九年级(上)数学综合练习(四)答案.doc

九年级（上）数学综合练习（四）答案　
一．选择题（共12小题）
1．（2006•镇江）已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运动路径为：G﹣＞C﹣＞D﹣＞E﹣＞F﹣＞H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有（　　）

①图1中的BC长是8cm，②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2，
③图1中的CD长是4cm，④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2．

A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个

考点：
动点问题的函数图象．菁优网版权所有
专题：
压轴题；动点型．
分析：
理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
解答：
解：根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；
P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD=4cm，面积y==24cm2．
图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18cm2．四个结论都正确．
故选D．
点评：
要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．

2．（2010•天门校级自主招生）如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于（　　）

A．
12
B．
16
C．
4
D．
8

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
在AC上取一点G，使CG=AB=4，连接OG，可证得△OGC≌△OAB，从而得到OG=OA=6，再可证△AOG是等腰直角三角形，根据求出AG，也就求得AC=16．
解答：
解：在AC上取一点G使CG=AB=4，连接OG
∵∠ABO=90°﹣∠AHB，∠OCG=90°﹣∠OHC，∠OHC=∠AHB
∴∠ABO=∠OCG
∵OB=OC，CG=AB
∴△OGC≌△OAB
∴OG=OA=6，∠BOA=∠GOC
∵∠GOC+∠GOH=90°
∴∠GOH+∠BOA=90°
即：∠AOG=90°
∴△AOG是等腰直角三角形，AG=12（勾股定理）
∴AC=16．
故选B．

点评：
本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．

3．（2012•桃源县校级自主招生）已知a为实数，则代数式的最小值为（　　）

A．
0
B．
3
C．

D．
9

考点：
二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
解答：
解：∵原式=
=
=
∴当（a﹣3）2=0，即a=3时
代数式的值最小，为即3
故选B．
点评：
用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握．

4．（2008•随州）如图，要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有（　　）

A．
4个
B．
3个
C．
2个
D．
1个

考点：
一元二次方程的解；解一元二次方程-因式分解法；解分式方程．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
本题实际是分为两种情况：
（1）当x≤2时，有方程x2﹣2=x，分别解得x的值；
（2）当x＞2时，由=x，解得x的值；看看究竟有几个符合题意的x的值．
解答：
解：（1）当x≤2时，由方程x2﹣2=x，
解得：x=2或x=﹣1；

（2）当x＞2时，由=x，
解得：x=±，x=﹣应舍去，
因而这样的x的值有3个，分别是2，﹣1和．
故选B．
点评：
正确理解题意，把图表问题转化为方程问题是解决本题的关键．

5．（2013•呼和浩特）（非课改）已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，则m的值是（　　）

A．
3
B．
1
C．
3或﹣1
D．
﹣3或1

考点：
根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
由于方程有两个不相等的实数根可得△＞0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和+=﹣1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．
解答：
解：根据条件知：
α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，
∴=﹣1，
即m2﹣2m﹣3=0，
所以，得，
解得m=3．
故选A．
点评：
1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
2、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．

6．（2003•安徽）党的“十六大”提出要全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化建设，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番．在21世纪的头二十年（2001﹣2020年）要实现这一目标，以十年为单位计算，设每十年国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（　　）

A．
（1+x）2=2
B．
（1+x）2=4
C．
1+2x=2
D．
（1+x）+2（1+x）=4

考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．菁优网版权所有
专题：
增长率问题；压轴题．
分析：
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可用x表示出2010年的国民生产总值，再根据2010年的生产总值表示出2020年的生产总值．最后根据已知条件列出方程化简即可得出本题的答案．
解答：
解：设2000年生产总值为1，
则2020年的国民生产总值为22=4，
依题意得：2010年的国民生产总值=1×（1+x）=1+x，
则2020年的国民生产总值=（1+x）（1+x）=（1+x）2=4
∴（1+x）2=4．
故选B．
点评：
此题主要考查了增长率的问题，一般公式为：原来的量×（1±x）2=现在的量，x为增长或减少的百分率．增加用+，减少用﹣．

