数学竞赛训练题四.doc

数学竞赛训练题四
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．设函数如果那么的值等于（ ）
A．3 B．7 C．-3 D．-7
2．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ）
A．圆或椭圆 B．椭圆或双曲线 C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆
3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（ ）
A，1 B．-1 C．2+ D．-2+
4．已知，定义，则（　　　　）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交于R,则　　（　　　　）
A． B．
C． D．
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（ ）
A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形
C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.
8．如果：（1）a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}
（2）a≠b, b≠c, c≠d, d≠a
（3）a是a, b, c, d中的最小数
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.
9．设则关于的方程的所有实数解之和为
10．若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.
11．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 。
12．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.
三、解答题（每小题20分，共60分）
13．已知a, b, c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。

14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

15． 数列定义如下：，且当时，
已知，求正整数n．

数学竞赛训练题四答案
一、选择题
1．设函数如果那么的值等于（ ）
A．3 B．7 C．-3 D．-7
解：取，而当，所以，故选C.
2．已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（ ）
A．圆或椭圆 B．椭圆或双曲线 C．双曲线或抛物线 D．抛物线或椭圆
解：把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题，容易的出答案D
3．给定数列{xn}，x1=1，且xn+1=，则=（ ）
A，1 B．-1 C．2+ D．-2+
解：xn+1=，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+, x3=-2-, x4=-1, x5=-2+, x6=2-, x7=1，……，∴有。故选A。
4．已知，定义，则（　　　　）
A． B． C． D．
解：计算
可知是最小正周期为６的函数。即得，所以＝，故选C.
5．已知双曲线的右焦点为F,右准线为,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交于R,则　　（　　　　）
A． B．
C． D．
解：分别做由相似三角形的性质，得，又有双曲线的第二定义，得故平分所以选C.
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且，都是方程logx=logb(4x-4)的根，则△ABC（ ）
A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形
C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形
解：由logx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=，而sinA>0，∴sinA=。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。
二、填空题
7．若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.
答案：。
由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。
8．如果：（1）a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}
（2）a≠b, b≠c, c≠d, d≠a
（3）a是a, b, c, d中的最小数
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.
答案：46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C=6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成=16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。
9．设则关于的方程的所有实数解之和为
答案：4解：令变形为可以发现函数是R上的减函数。又因为，从而关于的方程的解分别为0、1、3，
10．若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.
答案：。解：①若t2-4>0，即t<-2或t>2，则由>x(|x|≤1)恒成立，得, t+1>t2-4, t2-t-s<0解得，从而<t<-2或2<t<。②若t2-4=0，则t=2符合题意。③若t2-4<0，即-2<t<2，则由<x(|x|≤1)恒成立，得，t+1>-t2+4; t2+t-3>0，解得：t<或t>，从而<t<2。综上所述，t的取值范围是：<t<。
11．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为 。
解：设直角三角形的三边为a,b,,则有=a+b+,,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0, (a-4)(b-4)=
8,a,b都是正整数，a=5时b=12;a=6时b=8，所以满足题意的三角形有2个。
12．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.
答案：1或-2。令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。
下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，
即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0
相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。
三、解答题：
13．已知a, b, c∈R+，且满足≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。
解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2)2+(2+2)2=
4ab+8ac+8bc+16c。所以
≥。
当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。
14．已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线的距离为2，Q是上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。
解：以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ==1+r。所以x=±, ∴tan∠MAN=
，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。
15． 数列定义如下：，且当时，
已知，求正整数n．
解 由题设易知，．又由，可得，当n为偶数时，；当是奇数时，．
由，所以n为偶数，于是，所以，是奇数．
于是依次可得：
， 是偶数，
，是奇数，
，是偶数，
，是奇数，
，是偶数，
，是偶数，
，是奇数，
，是偶数，
，是奇数，
，是偶数，
，
所以，，解得，n＝238．
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