数学建模： 城市空气质量评估及预测(省级优秀奖).docx

2010年西南交通大学“新秀杯”数学建模竞赛参赛论文

论文题目：城市空气质量评估及预测

参加2011年建模创新团队选拔： 是 （“是” 或 “否”）

2010年11月

城市空气质量评估及预测

摘要：本文对我国的成都，杭州，北京，上海，广州，拉萨，乌鲁木齐，郑州，武汉，西安等10座城市的每日空气质量详细列表进行科学分析，利用层次分析法和指数平滑法等数学建模方法对其空气质量进行研究，综合考虑各种因素建立如下数学模型。
1、十个城市空气污染严重程度的科学排名。本文采用层次分析法来对10个城市的环境污染情况进行比较。用excel统计出各个城市不同级别的污染天数。在采用层次分析法，首先建立层次结构模型然后构造成对比较阵，用matlab软件计算权向量并做一致性检验，计算组合权向量并做组合一致性检验。最后根据权重的大小就可以比较出10个城市空气污染严重程度的科学排名。
2、成都市11月的空气质量状况预测。本文采用指数平滑的方法来建立数学模型。根据前面的统计数据，考虑到污染级别不同和首要污染物的种类两个因素来预测成都11月的空气质量状况。
3、分析影响城市空气污染程度的主要因素。先通过excel统计出每个城市的各种首要污染物所占总天数的比例，然后再综合考虑各方面因素找出造成该污染物超标的以原因，以找出影响城市空气污染程度的主要因素。
最后本文就10个城市的空气污染严重程度的排名给出了相关的分析以及应对策略。就成都11月份的空气质量状况预测给出出行和生活方面的建议。并结合当下倡导建设环境友好型和资源节约型社会出发，就如何兼顾经济发展与环境保护给出指导性建议。
关键词：空气质量污染等级 层次分析法 指数平滑法 首要空气污染物

一 问题的提出
1.1 背景介绍
随着科技的发展，工业的进步和全球人口急剧增多的因素的影响，人们赖以生存的环境遭到了很大的破坏，很多地区相继出现了酸雨、物种灭绝、土地沙化等环境问题，环境问题已经成为当今世界各国普遍关注的问题之一，也是21 世纪人类面临的重大挑战。
我国是一个人口大国，城市众多，人口密集。但由于工业的发展，我们的很多城市都受到了不同程度的污染，尤其是空气的污染，直接对我们造成伤害。空气中的污染物主要是可吸入颗粒、二氧化硫、二氧化氮等物质。
1.2 问题的解决
我们通过统计不同城市的每天空气质量详细列表，运用层次分析法可以对不同城市的空气质量进行统计和比较。
在预测成都11月的空气质量状况时采用指数平滑的方法来建立数学模型。
二 基本假设
1.根据空气污染指数（ＡＰＩ）来划分为５个等级：API值小于等于50，空气质量为优，相当于国家空气质量一级标准；API值大于50且小于等于100，表明空气质量良好，相当于达到国家质量二级标准；API值大于100且小于等于200，表明空气质量为轻度污染，相当于国家空气质量三级标准；API值大于200表明空气质量差，称之为中度污染，为国家空气质量四级标准；API大于300表明空气质量极差，已严重污染。
2．数据取自国家统计局，具有使用价值。
　三　问题的分析
1. 不同城市的空气质量统计和比较
(1) 最大特征值λ(max) 的Matlab 计算方法：[V,D]=eig(A),其中A为待计算特征值的矩阵，D 为对角矩阵，其对角元素为A的特征值，最大的即为λ(max) 。
(2)一致性指标CI 计算方法：
CI=(λ-n)/(n-1);
（其中λ为矩阵A的最大特征值，n为矩阵的阶数）
(3)随即一致性指标RI 的计算方法：
RI 与n 有如下关系，如表
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
(5)权重计算方法
计算矩阵A 的特征根及特征向量，将所求的特征向量单位化后得到的就是权重值。
2. 成都11月份空气质量进行预测
指数平滑法（Exponential Smoothing，ES）是布朗(Robert G..Brown)所提出，布朗、认为时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；他认为最近的过去态势，在某种程度上会持续的未来，所以将较大的权数放在最近的资料。指数平滑法是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行预测。其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均。
基本模型如下：Ft+1=a﹒Yt + (1-a)Ft
Ft+1为第t+1时期的时间序列预测值
Yt 为第t时间的时间序列的实际值
Ft 为第t时间的时间序列的预测值
a 为平滑系数, 其取值范围为[0,1]；

