等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明.doc

等腰三角形及平行四边形的性质定理和判定定理及其证明一、一周知识概述1、等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)2、等腰三角形性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于603、等腰三角形的判定定理两个角相等的三角形是等腰三角形4、等腰三角形判定定理的推论推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形5、直角三角形的性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半6、平行四边形的性质定理定理1：平行四边形的对边相等定理2、平行四边形的对角相等定理3、平行四边形的对角线互相平分7、平行四边形的判定定理定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形8、三角形中位线的性质定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半二、重难点知识1、要说明一个命题的正确性，需用已学过的公理或定理进行证明，命题证明的步骤：先画图，写出已知、求证，给出严格的证明2、等腰三角形的性质定理和判定定理及其应用、平行四边形的性质定理和判定定理及其应用是重点也是难点三、典型例题讲解例1、如图所示，在ABC中，ABC，ACB的平分线交于点F，过点F作DEBC交AB于D，交AC于E求证：BDEC=DE分析：因为DE=DFFE，即结论为BDEC=DFFE，分别证明BD=DF，CE=FE即可，于是运用“在同一个三角形中，等角对等边”，易证结论成立证明：DEBC(已知)，3=2(两直线平行，内错角相等)又BF平分ABC，1=21=3DB=DF(等角对等边)同理可证EF=CEBDEC=DFEF，即BDEC=DE小结：过一个角的平分线上的一点作一边的平行线与另一边相交，所构成的三角形是一个等腰三角形，这是一个常见的构图，应熟练掌握例2、数学课堂上，老师布置了一道几何证明题，让大家讨论它的证明方法，通过大家的激烈讨论，有几位同学说出了他们的思路，并添加了辅助线，你能根据他们的辅助线的作法写出证明过程吗？如图，已知ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF求证：EFBC解：首先，小明根据等腰三角形这一已知条件，结合等腰三角形的性质，想到了过A作AGBC于G这一条辅助线，如图证明1：过A作AGBC于GAB=AC，3=4又AE=AF，1=E又34=1E，3=E，AG/EF，EFBC接着小亮根据题设AE=AF，结合等腰三角形的性质作出过A作AHEF于H这条辅助线，如图证明2：过A作AHEF于HAE=AF，EAH=FAH又AB=AC，B=C又EAHFAH=BC，EAH=B，AH/BC，EFBC小彬也作出了一条辅助线，过C作MCBC交BA的延长线于M，如图证明3：过C作MCBC交BA的延长线于M，则12=90AE=AF，AEF=AFE，EAF=1802AFE又AB=AC，B=1又EAF=B1，EAF=21，21=1802AFE，1AFE=90，2=AFE，DE/MC，EFBC小颖的作法是：过E作ENEF交CA的延长线于N，如图证明4：过E作ENEF交CA的延长线于N，则12=90AE=AF，2=AFE，EAF=18022又AB=AC，B=C，EAF=BC=2B，2B=18022，B2=90，1=B，EN/BC，EFBC小虎的作法是：过E点作EP/AC交BC的延长线于P，如图证明5：过E作EP/AC交BC的延长线于P，则AFE=2，3=P又AE=AF，1=AFE，1=2又AB=AC，B=3，B=P，EB=EP，EFBC大家都在激烈地讨论着如何作出辅助线时，小红突然站起来说，不作辅助线也可以证明，你说是吗？（如图）证明6：AE=AF，1=E又2=1E，2=2E又AB=AC，B=C，2=1802B，2E=1802B，即EB=90，3=18090=90，EFBC小结：本题证法中运用了等腰三角形的性质定理及其推论、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，要注意灵活运用与牢固掌握相结合例3、如图，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQAD于Q求证：BP=2PQ。分析：在RtBPQ中，本题的结论等价于证明PBQ=30证明：AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ例4、(2006黄冈)如图所示，DBAC，且，E是AC的中点求证BC=DE分析：本题考查运用三角形中位线的性质、平行四边形的判定定理等进行证明证明：E是AC的中点，EC=DBDBAC，DBEC，四边形DBCE是平行四边形，BC=DE例5、如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，E，F分别是AB，CD的中点，AD，BC的延长线分别与EF的延长线交于点H，G，求证1=2分析：本题的条件与结论较为分散，利用三角形中位线的性质定理将它们集中起来，有利于问题的解决证明：连接AC，取AC的中点M，连接MF，ME，则ME，MF分别是ABC和CDA的中位线，故MEBC且 MFAD且1=3，2=4又AD=BC，ME=MF3=41=2小结：(1)在有关平行四边形的证明问题中，常用到与全等三角形及平行线有关的公理、定理，需在学习过程中灵活应用和深入理解(2)在运用三角形中位线定理时，一定要注意中位线与它所平行的边之间的关系是“中位线平行于第三边并且等于它的一半”，这为线段之间关系的确定提供了一个依据