锐角三角函数定义.doc

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锐角三角函数定义
【重点】
　　理解锐角三角函数定义、运用锐角三角函数定义.

【难点】
　　对锐角三角函数定义的理解及有意识的使用.

【学习建议】
一、明确本章知识的工具地位，端正学习态度
　 　1．虽然本章“锐角三角函数”属于三角学基础知识，但今后“三角函数”知识是解决“电磁学”知识问题的知识核心，故“三角函数”是今后进一步学习数理知 识的工具.在《数学课程标准》中本章内容归属“空间与图形”领域，但是它其实与“数与代数”也紧紧相关，此处三角函数概念的理解对将来我们理解函数的近代 定义非常有帮助.
　　2．本章内容与已学“相似三角形”、“勾股定理”等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备.研究锐角三 角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础.

二、认真理解定义概念及其意义
1、结合实际问题理解三角函数的实质是反映了锐角与所在直角三角形对应边之比的对应关系.
　　(1)将确定的一个锐角置于任意一个直角三角形中，该直角三角形的任意两条边的比值就随之确定；
　　(2)任意一种比值随角的改变而改变.
　　很早以来人们就通过“杆高影长”的办法来测高，比如欲测树高，已知杆AB，测得其影长BC，再测得树影长DE，则树高.可以猜想很长历史时期，人们欲测高都必须准备一定长的杆，一条长尺子，劳累烦琐不说还经受自然环境条件所限.(影长得能测出，地方足够宽敞，还得有阳光)现在若无法测得其影长，也无杆，无长尺子，能否测得树高？现一人观察发现树所在苗圃半经为，又用手中的学生用量角器作成的测角仪(你知道怎么做么？想知道可以看课本P98活动)测得从地面看树梢的仰角为，你能否用手中的刻度尺、三角板、量角器算出树高？(思考，再阅读下面)
　　(1)在纸上任作一的，在OA上任取一点P，过P作
　　　 于；
　　(2)测量（用刻度尺）出，的长；（为保证足够精确，你有什
　　　 么办法？）
　　(3)算出的值 树高.
　　尝试解释上述作法所用的数学原理，并猜想在历史上人们对这一原理的运用.
　　1.任一锐角均可确定出一些比值(置于直角三角形中，其对边、邻边、斜边任两边之比共6个)，这些比值中的每一个都随角的确定而唯一确定.随角的改变而改变.
　　比如就6个比值中的“”来说，确定，在的两边上任意取点构作直角三角形.
　　如图，，，，，……，
　　由相似知识可推知

　　即可确定唯一比值 “”与点的选择位置无关
　　如图，半径为1，
　　对应的
　　对应的
　　显然，，即的值随的改变而改变.
　2.可以猜想在历史上肯定会有很多聪明的劳动者，事先将每个经常用到的度数的角所确定的这种比值算出，在面对具体测量或其它问题时，直接使用科学史上较 早的系统记录各角所对应的这种比值的著作是公元二世纪中期托勒密所著的《天文学大成》一书，有兴趣的同学可以上网搜索一下这方面的故事.我们国家是在17 世纪中页由邓玉涵、汤若望、徐光启等人在《大测》一书中引入.
　　锐角三角函数的定义：任一锐角置于中，我们定义：
　　叫的正弦，记作；
　　叫的余弦，记作；
　　叫的正切，记作.
　　(注：另外的三个比值也有名称定义，有兴趣的同学可以自己查阅相关资料)
　　注：锐角三角函数的概念既是重点又是难点，之所以说它是难点，是因为这里隐含着角度与数值之间有一一对应的函数思想.角与数互相对应，并且用含有几个字母的符号组来表示，我们首次接触，熟悉需要一个过程，需认真体会：
　　(1)锐角三角函数是直角三角形的两边的比，是一个实数，没有单位；
　　(2)比值随角度的变化而变化；
　　(3)相等的角的三角函数值相等；
　　(4)、是整体符号，不能看成、，
　 　　避免出现的错误.

2、通过练习进一步理解锐角三角函数的概念，总结归纳规律性质.
　　1.(1)已知，，，分别求、的三个三角函数值；
　　　　　 (2)已知，，，求、和的值；
　　　　　 (3)已知，，，求的值；
　　　　　 (4)已知，，，求的三个三角函数值.

　　解析：依题设画出图，在图中对应确认条件，依概念定义求出所需.

　　由勾股定理
　　，，，
　　，，；

　　由可知 ，∴ ，
　　，；

　　由知，故设，，
　　∴ ， ∴ ；

　　由可设，，∴ ，
　　∴，，.
　反思、归纳：
　　1.由(1)不难发现：当时有：，
　　　，；
　　2.，.
　　　可以考虑用上面的规律去求解(2)、(3)、(4).

　　评述：
　　三角函数是今后解决几何计算问题的工具，一定要熟练、准确，现阶段面对类似计算时最好沿“形”→“定义”→“几何元素对应”→“数据”的思维顺序予以巩固练习.

　　2.(1)已知：如图1，△ABC中，，，，求值；
　　　　 　(2)已知：如图2，△ABC中，，，，
　　　　　　　求的三个三角函数值；
　　　　 　(3)已知：如图3，在中，，于D，，，
　　　　　　　求①值；②.

　　解析：(1)∵ ，∴ 不是直角三角形
　　　　　　　不能直接用来求构造直角三角形，
　　　　　　　过作于(或过C作AB边的高，思考能否过B作高呢？)
　　　　　　　设，则，由勾股定理，可得
　　　　　　　∴ ，∴ ；
　　　　　 (2)同上，不在直角三角形中，过D作于，
　　　　　　　现在来求DB、DE的长，题目中没有告诉我们长度数据，又
　　　　　　　故设，则，，
　　　　　　　∵ ，∴ ，，
　　　　　　　在中，
　　　　　　　∴ ，
　　　　　　　，
　　　　　　　.
　　 (3)不同于上两例，在中，，但DC、AC均不知道
　　　　　　　，，在两个直角三角形中(和)
　　　　　　　显然通过好计算，，.
　　　　　　　计算AC，可以考虑用先前所学的相似知识来作.
　　　　　　　但这里我们还可发现运用三角函数是否会更好呢？由上可知，
　　　　　　　故
　　评述：
　　1．锐角的三角函数的定义是通过直角三角形的边之比来定义的，在具体图形中计算或使用一个角的三角函数值，首先要关注图中角所在的三角形是否是直角三角形.若不是就不能直接使用、、…等关系.
　　构造直角三角形的方法有多种，如图

　　注意优化选择和勾股定理的使用.
　　2．其实(1)题中，我们可知，它各边之比是我们很熟悉的，为了后期更熟练的使用锐角三角函数，我们可以通过推导并记忆下几个特殊角、、的三角函数值.

1

　　3．通过第(3)小问，我们可以预见在今后的几何量计算中，运用三角函数会非常方便快捷，为了今后的高效使用建议同学在现阶段认真思考：

　　类似你能推出 试试.

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