四 模型的建立与求解
4.1建立数学模型给出十个城市空气污染严重程度的科学排名

1. 将研究目标（Z）、因素（P）、对象（C）按相关关系分成目标层Z、准则层P、对象层C。层次结构图如图所示：

空气质量一级
空气质量二级
空气质量三级
空气质量四级
空气质量五级
空气质量

成都 杭州 北京 上海 ………
2.给出空气质量一级，二级，三级，四级和五级两两成对比较的判断矩阵P

污染级别
一级
二级
三级
四级
五级

1
2
3
4
5
根据上图得出如下例两两成对比较的判断矩阵P

权重
五级
四级
三级
二级
一级
五级
1/3
1
5/4
5/3
5/2
5
四级
4/15
4/5
1
4/3
2
4
三级
1/5
3/5
3/4
1
3/2
3
二级
2/15
2/5
1/2
2/3
1
4
一级
1/15
1/5
1/4
1/3
1/2
1
由表中数据， 计算可知： λ(max) = 5.00 ， CI = 0.00 ， RI = 1.12 ，
CR = 0.00 < 0.1。因为CR = 0.00 < 0.1，所以此排序有满意的一致性。
3.给出对象层对准则层的各个因素的判断矩阵并进行分析。
由于各个城市只存在污染程度的不同，所以它们两者之间各因素之间的关系。
2010空气污染指数统计

优
良
轻度
污染
中度
污染
严重
污染
成都
49
224
33
0
0
杭州
50
220
30
0
2
北京
35
201
59
2
1
上海
127
156
147
0
1
广州
95
193
10
0
0
拉萨
212
91
3
0
1
乌鲁木齐
19
216
66
5
1
郑州
15
249
36
1
1
武汉
52
205
48
0
2
西安
14
244
43
0
1

成都
杭州
北京
上海
广州
拉萨
乌鲁木齐
郑州
武汉
西安
权重
成都
1
49/50
7/5
49/127
49/95
49/212
49/19
49/15
49/52
7/2
0.073
杭州
50/49
1
10/7
50/127
25/95
25/106
50/19
10/3
25/26
25/7
0.074
北京
5/7
7/10
1
35/127
35/95
35/212
35/19
7/3
35/52
5/2
0.052
上海
127/49
127/50
127/35
1
127/95
127/212
127/19
127/15
127/52
127/14
0.190
广州
95/49
19/10
19/7
95/127
1
95/212
5
19/3
95/52
95/14
0.142
拉萨
212/49
106/25
212/35
212/127
212/95
1
212/19
212/15
53/13
106/7
0.317
乌鲁木齐
19/49
19/50
19/35
19/127
1/5
19/212
1
19/15
19/52
19/14
0.028
郑州
15/49
3/10
3/7
15/127
3/19
15/212
15/19
1
15/52
15/14
0.022
武汉
52/49
26/25
52/35
52/127
52/95
13/53
52/19
52/15
1
26/7
0.077
西安
2/7
7/25
2/5
14/127
14/95
7/106
14/19
14/15
7/26
1
0.021
根据表中数据，类比（2）中方法，计算出各种不同污染等级对不同城市的权重
空气质量一级对10个城市的不同权重表