7．（2013•呼和浩特）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
二次函数的图象；一次函数的图象．菁优网版权所有
专题：
代数综合题．
分析：
本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．
解答：
解：解法一：逐项分析
A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；

解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x=＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
点评：
主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．

8．（2009•孝感）对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣与x轴交于An，Bn两点，以AnBn表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2015B2015的值是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
专题：
压轴题；规律型．
分析：
本题就是将非零自然数n分别代入抛物线得出与x轴交点的各个值，分别算出两交点间的距离再求出它们的和．
解答：
解：将n=1，2，3，4…分别代入抛物线得y=x2﹣x+，y=x2﹣x+，y=x2﹣x+，…；
分别解得x1=1，x2=，x3=，x4=，x5=，x6=，…；
∴A1B1=1﹣，A2B2=﹣，A3B3=﹣，…，A2009B2009=﹣；
∴A1B1+A2B2+…+A2009B2009=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．
故选D．
点评：
此题是一道开放题，需要先代入几个特殊值，找出规律，然后解答．

9．（2011•绵阳）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（　　）

A．
x1＜x2＜a＜b
B．
x1＜a＜x2＜b
C．
x1＜a＜b＜x2
D．
a＜x1＜b＜x2

考点：
抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
因为x1和x2为方程的两根，所以满足方程（x﹣a）（x﹣b）=1，再由已知条件x1＜x2、a＜b结合图象，可得到x1，x2，a，b的大小关系．
解答：
解：用作图法比较简单，首先作出（x﹣a）（x﹣b）=0图象，随便画一个（开口向上的，与x轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是（x﹣a）（x﹣b）=1，这时与x轴的交点就是x1，x2，画在同一坐标系下，很容易发现：
答案是：x1＜a＜b＜x2．
故选：C．

点评：
本题考查了一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关键．

10．（2002•湖州）已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为（　　）

A．
|2+b||b+1|
B．
c（1﹣c）
C．
（b+1）2
D．

考点：
抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
把点（c，0）代入抛物线中，可得b、c的关系式，再设抛物线与x轴的交点分别为x1、x2，则x1、x2满足x2+bx+c=0，根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x1﹣x2|，那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积．
解答：
解：∵抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），
∴c2+bc+c=0；
∴c（c+b+1）=0；
∵c＜0，
∴c=﹣b﹣1；
设x1，x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根，
∴x1+x2=﹣b，x1•x2=c=﹣b﹣1，
∴抛物线与x轴的交点间的距离为|x1﹣x2|=====|2+b|，
∴S可表示为|2+b||b+1|．
故选A．
点评：
此题考查了点与函数的关系，还考查了二次函数与一元二次方程的关系，要注意根与系数的关系；此题考查了学生的分析能力，属于难度较大的题目．

11．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（　　）

A．
m
B．
6m
C．
15m
D．
m

考点：
二次函数的应用．菁优网版权所有
分析：
本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：长方形的面积=大三角形的面积﹣两个小三角形的面积．
解答：
解：根据题意得：y=30﹣（5﹣x）﹣x（12﹣），
整理得y=﹣x2+12x，
=﹣[x2﹣5x+（）2﹣]，
=﹣（x﹣）2+15，
∵
∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．
故选D．
点评：
求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．

