杭州市高三数学教学质量检测.docx

浙江省杭州市2011年高三第一次高考科目教学质量检测
数学（理）试题

考生须知:
1．本卷满分150分, 考试时间120分钟．
2．答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名．
3．所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效．
4．考试结束, 只需上交答题卷．

参考公式
如果事件A，B互斥，那么；
如果事件A，B相互独立，那么 ；
如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率（k = 0,1,…,n）．

一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1．已知，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，则“”是“”的 （ ）
A．既不充分也不必要条件 B． 充要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
3．设z=1+i（i是虚数单位），则 （ ）
A． B．
C． D．

4．如图，是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数与众数分别为 （ ）
A． 3与3 B．23与3
C．3与23 D．23与23
5．等差数列的前n项和为，已知，，
（第4题）
则 （ ）
A．14 B． 19 C． 28 D．60
6．已知函数的图像如图所示，则的解析式
可能是 （ ）
A．
B．
第6题
C．
D．
7．某程序框图如同所示，则该程序框图运行后输出的n的值为 （ ）
A．2 B． 3
C．4 D．10
8．由a，b，c，d，e这5个字母排成一排，a，b都
不与c相邻的排法个数为 （ ）
A．36 B．32
C．28 D．24
9．已知函数
若数列满足，
且是递减数列，则实数a的取值
范围是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，，，现给出下列函数：①②③④，若时，恒有，则所有可取的函数的编号是 （ ）
A． ①②③④ B．①②④ C．①② D．④
二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分,共28分）
11．等比数列，，，…的第8项是 ．
12．已知a，b是平面内的两个单位向量，设向量c=b，且|c|1，a（b-c）=0，则实数的取值范围是 ．
13．设n为正整数，，计算得，，，，观察上述结果，可推测一般的结论为 ．
100
110
120
130
140
150
身高
频率|组距
0.005
0.010
0.020
a
0.035
14．已知多项式，则a-b= ．
15．某初一年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图），若要从身高在，，三组内的学生中，用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在内的学生中选取的人数为 ．
16．已知函数，则函数的图像在处的切线方程是 ．
17．在中，角A,B,C所对应的边分别是a，b，c，已知，给出下列结论
①的边长可以组成等差数列
④若b+c=8，则的面积是其中正确的结论序号是 ．
三、解答题: （本大题有5小题, 共72分）
18．（本题满分14分）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，把所得到的图像再向左平移单位，得到的函数的图像，求函数在区间上的最小值．
19．（本题满分14分）设数列的前n项和为，且，其中p是不为零的常数．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）当p=3时，若数列满足，，求数列的通项公式．
20．（本题满分14分）已知向量a=，b=，设m=a+tb（t为实数）．
（1）若，求当|m|取最小值时实数t的值；
（2）若ab，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分15分）一次数学考试共有10道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有且只有一个选项是正确的．设计试卷时，安排前n道题使考生都能得出正确答案，安排8-n道题，每题得出正确答案的概率为，安排最后两道题，每题得出正确答案的概率为，且每题答对与否相互独立，同时规定：每题选对得5分，不选或选错得0分．
（1）当n=6时，
①分别求考生10道题全答对的概率和答对8道题的概率；
②问：考生答对几道题的概率最大，并求出最大值；
（2） 要使考生所得分数的期望不小于40分，求n的最小值．

22．（本题满分15分）已知函数．
（1）当时，求在区间上的最大值和最小值；
（2）如果函数，，，在公共定义域D上，满足，那么就称为为的“活动函数”．
已知函数，．
①若在区间上，函数是，的“活动函数”，求的取值范围；
②当时，求证：在区间上，函数，的“活动函数”有无穷多个．

参考答案

一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
D
A
B
C
A
C
B
二、填空题: （本大题有7小题, 每小题4分, 共28分）
11． 12．（– 1，1） 13．（nÎN*） 14．2
15．10 16．27x + 27y +4 = 0 17．①②④
三、解答题: （本大题有5小题, 共72分）
18．（本题满分14分）
解：（1）因为
=, 4分
函数f（x）的最小正周期为=．
由，，
得f（x）的单调递增区间为 ， ． 9分
（2）根据条件得=，当时，，
所以当x = 时，． 14分
19．（本题满分14分）
（1）证：因为Sn=4an– p（nN*）,则Sn – 1 = 4an – 1 – p（nN*， n2）,
所以当n2时，，整理得． 5分
由Sn=4an– p，令，得，解得．
所以是首项为，公比为的等比数列． 7分
（2）解：因为a1=1，则，
由，得 ， 9分
当n2时，由累加得
＝，
当n = 1时，上式也成立． 14分
20．（本题满分14分）
解：（1）因为a=，b =（），，
则====
所以当时，取到最小值，最小值为． 7分
（2）由条件得cos45=，又因为
==,==,，
则有=，且，
整理得，所以存在=满足条件． 14分
21．（本题满分15分）
解：（1） ①当n = 6时，10道题全答对，即后四道题全答对的相互独立事件同时发生，
10道题题全答对的概率为． 2分
答对8道题的概率为++ 4·=＝． 5分
②答对题的个数X的可能值为6，7，8，9，10，其概率分别为：
P（X = 6） = =; P（X = 7） = 2·+2· =＝;
P（X = 8） = ＝; 又P（X ³ 9） =1－＝;
所以：答对7道题的概率最大为． 10分
分值x
30
35
40
45
50

（2） 当n = 6时，分布列为：

得Ex= 30´+35´+ 40´+ 45´+50´= =37．5 ，
当n =7时，Ex =40 ． 所以n的最小值为7． 15分
另解：5n + +=5（）³ 40, 所以n的最小值为7．
22．（本题满分15分）
解：（1）当时，，；
对于[1, e]，有，∴在区间[1, e]上为增函数，
∴，． 3 分
（2）①在区间（1，+∞）上，函数是的“活动函数”，则
令<0，对（1，+∞）恒成立，
且h（x）=f1（x） – f（x）=<0对（1，+∞）恒成立， 5分
∵ （*）
1）若，令，得极值点，，
当，即时，在（，+∞）上有，
此时在区间（，+∞）上是增函数，并且在该区间上有∈（，+∞），不合题意；
当，即时，同理可知，在区间（1，+∞）上，有
∈（，+∞），也不合题意； 7分
2） 若，则有，此时在区间（1，+∞）上恒有，
从而在区间（1，+∞）上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
所以a． 9分
又因为h/（x）= –x+2a–= <0, h（x）在（1, +∞）上为减函数，
h（x）<h（1）= +2a0， 所以a
综合可知的范围是[,]． 12分
另解：（接在（*）号后）
先考虑h（x）,
h`（x） = – x + 2a =,
h（x）在（1,+¥）递减，只要h（1） £ 0, 得，解得． 8分
而p`（x）=对xÎ（1,+¥） 且有p`（x） <0．
只要p（1） £ 0, ，解得,
所以．． 12分
②当时，
则y=f2（x） –f1（x）=x2 –lnx, x（1，+∞）．
因为y /=>0，y=f2（x） –f1（x）在 （1，+∞）为增函数，
所以f2（x） –f1（x）> f2（1） –f1（1）=
设R（x）=f1（x）+（0<<1）, 则 f1（x）<R（x）<f2（x）,
所以在区间（1，+∞）上，函数的“活动函数”有无穷多个．
其他如R（x）=f1（x）+f2（x）（ 0<,<1,且+=1）等也可以． 15分