由表中数据， 计算可知： λ(max) = 10.00 ， CI = 0.00 ， RI = 1.49 ，
CR = 0.00 < 0.1
同理，可以计算出其余空气质量等级对10个城市的不同权重。计算方法类似，用matlab软件的计算过程详见本文附表。

空气质量二级对10个城市的不同权重表
城市
成都
杭州
北京
上海
广州
拉萨
乌鲁木齐
郑州
武汉
西安
权重
0.112
0.110
0.100
0.078
0.096
0.045
0.108
0.124
0.103
0.122
由表中数据， 计算可知： λ(max) = 10.00 ， CI = 0.00 ， RI = 1.49 ，
CR = 0.00 < 0.1

空气质量三级对10个城市的不同权重表
城市
成都
杭州
北京
上海
广州
拉萨
乌鲁木齐
郑州
武汉
西安
权重
0.069
0.063
0.124
0.309
0.021
0.006
0.139
0.076
0.101
0.091
由表中数据， 计算可知： λ(max) = 10.00 ， CI = 0.00 ， RI = 1.49 ，
CR = 0.00 < 0.1

空气质量四级对10个城市的不同权重表
城市
成都
杭州
北京
上海
广州
拉萨
乌鲁木齐
郑州
武汉
西安
权重
0
0
0.25
0
0
0
0.625
0.125
0
0
由表中数据， 计算可知： λ(max) = 10.00 ， CI = 0.00 ， RI = 1.49 ，
CR = 0.00 < 0.1

空气质量五级对10个城市的不同权重表
城市
成都
杭州
北京
上海
广州
拉萨
乌鲁木齐
郑州
武汉
西安
权重
0
0.2
0.1
0.1
0
0.1
0.1
0.1
0.2
0.1
由表中数据， 计算可知： λ(max) = 10.00 ， CI = 0.00 ， RI = 1.49 ，
CR = 0.00 < 0.1
4. 模型求解
进行层次总排序，方法：
将上面5个空气质量等级对10个城市的不同权重表单位化后作为列向量构成10×5矩阵，和空气质量一级，二级，三级，四级和五级两两成对比较的判断矩阵P相乘，结果便得到10个城市的权重值。根据上述三问题的分析中的假设可知，权重值越大，表明空气污染情况越严重。因此，将10个城市的权重值按照从小到大依次排序，得出的结果便是10个城市的空气污染严重程度的排名。
最终结果如下表所示：

一级(0.067)
二级
(0.133)
三级
(0.200)
四级
(0.267)
五级
(0.333)
总权重
成都
0.073
0.112
0.069
0
0
0.033587
杭州
0.074
0.110
0.063
0
0.2
0.098788
北京
0.052
0.100
0.124
0.25
0.1
0.141634
上海
0.190
0.078
0.309
0
0.1
0.118204
广州
0.142
0.096
0.021
0
0
0.026482
拉萨
0.317
0.045
0.006
0
0.1
0.061724
乌鲁木齐
0.028
0.108
0.139
0.625
0.1
0.244215
郑州
0.022
0.124
0.076
0.125
0.1
0.099841
武汉
0.077
0.103
0.101
0
0.2
0.105658
西安
0.021
0.122
0.091
0
0.1
0.069133
总的一致性检验
CR = 0.067× 0 + 0.133× 0 + 0.200× 0 +0.267×0+0.333×0= 0 << 0.1
此结果说明排序结有非常满意的一致性。
5.结果分析
根据10个城市的总权重值进行从小到大依次排序，空气污染严重程度的排名如下：
(1) 广州
(2) 成都
(3) 拉萨
(4) 西安
(5) 杭州
(6) 郑州
(7) 武汉
(8) 上海
(9) 北京
(10) 乌鲁木齐
结论显示广州的空气质量状况最好，而上海，北京，乌鲁木齐的空气质量状况较差。广州今年在筹备2010广州亚运会，因此在城市环境保护方面下大力气进行整治，空气质量状况得到明显改善。而北京上海作为我国的一线城市，城市人口密度大，机动车保有量大，交通拥堵，工业化程度高，因此城市空气污染情况严重。乌鲁木齐由于地理位置的因素，处在大西北，经常遭受沙尘暴等恶劣天气影响，因此空气污染情况严重，特别是可吸入颗粒明显超标。

