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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢,一、对坐标曲线积分概念,与性质,二、对坐标曲线积分计算法,三、两类曲线积分之间联络,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对坐标曲线积分,第十一章,第1页,复习、对弧长曲线积分概念与性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,是空间中一条有限长光滑曲线,义在,上一个有界函数,都存在,上,对弧长曲线积分,记作,若经过对,任意分割,局部,任意取点,以下“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为,被积函数，,称为,积分弧段.,和对,第2页,假如,L,是,xoy,面上曲线弧,假如,L,是闭曲线,则记为,则定义对弧长曲线积,分为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,性质,（,k,为常数),(,由 组成),(,l,为曲线弧,长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,二、对弧长曲线积分计算法,基本思绪:,计算定积分,转 化,定理:,且,上连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,假如曲线,L,方程为,则有,假如方程为极坐标形式:,则,推广,:,设空间曲线弧参数方程为,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,练习.,设,C,是由极坐标系下曲线,及,所围区域边界,求,提醒:,分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,2.,L,为球面,面交线,求其形心.,在第一卦限与三个坐标,解:,如图所表示,交线长度为,由对称性,形心坐标为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,一、对坐标曲线积分概念与性质,1.,引例:,变力沿曲线所作功.,设一质点受以下变力作用,在,xoy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作功,处理方法:,动过程中变力所作功,W,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第9页,1),“,大化小,”.,2),“,常代变,”,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做功为,F,沿,则,用有向线段,上任取一点,在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,3),“,近似和,”,4),“,取极限,”,(其中,为,n,个小弧段,最大长度),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第11页,2.定义.,设,L,为,xoy,平面内从,A,到,B,一条,有向光滑,弧,若对,L,任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,对,坐标曲线积分,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,.,其中,L,称为,积分弧段,或,积分曲线,.,称为,被积函数,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,若,为空间曲线弧,记,称为对,x,曲线积分;,称为对,y,曲线积分.,若记,对坐标曲线积分也可写作,类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第13页,3.性质,(1)若,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2)用,L,表示,L,反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分特例.,说明:,对坐标曲线积分必须注意积分弧段,方向,!,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第14页,二、对坐标曲线积分计算法,定理:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,参数方程为,则曲线积分,连续,证实:,下面先证,存在,且有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,对应参数,设分点,依据定义,因为,对应参数,因为,L,为光滑弧,同理可证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,尤其是,假如,L,方程为,则,对空间光滑曲线弧,:,类似有,定理 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,例1.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法1,取,x,为参数,则,解法2,取,y,为参数,则,从点,一段.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第18页,例2.,计算,其中,L,为,(1)半径为,a,圆心在原点,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点,A,(,a,0)沿,x,轴到点,B,(,a,0).,解:,(1)取,L,参数方程为,(2)取,L,方程为,则,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,例3.,计算,其中,L,为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:,(1)原式,(2)原式,(3)原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,例4.,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,解,:,(1),(2),参数方程为,试求力场对质点所作功.,其中,为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,例5.,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向.,解:,取,参数方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第22页,三、两类曲线积分之间联络,设有向光滑弧,L,以弧长为参数,参数方程为,已知,L,切向量方向余弦为,则两类曲线积分有以下联络,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,类似地,在,空间曲线,上两类曲线积分联络是,令,记,A,在,t,上投影为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,例6.,将积分,化为对弧长积,分,解：,其中,L,沿上半圆周,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,1.定义,2.性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,反向弧,对坐标曲线积分必须注意,积分弧段方向,!,内容小结,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,4.,两类曲线积分联络,对空间有向光滑弧,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第28页,原点,O,距离成正比,思索与练习,1,.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提醒:,F,大小与,M,到原,F,方向,力,F,作用,求力,F,所作功.,思索:,若题中,F,方向,改为与,OM,垂直且与,y,轴夹锐角,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第29页,2.,已知,为折线,ABCOA,(如图),计算,提醒:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第30页,备用题,1.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到,xoy,面距离成反比.,沿直,求,F,所作功,W,.,已知,F,方向指,一质点在力场,F,作用下由点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第31页,2.,设曲线,C,为曲面,与曲面,从,ox,轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线,C,参数方程;,(2)计算曲线积分,解:,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第32页,(2)原式=,令,利用“偶倍奇零”,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第33页,二者夹角为,例.,设,曲线段,L,长度为,s,证实,续,证:,设,说明:,上述证法可推广到三维第二类曲线积分.,在,L,上连,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第34页,
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