12．（2013•泰安模拟）如图，抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点（点A在点B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P运动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
首先根据题意求得点A与B的坐标，求得抛物线的对称轴，然后作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，则直线A′B′与直线x=的交点是E，与x轴的交点是F，而且易得A′B′即是所求的长度．
解答：
解：如图
∵抛物线y=x2﹣x﹣与直线y=x﹣2交于A、B两点，
∴x2﹣x﹣=x﹣2，
解得：x=1或x=，
当x=1时，y=x﹣2=﹣1，
当x=时，y=x﹣2=﹣，
∴点A的坐标为（，﹣），点B的坐标为（1，﹣1），
∵抛物线对称轴方程为：x=﹣=
作点A关于抛物线的对称轴x=的对称点A′，作点B关于x轴的对称点B′，
连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x=）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF=B′F，AE=A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB=A′E+EF+FB′=A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C=++（1﹣）=1，B′C=1+=，
∴A′B′==．
∴点P运动的总路径的长为．
故选A．
点评：
此题考查了二次函数与一次函数的综合应用．注意找到点P运动的最短路径是解此题的关键，还要注意数形结合与方程思想的应用．

二．填空题（共6小题）
13．（2002•重庆）已知x1，x2是方程3x2﹣19x+m=0的两根，且，则m的值为　0或16　．

考点：
一元二次方程的解．菁优网版权所有
分析：
解答此题只需将x1=代入原方程，转化为关于未知常数项m的一元二次方程解答．
解答：
解：把x1=代入3x2﹣19x+m=0，
得3×（）2﹣19×+m=0，
整理得m2﹣16m=0，
即m（m﹣16）=0，
∴m=0或m=16．
故本题答案为：0或16．
点评：
本题考查了一元二次方程的解及一元二次方程的解法．

14．（2010•苏州）若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=　5　．

考点：
根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有
专题：
判别式法．
分析：
欲求a+b的值，先把x=3代入一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0，求出a，再由根与系数的关系，求得b，代入数值计算即可．
解答：
解：把x=3代入一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0，
解得：a=3，
由根与系数的关系得3+b=﹣=5，
解得：b=2，
∴a+b=3+2=5．
故答案为：5．
点评：
此题主要考查了根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．

15．（2011•日照）如图，是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0．其中正确的命题是　①③　．（只要求填写正确命题的序号）

考点：
二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由图象可知过（1，0），代入得到a+b+c=0；根据﹣=﹣1，推出b=2a；根据图象关于对称轴对称，得出与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0）；由a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，根据结论判断即可．
解答：
解：由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；
﹣=﹣1，
∴b=2a，∴②错误；
根据图象关于对称轴x=﹣1对称，
与X轴的交点是（﹣3，0），（1，0），∴③正确；
∵b=2a＞0，
∴﹣b＜0，
∵a+b+c=0，
∴c=﹣a﹣b，
∴a﹣2b+c=a﹣2b﹣a﹣b=﹣3b＜0，
∴④错误．
故答案为：①③．
点评：
本题主要考查对二次函数与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定系数的正负是解此题的关键．

16．（2011•大连）如图，抛物线y=﹣x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2﹣2时，y　＜　0（填“＞”“=”或“＜”号）．

考点：
抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
专题：
压轴题；数形结合．
分析：
由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得m小于0，当x=x2﹣2时，从而求得y小于0．
解答：
解：∵抛物线y=﹣x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=2，x1x2=﹣m＞0，
∴x1＞0，x2＞0，
∵x1+x2=2
∴x2=2﹣x1
∴x=﹣x1＜0
∴y＜0
故答案为＜．
点评：
本题考查了二次函数根与系数的关系，由根与系数的关系得到m小于0，并能求出x=x2﹣2小于0，结合图象从而求得y值的小于0．

17．（2009•金华）如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2（x＞0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是　（，）或（3，）或（2，2）或（，）．　．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
此题应分四种情况考虑：
①∠POQ=∠OAH=60°，此时A、P重合，可联立直线OA和抛物线的解析式，即可得A点坐标；
②∠POQ=∠AOH=30°，此时∠POH=60°，即直线OP：y=x，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出OQ、PQ的长，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到点A的坐标．
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；
解答：
解：①当∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=30°，
所以直线OA：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得，；
故A（，）；

②当∠POQ=∠AOH=30°，此时△POQ≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得，；
故P（，3），那么A（3，）；

