；
当时，由，有，
当时，有，，
所以当时，曲线与只一个公共点，函数有一个零点； -------5分
当时，曲线与有两个公共点，函数有两个零点； ---------6分
（II）不妨设，由（I）得，且，，
由，，得，，
∴，---8分
∵∴，，（两者仅当时取等号）
∴，又，----------------------------------------10分
∴，---------------------------------------------------11分
∴，由得．------------------------------------------12分】
选做题：
（22）解：（I）曲线C的普通方程为，---------------------2分
由，得；----------------------------5分
（II）解法1：联立和，
得，--------------------------------------------------------6分
设、，则，---8分
由， 得，---------------------------9分
当时，|OM|取最大值．------------------------------------------------------10分
【解法2：由（I）知曲线C是以点P为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线的方程为，则，---------------------6分
∵， ----------------8分
当时，，，，当且仅当，即时取等号，
∴,即的最大值为．-------------------------------------------------10分】
（23）解：（I）当时，不等式即
当时，得，∴--------------------------1分
当时，得，∴------------------------2分
当时，得，与矛盾，------------------------3分
综上得原不等式的解集为=----------5分
（II）------------------------------6分
∵，
∴-----------------------------------7分
，-----------------------------------------9分
当时取“=”，得证． ----------------------------------------------------10分