4.2 建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测

预测成都市11月的空气质量状况主要采用指数平滑的方法来建立数学模型。

1.用excel统计出成都市2005年到2010年的空气污染指数，如下表所示：

成都2005~2010空气污染指数统计

优
良
轻微污染
轻度污染
中度污染
中度重污染
重污染
2005
21
266
60
15
0
0
4
2006
35
251
63
10
4
2
0
2007
31
274
56
2
2
0
0
2008
25
291
43
7
0
0
0
2009
34
278
38
11
1
0
0
2010
49
224
28
5
0
0
0

2.根据上表，做出统计表，然后做出分布图。如下所示：
年份
占全年百分比/%
空气污染指数
0~100
100~200
大于200
2005
78.3562
20.5479
1.0959
2006
78.3562
20.0000
1.6438
2007
83.5616
15.8904
0.2479
2008
86.5753
13.6986
0
2009
86.1878
13.5359
02762
2010
89.2157
10.7843
0

分布图如下所示：

3.分析2005年到2010 年的空气污染指数
由这个分布图我们可以看出每年成都空气污染指数的大体情况，结合2010年每月的空气污染指数，我们对成都11月份的空气污染指数进行预测 。
运用指数平滑法进行计算。
分析: 为了预测成都11月份的空气污染指数，不仅要知道前面几月的实际空气污染指数，还要知道前面几个月的预测值。
例如：我们已经知道了成都11月份前4天的空气污染指数。(这只是一个举例)
F1=Y1，由于空气污染指数有波动，但长期趋势变化不大时，可选稍大的α值，常在0.1～0.4之间取值；我们取a=0.3进行计算，则F2=0.3Y1+0.7F1,F3=0.3Y2+0.7F2……

日期
空气污染指数
移动平均法预测值
预测偏差
偏方平方值
2010/11/1
76

2010/11/2
84
76
8
64
2010/11/3
60
78.4
-18.4
338.6
2010/11/4
68
72.88
-4.88
23.8

合计
426.4

解得2010/11/5的空气污染指数为F5=0.3Y4+0.7F4
=0.3×68+0.7×72.88
71
第5日的预测偏差的平方值为=426.4/3=142.1
不同的α取值对第5日的预测值和预测偏差的平方值的影响，公式写为
Ft+1=a .Yt+(1-a)Ft
=a .Yt+Ft-aFt
=Ft+a(Yt-Ft)

选取不同的值获得结果如下表所示:

a
第5日预测值
第5日预测偏差平方估计值
0
76
128
0.1
74
121
0.2
73
136
0.3
71
142.1
0.4
70
60
0.5
69
56
0.6
68
168
0.7
67
170
0.8
67
188
0.9
66
210
1.0
68
235

当α取0.5时，用指数平滑法求得的第5日的预测值为69，预测偏差的平方估计值最小为56。因此，0.5为α最适合的取值，69为第5日最精确的预测值。
其它日子的空气污染指数计算方法如上。

4.最终对成都市11月的空气质量状况的预测情况如下：

成都市11月的空气质量状况预测详细列表

日期
污染指数
首要污染物
空气质量级别
空气质量状况
2010-11-30
74
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-29
72
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-28
51
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-27
68
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-26
44
––
Ⅰ
优
2010-11-25
81
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-24
77
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-23
47
––
Ⅰ
优
2010-11-22
49
––
Ⅰ
优
2010-11-21
87
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-20
77
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-19
69
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-18
55
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-17
67
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-16
50
––
Ⅰ
优
2010-11-15
47
––
Ⅰ
优
2010-11-14
53
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-13
91
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-12
98
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-11
117
可吸入颗粒物
Ⅲ1
轻微污染
2010-11-10
106
可吸入颗粒物
Ⅲ1
轻微污染
2010-11-9
115
可吸入颗粒物
Ⅲ1
轻微污染
2010-11-8
105
可吸入颗粒物
Ⅲ1
轻微污染
2010-11-7
94
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-6
85
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-5
69
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-4
68
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-3
60
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-2
84
可吸入颗粒物
Ⅱ
良
2010-11-1
76
可吸入颗粒物
Ⅱ
良