③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°时，此时△QOP≌△AOH；

易知∠POH=60°，则直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得、，
故P（，3），
∴OP=2，QP=2，
∴OH=OP=2，AH=QP=2，
故A（2，2）；

④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此时△OQP≌△AOH；

此时直线OP：y=x，联立抛物线的解析式，
得：，
解得、，
∴P（，），
∴QP=，OP=，
∴OH=QP，QP=，AH=OP=，
故A（，）．
综上可知：符合条件的点A有四个，且坐标为：则符合条件的点A的坐标是 （，）或（3，）或（2，2）或（，）．

点评：
此题主要考查的是全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法；由于全等三角形的对应顶点不明确，因此要注意分类讨论思想的运用．

18．（2005•黑龙江）已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=2，那么AP的长为　或　．

考点：
菱形的性质．菁优网版权所有
专题：
压轴题；分类讨论．
分析：
根据题意得，应分P与A在BD的同侧与异侧两种情况进行讨论．
解答：
解：当P与A在BD的异侧时：连接AP交BD于M，
∵AD=AB，DP=BP，
∴AP⊥BD（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上），
在直角△ABM中，∠BAM=30°，
∴AM=AB•cos30°=3，BM=AB•sin30°=3，
∴PM==，
∴AP=AM+PM=4；
当P与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点M
AP=AM﹣PM=2；
当P与M重合时，PD=PB=3，与PB=PD=2矛盾，舍去．
AP的长为4或2．
故答案为4或2．

点评：
本题注意到应分两种情况讨论，并且注意两种情况都存在关系AP⊥BD，这是解决本题的关键．

三．解答题（共7小题）
19．（2011•南充）关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．
（1）求k的取值范围；
（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．

考点：
根与系数的关系；根的判别式；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
专题：
代数综合题；压轴题．
分析：
（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数k的取值范围；
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入不等式x1+x2﹣x1x2＜﹣1，即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值．
解答：
解：（1）∵方程有实数根，
∴△=22﹣4（k+1）≥0，
解得k≤0．
故K的取值范围是k≤0．

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，
x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）．
由已知，得﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2．
又由（1）k≤0，
∴﹣2＜k≤0．
∵k为整数，
∴k的值为﹣1和0．
点评：
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．在运用一元二次方程根与系数的关系解题时，一定要注意其前提是此方程的判别式△≥0．

20．（2013•黔西南州）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．
∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=　m2+3n2　，b=　2mn　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：　4　+　2　=（　1　+　1　）2；
（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？

考点：
二次根式的混合运算．菁优网版权所有
分析：
（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；
（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；
（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．
解答：
解：（1）∵a+b=，
∴a+b=m2+3n2+2mn，
∴a=m2+3n2，b=2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．

（2）设m=1，n=1，
∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．
故答案为4、2、1、1．

（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数，
∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．
点评：
本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．

21．（2011•义乌市）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加　2x　件，每件商品盈利　（50﹣x）　元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

考点：
一元二次方程的应用．菁优网版权所有
专题：
销售问题．
分析：
（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=原来的盈利﹣降低的钱数；
（2）等量关系为：每件商品的盈利×可卖出商品的件数=2100，把相关数值代入计算得到合适的解即可．
解答：
解：（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，故答案为2x；50﹣x；
（2）由题意得：（50﹣x）（30+2x）=2100（0≤x＜50）
化简得：x2﹣35x+300=0，即（x﹣15）（x﹣20）=0，
解得：x1=15，x2=20
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴选x=20，
答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．
点评：
考查一元二次方程的应用；得到可卖出商品数量是解决本题的易错点；得到总盈利2100的等量关系是解决本题的关键．

22．（2008•南京）已知二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
10
5
2
1
2
5
…
（1）求该二次函数的关系式；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．

考点：
待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．菁优网版权所有
专题：
图表型．
分析：
（1）从表格中取出2组解，利用待定系数法求解析式；
（2）利用顶点坐标求最值；
（3）利用二次函数的单调性比较大小．
解答：
解：（1）根据题意，
当x=0时，y=5；
当x=1时，y=2；
∴，解得，
∴该二次函数关系式为y=x2﹣4x+5；

