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圆管内层流流动沿程阻力
冶金机械
设不可压缩流体在管内作稳定层流流动，所考察的冶金机械系统远离管道进、出口，圆管水平放置，且管轴与X轴重合，从管轴算起的径向坐标为y和z，如图1-2-31所示。
对这种管内稳定流动，可直接利用连续性方程和！-S方程进行分析。

图1-2-31管内层流示意图设流体沿轴向（x方向）一维流动，则uy=u2=0。
对不可压缩流体的稳定流动，由连续性方程式（1-2-90)可得
^Ux+0
3x=0
当忽略质量力的作用时，N-S方程式（1-2-64)又可简化为
9p
!x
!P.
!y
9p.
(1-2-140)
(1-2-141a)(1-2-141b)(1-2-141c)
式（1-2-141)说明，压力p只是x的函数，而流速u则是y，z的函数。因此，只有在方程式的两边都等于常数的条件下，式（1-2-141a)才能成立，故有
^二以常数）
dx
这表明粘性流体在管内稳定层流时，压力是沿轴向均匀变化的。
现假设管道长度为1，两端的压力分别为P1和P2，令！p=P1-02，则有
• 62•
为u
数C
dp-Ap
dx1
(1-2-143)
(1-2-144)
于是，式(1-2-141a)可写成
"2,x"ux_丄_-Ap
"x2+"z2#"x#1
对管内流动，将上述方程（1-2-144)化为柱坐标方程更为简便。设半径为r处的点速度。令y_rcos0，z_rsin0，则有
"u"u "u
YTcos$-sin$
"r"y "z
"u"u "u
^=石、-rsin$^+石rcos$
"$"y "z
"2u"u2a丄"u•2n
"厂"y21030-"z2
"2u"2u2.2a,",22n"un"u•a广sin0+广cos0-^rocs$-^rsin$"0"y2 "z2 "y "z
将式(3)乘以r2并与式(4)相加，得
"u"u"u"u
/"u"u\
I"y2-"z2厂
"u
"r"0"y"z "r
由于管内流动为轴对称流动，u与0无关，因此，上式可简化为
d2u1du"2u"2u
I _|_
dr2rdr"y2"z2
比较式(1-2-144)和（1-2-145)可得
d2u1du-Ap
式（1-2-146)可变换成
将上式进行不定积分，得
dy
丄丑
rdr
du
dr
drjul
(rdu)_-Ap
\dr/jul
(1)(2)(3)(4)
(5)
(1-2-145)(1-1-146)
■Ap
2^.1
r-C
(1-2-147)
因管截面流速为轴对称均匀分布，因此，在管中心r=0处，有+_0，代入上式知，积分常
dr
_0。故有
du
dr
Ap
•—r
2jJr
(1-2-148)
已知在管壁r:R处，u:0;在半径为r处速度为u，将上式进行定积分可得
u_Ap(R2-r2) (1-2-149)
4卩1
式（1-2-149)与式(1-2-43)是一致的，此处的1即相当于式（1-2-43冲的A1。
根据牛顿粘性定律，可得
%_-#*_-#1[4##(R2-r2)]_fr (1-2-150)
• 63•
可见，！与"呈线性关系，如图1-2-31所示。在壁面上粘性切应力具有最大值，即
又根据管截面平均流速的定义，可得平均流速为
(1-2-151)
(1-2-152)
(1-2-153)
.=士!0AudA=$2IoR#%(3-r2).2$d"=%2
由此得沿程流动阻力为
,=Ap=8ulv=，，32)%vhf=&=R2P=d2P
由上式可以看出，圆管内的层流流动阻力与平均流速及管长的一次方成正比，与管道直径的平方成反比。因此，流体在管内以一定速度流动时，管路越长，管径越小，沿程阻力越大。远距离输送流体时，可适当加大管径，以减少沿程阻力损失。
流体力学中，常将压头损失("p)表示成单位质量流体的动压头(+V2)的倍数，故上式可改写为
,64lv264lv2
hf=2V&7T=R82T%
令'=64，称为沿程流动阻力系数或摩擦系数，则得Re
d2
(1-2-154)
式(1-2-154)即为流体力学中计算层流沿程阻力的达西公式。
事实上，达西公式也可以从式(1-2-149)直接导出。将式(1-2-149冲的"1以l代替，即可得出式(1-2-154)。
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