4.3 建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么

1.通过对10个城市的空气污染情况分析，用excel统计出污染物种类与污染的天数，结果如下表所示：

污染种类

可吸入颗粒物

二氧化硫
成都
253
0
杭州
247
0
北京
259
3
上海
167
2
广州
198
3
拉萨
93
0
乌鲁木齐
242
44
郑州
262
24
武汉
254
0
西安
288
0

统计结果显示，污染物分为可吸入颗粒和二氧化硫两类。而且对比每个城市的数据，结果显示可吸入颗粒物为首要污染物的天数占绝大多数，远远大于二氧化硫。

2. 影响城市空气污染程度的主要因素
首要污染物的来源
可吸入颗粒物的来源有以下五个方面：
a.工业污染（燃煤排放和生产中产生的尘及有机物）；
b.机动车尾气排放；
c.来自道路、施工、裸露地面的扬尘；
d.采暖小煤炉及采暖锅炉的民用燃煤排放；
e.餐饮、干洗等其他排放。
二氧化硫的来源主要是煤炭的燃烧
通过调查分析，我们认为在一定时期内，每天的工业污染和餐饮干洗等其他排放，即来源a和e可以看作是不变的。我们只需要根据每天污染源数值的变化量，即民用采暖、汽车尾气、扬尘这三项指标进行空气质量的预报监测。

3． 各个因素的具体分析
(1) 民用采暖，分为采暖季和非采暖季两类，得到如下表：

每日平均
污染指数
采 暖 季
非 采 暖 季
SO2
可吸入颗粒
SO2
可吸入颗粒
63.8
104.5
28.3
99.2

采暖季二氧化硫（SO2）每日平均污染指数是非采暖季的63.8/28.3=225.4%；多出35.5/28.3*100%=125.4%；多出63.8-28.3=35.5个指数；采暖季多出的35.5个指数所对应的就是来自采暖小煤炉及采暖锅炉等民用燃煤排放；这35.5个指数所对应的是占KLW来源的一部分：采暖小煤炉及采暖锅炉的民用燃煤排放，也是占采暖季二氧化硫（SO2）每日污染指数总数的35.5/63.8*100%=55.6%的部分。因此在预报某日空气质量时，应当分采暖季和非采暖季两个不同时间段。在同等或相似的天气条件下，如果设非采暖季二氧化硫（SO2）污染指数为X，可吸入颗粒物（KLW）污染指数为Y，则有：
时间段
SO2污染指数
KLW污染指数
非采暖季
X
Y
采暖季
225.4%X
110.8%Y

(2)汽车尾气
北京上海等国际大都市的机动车保有量大，机动车尾气排放污染已成为城市空气质量的主要来源之一。
我们从北京市交管局指挥中心得到了一部分反映北京日平均车流量的几组典型数据：
2005年
线 路
工作日日均流量
周六日日均流量
4月
二环路
141896
137100
三环路
125603
123421
四环路
157628
133352
6月
二环路
128562
121917
三环路
120530
114991
四环路
141337
115609
9月
二环路
134732
126734
三环路
126519
124084
四环路
150758
116849
10月
二环路
129513
128561
三环路
120623
121611
四环路
138044
123788
总 流 量
1615745
1488017
因此，北京地区周六日日均汽车总流量/工作日日均汽车总流量为：
1488017/1615745*100%=92.1%
即周六日每天的汽车尾气排放量是工作日每天的92.1%.
按照月份划分的尾气排放
　　从访问北京市公安交通管理局指挥中心和新闻中心获得的资料来看，北京市每年的3月份、4月份和9月份的车流量较其他几个月份要大，这三个月之间相比，车流量差异不明显；一年中其余的月份之间差异也不明显。
　　下图的曲线说明2004、2005年北京6-11月份日均车流量的趋势是大体相同的。市公安交通管理局
　　介绍说，从每年数据统计结果来看，尽管同一个月份日均车流量不同，但是月和月之间的比值，每年基本上是一样的。
　　 2004、2005年6-11月北京二环路日平均车流量及车速曲线

