河北省正定中学2013届高三上学期第四次月考数学理试题.doc

正定中学2013届高三上学期第四次月考
数学理试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1） 已知为虚数单位，复数的实部为，虚部为，则= ( 　 )
A．0 B．l C．2 D．3
（2） 命题“有的三角形是等腰三角形”的否定为( 　)
A．存在一个三角形不是等腰三角形[来源:
B．所有的三角形不都是等腰三角形
C．任意的三角形都不是等腰三角形
D．有的三角形可能是等腰三角形
（3） 执行如图所示的程序框图，输出的值为
A．－3
B．－
C．
D．2
（4） 设等比数列的前项之和为，若则的值为（　）
A． B． C．3 D．2
（5） 已知向量= ( 　)
A． B． C．5 D．25
（6） 右图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为( 　)
A． B． C． D．
（7） 从8名女生，4名男生选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数（　）
A． B． C． D．
（8） 已知且则=（ ）
A． B. C. D．
（9） 已知点P是双曲线上一点，是双曲线的左、右焦点，则△的内切圆与轴切点的横坐标是（　）
A．－2　　　 B．2　　　 C．－2或2　　　 D．不能确定
（10） 的顶点在平面内，点,在的同一侧，与所成的角分别是和，若，，则与所成的角为( 　 )
A．      B．  C．     D．
（11） 若直线通过点，则（　）
A． B． C． D．
（12） 设函数的定义域是，其图象如图，那么不等式的解集为( 　 )
A． 　　　　　　　　　　B．
C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
（13） 由曲线与围成的封闭图形的面积为 。　
（14） 某种商品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的数据，得出与的线性回归方程为，则表中的的值为 。　

2
4
5
6
8

30
40

50
70
（15） 已知点Q（0，2）及抛物线上一动点P（），则的最小值是 。　
（16） 对大于或等于2的正整数m的n次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律，若的分解中最小的数是91，则m的值为 。　
三、解答题
（17） （本题10分）
的内角、、的对边分别为、、,已知。
（I）求.
（II）若，求的面积。

（18） （本题12分）
电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名。下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；
将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性。
（I）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷
体育迷
合计
男

女

合计

（II）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率。
附：
[来源:
（19） （本题12分）
设数列前项和为，数列前项和为，满足，.
（I）求的值；
（II）求数列的通项公式.

（20） （本题12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连结AP交棱CC1于点D.
（I）求证：PB1∥平面BDA1；
（II）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．

（21） （本题12分）
椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的且斜率为的直线l与C相交于A，B两点。
（I）求椭圆C的方程；
（II） 求ABP的面积取最大时直线l的方程．

（22） （本题12分）
已知函数为常数．
（I） 当时，求的最大值；
（II） 若在区间（0，e］上的最大值为，
求 a 的值；
（III）当时，试推断方程是否有实数解。
高三（理）月考　数学　答案
一、 选择题：1－12、CCDAC　CAACC　DC；
二、 填空题：13、； 　　14、60；　　15、2；　　16、10；
三、 解答题
17.解：（I）由，得…………1分
于是
由题设知……①　　……4分
由及正弦定理得……②
由①，②得，于是（舍）或，
又由知，所以C为锐角，所以　……6分
（II）因为，所以，由余弦定理，得……8分
因为，
所以△ABC是以A为直角的直角三角形，其面积为。……10分
18.解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”为25人，从而完成2×2列联表如下：

非体育迷
体育迷
合计
男
30
15[来源:
45
女
45
10
55
合计
75
25
100
……3分
将2×2列联表中的数据代入公式，计算得，
因为3.030＜3.841，所以我们没有理由认为“体育迷”与性别有关。……6分
（II）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为5人，其中有女性2人，所以从中抽取2人，其中至少有一名女性的概率为。（或者）……12分
19.解：（I）在中，令。……4分
（II）∵，相减得：，∴ ，
相减得：，又解得，∴,得，…8分
，得：数列是以为首项，为公比的等比数列，
∴……12分
20.解：(I)证明：连结AB1与BA1交于点O，连结OD.
∵C1D∥AA1，A1C1＝C1P，
∴AD＝PD，又AO＝B1O，∴OD∥PB1.
又OD⊂平面BDA1，PB1⊄平面BDA1，
∴PB1∥平面BDA1.……12分
(2)过A作AE⊥DA1于点E，连结BE.
∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A，
∴BA⊥平面AA1C1C.
由三垂线定理可知BE⊥DA1.
∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．
在Rt△A1C1D中，A1D＝，[来源:
又S△AA1D＝×1×1＝××AE，
∴AE＝.
在Rt△BAE中，BE＝，
∴cos∠BEA＝＝.
故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.……12分
解法二：如图2，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．
(1)在△PAA1中有C1D＝AA1，即，
∴＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)．
设平面BA1D的一个法向量为＝(a，b，c)，
则由，得，
令c＝－1，得.
∵·＝1×(－1)＋×2＋(－1)×0＝0，
∴PB1∥平面BDA1，……6分
(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量.
又＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，
∴cos〈，〉＝＝＝.
故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.……12分
21.解：（I）由题：；……①
左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． ……②
由①②可解得：．
∴所求椭圆C的方程为：．……4分
(Ⅱ)．设，直线AB的方程为l：，
代入椭圆：，得
由，得﹣＜m＜且m≠0．
由韦达定理得：＝m，＝．
∴。……8分
设点P直线AB的距离为d，则，
∴，其中。……10分
令，
则，
所以当且仅当时，取到最大值，即当且仅当时，取到最大值。
综上所述，所求直线的方程为。……12分
22.解：（I）当时，，。
当时，，当时，，
∴在上是增函数，在上是减函数，　……3分
（II）∵，[来源: HTTP://WX.JTYJY.COM/]
二、 若，则在上是增函数，
所以，不合题意，　……5分
三、 若，则由，得，由，得，
所以在上是增函数，在上为减函数，
所以
令，得，
因为，所以为所求　……8分
（III）由（I）知，当时，，所以。
又令，则，令，得，
当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以，所以，
所以，即方程没有实数解。……12分