第11章-第6节.doc

第十一章　第六节

1．(2014·宝鸡检测)已知P是△ABC所在平面内一点，＋＋2＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是(　　)
A.　 　　 B.　 　　
C.　 　　 D.
解析：选C　易知点P在△ABC中BC边中线的中点处，∴S△PBC∶S△ABC＝，即所求概率为.
2．(2014·湛江测试)在线段AB上任取一点P，以P为顶点，B为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB有交点的概率是(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选B　由题意，要使该抛物线的准线与线段AB有交点，则需使点P在线段AB的中点与B之间，故由几何概型得，所求概率为P＝.故选B.
3．(2014·石家庄模拟)现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1表示没有击中目标，2、3、4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：
7 527　0 293　7 140　9 857　0 347　4 373　8 636
6 947　1 417　4 698　0 371　6 233　2 616　8 045
6 011　3 661　9 597　7 424　7 610　4 281
根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为(　　)
A．0.85　　　　 B．0.8　　　　
C．0.7　　　　 D．0.75
解析：选D　因为射击4次至多击中2次对应的随机数组为7 140,1 417,0 371,6 011,7 610，共5组，所以射击4次至少击中3次的概率为1－＝0.75，故选D.

4．(2014·莆田模拟)任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是(　　)
A.　　　　 B.　　　　
C.　　　　 D.
解析：选C　依题意可知，第四个正方形的边长是第一个正方形边长的倍，所以第四个正方形的面积是第一个正方形面积的倍，由几何概型可知，所投点落在第四个正方形中的概率为，故选C.
5．(2014·郑州质检)已知函数f(x)＝ax2－bx－1，其中a∈(0,2]，b∈(0,2]，在其取值范围内任取实数a，b，则函数f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数的概率为(　　)
A.　　　　 B.
C.　　　　 D.
解析：选D　由f′(x)＝2ax－b＞0得x＞，从而≤1，即b≤2a.因为点集(a，b)在区域a∈(0,2]，b∈(0,2]中，故可行区域的面积为S＝4，而满足条件b≤2a的区域面积为S′＝4－×2×1＝3，从而所求概率为P＝.故选D.
6.

(2014·湖北七市联考)如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f(x)＝sin x(x∈(0，π))及直线x＝a(a∈(0，π))与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则a的值为(　　)
A.　　　　 B.
C.　　　　 D.
解析：选B　依题意，阴影部分的面积为
＝－cos a＋cos 0＝1－cos a，由几何概型知＝，整理得cos a＝－，而a∈(0，π)，故a＝.故选B.
7．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．
解析：1－　半径为1的球的体积是π，正方体的体积是8，故所求的概率是1－＝1－.
8．(2014·广州名校联考)已知△ABC的面积等于S，在△ABC的边AB上任取一点P，则△PBC的面积不小于的概率等于________．
解析：　依题意得，记当点P0在边AB上时，△P0BC的面积等于，此时＝，因此要使△PBC的面积不小于，只要点P位于点P0与点A之间即可，因此所求概率为.
9．(2014·湛江测试)点P是圆x2＋y2＋2x－3＝0上任意一点，则点P在第一象限内的概率为________．
解析：　圆x2＋y2＋2x－3＝0化为标准方程是(x＋1)2＋y2＝4，如图所示．

由cos ∠ACB＝＝，得∠ACB＝，故由几何概型得点P在第一象限内的概率为P＝＝.
10．已知集合Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x≤4，y＞0，x－y2≥0}，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率是________．
解析：　因Ω的测度为S＝×6×6＝18，A的测度为
S′＝＝，故所求概率P＝÷18＝.
11．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)．
(1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率；
(2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率．
解：(1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y.
基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；
其中事件A包含2个基本事件，即(0,0)，(2,1)．
所以P(A)＝＝，即向量a∥b的概率为.
(2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b＜0，即2x＋y＜0且x≠2y.
基本事件构成的平面区域为

Ω＝，
事件B包含的基本事件构成的平面区域为＝，
由几何概型知P(B)＝＝，
所以向量a，b的夹角是钝角的概率是.
12．已知集合A＝{x|x2＋3x－4＜0}，B＝.
(1)在区间(－4,5)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；
(2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a－b∈A∪B”的概率．
解：(1)由已知，得A＝{x|x2＋3x－4＜0}＝{x|－4＜x＜1}，B＝＝{x|－2＜x＜4}，显然A∩B＝{x|－2＜x＜1}．
设事件“x∈A∩B”的概率为P1，由几何概型的概率公式，得P1＝＝.
(2)依题意，(a，b)的所有可能的结果一共有以下20种：
(－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，
又A∪B＝{x|－4＜x＜4}，因此“a－b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下14种：(－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．所以“a－b∈A∪B”的概率P2＝＝.

1．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体图1的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是，则此长方体的体积是________．

解析：3　设题图1长方体的高为h，由几何概型的概率计算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P＝＝，解得h＝3或h＝－(舍去)，故长方体的体积为1×1×3＝3.
2．(2014·江门模拟)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1内(含正方体表面)任取一点M，则1·≥1的概率P＝________.

解析：　由1·＝2||cos ∠MAA1≥1，得||cos ∠MAA1≥，它表示在AA1上的正投影长大于或等于，从而所求概率为P＝＝.
3.(2014·福建质检)如图所示，A1，A2，…，Am－1(m≥2)将区间[0,1]m等分，直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝ex所围成的区域为Ω1，图中m个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点，则该点取自Ω2的概率等于________．

解析：　依题意，阴影区域Ω2的面积为：SΩ2＝(1＋e＋e＋…＋e)＝·＝；区域Ω1的面积为：SΩ1＝exdx＝e－1，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率P＝＝＝.
4．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一，高二，高三各代表队的人数分别为120,120，n.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人．

(1)求n的值；
(2)把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖，求a和b至少有一人上台抽奖的概率；
(3)抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x，y，并按如图所示的程度框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．
解：(1)由题意，得＝，解得n＝160.
(2)设高二代表队6人中随机抽取2人的所有基本事件如下：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种．
设“高二代表队中a和b至少有一人上台抽奖”为事件M，其中事件M的基本事件有9种，则P(M)＝＝.

(3)由已知0≤x≤1,0≤y≤1，
点(x，y)落在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分．
由2x－y－1＝0，令y＝0，得x＝，令y＝1，得x＝1.
所以在(x，y)∈[0,1]时满足2x－y－1≤0的区域的面积S阴＝××1＝.
设“该代表获得奖品”为事件N，则该代表获得奖品的概率为P(N)＝＝.