天津精通高考复读学校08-09年度天津新课标高考数学预测试题.doc

天津精通高考复读学校2009天津新课标高考内部猜题卷
天津精通高考复读学校08-09年度天津新课标高考数学预测试题
（理科四月内部猜题版）
天津精通学院高考复读学校数学科研组长 么世涛
第Ⅰ卷（共50分）
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
n次独立重复试验概率公式
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（要求答案必须写在括号内，选项要填写清楚）
1．如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数a 等于( )
(A) (B) 2 (C) - (D)
2．有两个简单命题p和q,则命题“p或q”的否定是命题“非p且非q”的 ( )
(A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件
3．直线2x-y-= 0与y轴的交点为P，点P把圆(x-1)＋y= 25的直径分为两段，则其长度之比为( )
(A)或 (B)或 (C)或 (D)或
4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为：（ ）
6
5

A. ， B. ，
C. ， D. 以上都不正确
5．圆(x-1)2+y2= 1，在不等式所表示的平面区域中占有的面积是 （ ）
(A)-1 (B)＋2 (C)－2 (D)1＋
6．在(0,2π)内，使0<sinx+cosx<1成立的x的取值范围是（ ）
A.(0,) B.(,)
C.(,)∪(,2π) D.(,π)∪(,)
7．有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是 ( )
(A) (B) (C) (D)
8．如果函数不等式
数：
①； ②；
③； ④．
其中有两个属于有界泛涵，它们是（ ）．
（A）①，② （B）③，④ （C）①，③ （D）②，④
9．设是和的等比中项，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数，且对定义域内任意总有关系，那么下列结论中正确的是（ ）．
(A) 不一定有周期性
(B) 是周期为的周期函数
(C) 是周期为的周期函数
(D) 是周期为的周期函数
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.答案填在题中横线上.
11．极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________
12.已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF,若AC＝3cm，AD＝2cm，DE长为
D
A
B
C
E
F

13．在(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a>1，则a的值为 .
14．已知平面上三点A、B、C满足||=2，||=1，||=，则·+·+·的值等于_________.
15. 给出下面的程序框图，那么，输出的数是
开始
i=2, sum=0
sum=sum+i
i=i+2
i≥100?
否
是
输出sun
结束
（ ）
A．2450 B. 2550

C. 5050 D. 4900

16．

三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（要求作近似计算）

18. 现有甲、乙两个盒子，甲盒子里盛有4个白球和4个红球，乙盒子里盛有3个白球和若干个红球.若从乙盒子里任取两个球，取到同色球的概率是
（1）求乙盒子里红球的个数；
（2）若从甲盒子里任意取出两个球，放入乙盒子里充分搅拦均匀后，再从乙盒子里任意取出2个球放回甲盒子里，求甲盒子里的白球没有变化的概率.

19.如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。

（I）求异面直线PA与DE所成的角；
（II）求点D到面PAB的距离.

20.已知直线相交于A、B两点。
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值。

21.设函数，其中。
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明不等式：；
（Ⅲ）设的最小值为，证明不等式：

22．对所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横
坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：，
.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）数列{an}满足a1=x1，且时，
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较（与4的大小关系.

精通高考复读学校08-09年度新课标高考数学预测试题参考答案
精通高考复读学校数学科研组长 么世涛
1．如果复数的实部和虚部互为相反数，那么实数a 等于( )
(A) (B) 2 (C) - (D)
==＋，由=－，解得a=，故选D．
2．有两个简单命题p和q,则命题“p或q”的否定是命题“非p且非q”的 ( )
(B) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)不充分不必要条件
选(C).用充要条件概念和非命题及或命题的真值表判定.
3．直线2x-y-= 0与y轴的交点为P，点P把圆(x-1)＋y= 25的直径分为两段，则其长度之比为( )
(A)或 (B)或 (C)或 (D)或
对直线方程令x = 0，求得P点坐标为(0，-)，由圆的方程可知，圆心C的坐标为(1，0)，半径r = 5，所以|PC| == 2，P点把圆的一条直径分成的两段长度分别为：5+2 = 7或 5－2 = 3，故选A．
4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为：（ ）
6
5

A. ， B. ，
C. ， D. 以上都不正确
此几何体是个圆锥，

5．圆(x-1)2+y2= 1，在不等式所表示的平面区域中占有的面积是 （ ）
(A)-1 (B)＋2 (C)－2 (D)1＋
平面区域如图中阴影部分所示．
x
y
1. O
2. A
3. B
4. C
第5题
所求面积为+=·1·2 +·p·1=1+，故选D．

6．在(0,2π)内，使0<sinx+cosx<1成立的x的取值范围是（ ）
A.(0,) B.(,)
C.(,)∪(,2π) D.(,π)∪(,)
答案：C
提示：∵0<sinx+cosx<1,∴0<sin(x+)<.又x∈(0,2π),∴x∈(,)∪(,2π)
7．有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是 ( )
(A) (B) (C) (D)
,故选B．
8．如果函数不等式
数：
①； ②；
③； ④．
其中有两个属于有界泛涵，它们是（ ）．
（A）①，② （B）③，④ （C）①，③ （D）②，④
，取，所以③符合有界泛涵定义．
，取，所以④符合有界泛涵定义．
9．设是和的等比中项，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解法1.由题设
所以,
即的最大值为,故选B.
解法2.由,可设,
则,即的最大值为,故选B.
10．已知函数，且对定义域内任意总有关系，那么下列结论中正确的是（ ）．
(E) 不一定有周期性
(F) 是周期为的周期函数
(G) 是周期为的周期函数
(H) 是周期为的周期函数
(C)．
由题设得，
∴．
∴是最小正周期为的周期函数．
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.答案填在题中横线上.
11．极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为_____________
圆心分别为和
12.已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平分∠CDF,若AC＝3cm，AD＝2cm，DE长为
D
A
B
C
E
F