2004、2005年6-11月北京二环路日平均车流量及车速曲线

(该曲线数据来源：北京市公安交通管理局新闻中心)
北京市2005年全月份日均车流量数据表(部分月份)
2005年
二环路
三环路
四环路
总计
1月
127582
114179
146476
388237
3月
135409
122501
158150
416060
4月
140419
124951
150717
416087
5月
130621
121620
139318
391559
6月
126702
119309
134163
380174
8月
126686
121026
137630
385342
9月
133274
125867
144512
403653
10月
129212
120943
133611
383766
(上表数字来源：北京市公安交通管理局指挥中心)
2005年1、5、6、8、10月五个月份的日平均车流量为：
（388237+391559+380174+385342+383766）/5 = 385815.6
2005年3、4、9月三个月份的日平均车流量为：
（416060+416087+403653）/3 = 411933.3
由上述两个算式的结果进一步得出：385815.6 / 411933.3 × 100% = 93.7%
市公安交通管理局介绍，北京市每年2、7、11、12月份与上表所列出的1、5、6、8、10月份日均车流量差异不明显，可以归为同一类。因此，北京地区每年1、2、5、6、7、8、10、11、12月九个月份的日平均车流量是3、4、9月三个月份的日平均车流量的：93.7%.即1、2、5、6、7、8、10、11、12月九个月份每天汽车尾气排放量是3、4、9月每天汽车尾气排放量的93.7%.

(3)扬尘
扬尘因素受到天气的影响比较大。当出现大风或者沙尘暴等极端恶劣天气况的时候，可吸入颗粒明显增多。由于天气方面的影响具有很大的不确定度，因此无法准确预测。而且出现极端恶劣的天气的概率也比较低，波动性太大，故不作详细分析。

4．影响城市空气污染程度的主要因素的总结分析
从上述分析当中得出以下影响城市空气污染程度的主要因素：
(1)汽车尾气
城市机动车保有量逐年增加，汽车尾气排放加剧了城市空气质量污染的恶化，特别是尾气的排放，是可吸入颗粒超标而成为首要污染物的主要因素。
(2)民用采暖
随着季节的变化，特别是在北方城市，进入冬季后，开始暖气供应，燃煤量大大增加，导致空气中的二氧化硫含量超标，进而使空气质量下降，是二氧化硫成为首要污染物的主要因素。
(3)扬尘
扬尘受扬尘因素受到天气的影响比较大。当出现大风或者沙尘暴等极端恶劣天气况的时候，可吸入颗粒明显增多。

五、模型的评价与推广

1.层次分析法模型
在涉及到城市空气质量状况排名时，用层次分析法能综合考虑各种不同因素，通过计算出各个因素的权重值来决定其在最后排序中所占的重要性。运用matlab软件计算出特征根与特征向量，在计算出权重值的大小。该方法能有效避免排序时顾此失彼所产生的差错，能准确反映出各个城市的空气质量状况排名。
2. 指数平滑的方法模型
运用指数平滑的方法来建立模型来预测成都11月的空气质量状况具有较高的准确性。特别是在预测未来较短的一段时间内的空气质量状况时，能准确反映其走向和趋势。

附录
用matlab软件计算特征根和特征向量的算法与步骤。
截图如下：