（2）∵y=x2﹣4x+5=（x﹣2）2+1，
∴当x=2时，y有最小值，最小值是1，

（3）∵A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在函数y=x2﹣4x+5的图象上，
所以，y1=m2﹣4m+5，
y2=（m+1）2﹣4（m+1）+5=m2﹣2m+2，
y2﹣y1=（m2﹣2m+2）﹣（m2﹣4m+5）=2m﹣3，
∴①当2m﹣3＜0，即m＜时，y1＞y2；
②当2m﹣3=0，即m=时，y1=y2；
③当2m﹣3＞0，即m＞时，y1＜y2．
点评：
主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的最值的求法即其性质．渗透分类讨论思想．

23．（2011•东莞）已知抛物线与x轴没有交点．
（1）求c的取值范围；
（2）试确定直线y=cx+1经过的象限，并说明理由．

考点：
抛物线与x轴的交点；一次函数的性质．菁优网版权所有
专题：
代数综合题．
分析：
（1）根据题意的判别式小于0，从而得出c的取值范围即可；
（2）根据c的值，判断直线所经过的象限即可．
解答：
解：（1）∵抛物线与x轴没有交点．
∴△=1﹣4×c=1﹣2c＜0，
解得c＞；

（2）∵c＞，
∴直线过一、三象限，
∵b=1＞0，
∴直线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴直线y=cx+1经过第一、二、三象限．
点评：
本题考查了抛物线和x轴的交点问题以及一次函数的性质，是基础知识要熟练掌握．

24．
25.（2004•宿迁）已知抛物线y=﹣x2+mx﹣m+2．
（Ⅰ）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=，试求m的值；
（Ⅱ）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且△MNC的面积等于27，试求m的值．

考点：
抛物线与x轴的交点．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）让y=0，利用根与系数的关系表示出较大的根减去较小的根，求解即可；
（2）在求△CMN的面积时，要结合图象，已知条件，可以发现S△COM=S△CON．而△MNC的面积等于S△COM+S△CON．
解答：
解：（1）设点A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2是方程﹣x2+mx﹣m+2=0的两根．
∵x1+x2=m，x1•x2=m﹣2＜0即m＜2，
又∵AB=|x1﹣x2|=，
∴m2﹣4m+3=0．
解得：m=1或m=3（舍去），
故m的值为1．

（2）设M（a，b），则N（﹣a，﹣b）．
∵M、N是抛物线上的两点，
∴
①+②得：﹣2a2﹣2m+4=0，
∴a2=﹣m+2，
∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N，
∴．
这时M、N到y轴的距离均为，
又∵点C坐标为（0，2﹣m），而S△MNC=27，
∴2××（2﹣m）×=27，
解得m=﹣7．

点评：
主要考查了二次函数的图象性质与一元二次方程根与系数之间的关系，以及表达图形面积的方法．

26．（2012•扬州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
二次函数综合题．菁优网版权所有
专题：
综合题；压轴题；分类讨论．
分析：
（1）直接将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中求出待定系数即可．
（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点．
（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解．
解答：
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3．

（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：
∴直线BC的函数关系式y=﹣x+3；
当x=1时，y=2，即P的坐标（1，2）．

（3）抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），则：
MA2=m2+4，MC2=（3﹣m）2+1=m2﹣6m+10，AC2=10；
①若MA=MC，则MA2=MC2，得：
m2+4=m2﹣6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，则MA2=AC2，得：
m2+4=10，得：m=±；
③若MC=AC，则MC2=AC2，得：
m2﹣6m+10=10，得：m1=0，m2=6；
当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．

点评：
该二次函数综合题涉及了抛物线的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定等知识，在判定等腰三角形时，一定要根据不同的腰和底分类进行讨论，以免漏解．

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