∵∠3＝∠4＝∠ABC，∠DAB＝∠BAE，
∴△ABD∽△AEB
∴
∵AB＝AC＝3，AD＝2
∴AE＝
∴DE＝　（cm）
D
A
B
C
E
F
1
2
3
4

13．在(ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，若实数a>1，则a的值为 .
由已知得
化简得5a2-10a+3=0
∵a>1， ∴
14．已知平面上三点A、B、C满足||=2，||=1，||=，则·+·+·的值等于_________.
解析：∵||2+||2=||2，
∴△ABC为直角三角形且∠C=90°.
∴·+·+·=||||cos（π－∠B）+0+||||cos（π－∠A）=－4.
答案：－4
15. 给出下面的程序框图，那么，输出的数是
开始
i=2, sum=0
sum=sum+i
i=i+2
i≥100?
否
是
输出sun
结束
（ ）
A．2450 B. 2550

C. 5050 D. 4900

输出的数是2+4+6+…+98=2450

16．

三、解答题：本大题共6小题，共76分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．某城市有一条公路，自西向东经过A点到市中心O点后转向东北方向OB，现要修建一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10 km，问把A、B分别设在公路上离中心O多远处才能使|AB|最短?并求其最短距离.（要求作近似计算）

解：在△AOB中，设OA=a，OB=b.
因为AO为正西方向，OB为东北方向，所以∠AOB=135°.
则|AB|2=a2+b2－2abcos135°=a2+b2+ab≥2ab+ab=（2+）ab，当且仅当a=b时，“=”成立.又O到AB的距离为10，设∠OAB=α，则∠OBA=45°－α.所以a=，b=，
ab=·
=
=
=
=≥，
当且仅当α=22°30′时，“=”成立.
所以|AB|2≥=400（+1）2，
当且仅当a=b，α=22°30′时，“=”成立.
所以当a=b==10时，|AB|最短，其最短距离为20（+1），即当AB分别在OA、OB上离O点10 km处，能使|AB|最短，最短距离为20（－1）.
18. 现有甲、乙两个盒子，甲盒子里盛有4个白球和4个红球，乙盒子里盛有3个白球和若干个红球.若从乙盒子里任取两个球，取到同色球的概率是
（1）求乙盒子里红球的个数；
（2）若从甲盒子里任意取出两个球，放入乙盒子里充分搅拌均匀后，再从乙盒子里任意取出2个球放回甲盒子里，求甲盒子里的白球没有变化的概率.
解：（1）假设乙盒子里盛有n个红球，则从乙盒子里任意取出两个球，共有 种不同取法，其中取到同色球的取法有种，
所以有
整理得，
即乙盒子里有5个红球；
（2）由题意，甲盒子里的白球个数不变有以下3种情况：
①甲、乙两盒中都取出的是2个红球时的概率为：

②甲、乙两盒中都取出的是1个白球和1个红球时的概率为：

③甲、乙两盒中都取出的是2个白球时的概率为：

所以甲盒中白球个数不变的概率为：

19.如图，四棱锥P—ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，侧面PDC是边长为a的正三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E为PC的中点。

（I）求异面直线PA与DE所成的角的余弦值
（II）求点D到面PAB的距离.

（1）解法一：连结AC，BD交于点O，连结EO.
∵四边形ABCD为正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，
∴∠DEO为异面直线PA与DE所成的角
∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD.
在Rt△PAD中，PD=AD=a，则，

（2）取DC的中点M，AB的中点N，连PM、MN、PN.

∴D到面PAB的距离等于点M到
面PAB的距离.……7分
过M作MH⊥PN于H，
∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，
∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，
又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，
∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN，
∴MH⊥面PAB，
则MH就是点D到面PAB的距离.
在

解法二：如图取DC的中点O，连PO，
∵△PDC为正三角形，∴PO⊥DC.
又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.
如图建立空间直角坐标系
则

（1）E为PC中点， ，
，

（2）可求，
设面PAB的一个法向量为，
① . ②
由②得y=0，代入①得
令
则D到面PAB的距离d等于

即点D到面PAB的距离等于
20.已知直线相交于A、B两点
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长
（2）若向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值
解：（1），
，
联立
则

（2）设，

由， （8分）

，

，
由此得故长轴长的最大值为
21.设函数，其中
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）当时，证明不等式：；
（Ⅲ）设的最小值为，证明不等式：
解：（Ⅰ）由已知得函数的定义域为，且，
，解得
当变化时，的变化情况如下表：

-
0
+

↘
极小值
↗
由上表可知,当时，，函数在内单调递减，
当时，，函数在内单调递增，
所以,函数的单调减区间是,函数的单调增区间是
（Ⅱ）设
对求导，得：
当时，，所以在内是增函数。所以在上是增函数。
当时，，即
同理可证＜x
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，
将代入
得:
即:1＜(a+1)
，即
22．对所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横
坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：，
.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）数列{an}满足a1=x1，且时，
；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较（与4的大小关系.
（Ⅰ）解：
故Dn内的整点都落在直线x=1上，且，故Dn内的整点按其到原点的距离从近到远排成的点列为（1，1），（1，2），…，（1，n），∴
（Ⅱ）证明：当时，
由，得
即 …………①
∴ …………②
②式减①式，得
（Ⅲ）证明：当n=1时，
当n=2时，（1+；
由（Ⅱ）知，当时，
∴当
∵
∴上式
∴
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