2014届湖南省益阳市高三下学期模拟考试文科数学试题及答案.doc

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2014届益阳市高三模拟考试
数 学（文史类）

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则等于
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，则等于
A． B． C． D．
3．某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为，现要用分层抽样的方法从中抽取件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为
A． B． C． D．
4．“方程有实数根”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
2
3
4
4
正视图
侧视图
俯视图

A． B． C． D．
6．若向量、满足、，，则与的夹角为
A． B． C． D．
7．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，
且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为
A． B．
C． D．
8．函数的部分图像如图所示，如果，且，则等于
A． B．
C． D．1
9．已知函数，若存在正实数k，使得方程在区间
上有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是
A． B． C． D．
10．已知点是平面区域内的动点，点，O为坐标原点，设的最小值为M，若恒成立,则实数的取值范围是
A． B．
C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为________.
12．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合,且单位相同，曲线的极坐标方程为，则该曲线的直角坐标方程为 .
13．某程序框图如右图所示，则输出的结果S为 ．

14．函数的图象恒过定
点A,若点A在直线上,其中,
则的最小值为_______.

15．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则．
（1） ；
（2）函数的零点个数是 　 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若为的中点，求、的长.

17．（本小题满分12分）
甲 组
乙 组
9
1
7
1
0
1
x
0
8
9
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.

（Ⅰ）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为，求及乙组同学投篮命中次数的
方差；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率.

18．（本小题满分12分）
如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,
∥,.
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）在上找一点,使得∥平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明.

19．（本小题满分13分）
已知等比数列各项都是正数，，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：.

20．（本小题满分13分）
已知椭圆的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM，交椭圆于点，证明：为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

21．（本小题满分13分）
设函数
（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）求函数的极值点.

2014届益阳市高三模拟考试参考答案
数学（文史类）
一、选择题（5分×10=50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
B
A
C
B
D
D
C
二、填空题（5分×5=25分）
11、0.5 12、 13、
14、 15、(1) (2) 2
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）
解（1）在三角形中,,故B为锐角 ………3分
所以 …6分
（2）三角形ABC中，由正弦定理得,
，……………9分
又D为AB中点，所以BD=7
在三角形BCD中，由余弦定理得: [高[考∴试﹤题 ……………12分
17.（本小题满分12分）
解：(1)依题意得:,解得, ……………3分
方差. ……………6分
（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为,他们的命中次数分别为9,7.
乙组投篮命中次数低于10次的同学为,他们的命中次数分别为8,8,9.
依题意,不同的选取方法有:
,共6种. ……9分
设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”为事件C，则C中恰含有共2种.
. ……………12分
18.（本小题满分12分）
解：（１）由已知：面面，面面.
,,.
取.
设,
,,
从而. …………4分
（2）由(1)可知: 即为CE与面BDE所成的角.
中,,
. ……8分
（3）取EC中点M,则BM∥面ADEF，证明如下：
连结MB、MP，由（1）知BP∥AD，∴BP∥面ADEF，M、P分别为EC、DC的中点，∥，∴MP∥面ADEF，∴面BMP∥面ADEF，∴BM∥面ADEF. ……………12分

19.（本小题满分13分）
解：（1）设的公比为，由已知，
两式相除得：，故，.…6分
（2）由（1）知，
……………9分
设，则，两式相减得：
，，
，即. ……………13分

20.（本小题满分13分）
解：(1)由已知:,,,
所以椭圆方程为. ……………4分
（2）由（1）知，.
由题意可设.

由消去,整理得:,

.,

(定值).……9分
(3)设.
若以为直径的圆恒过的交点,
则.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在，使得以为直径的圆恒过直线、的交点.
……………13分
21.（本小题满分13分）
解：（1）的定义域为，，在上增函数，当时，取得最小值，在上的最小值为. ……………4分
（2）,设.
依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.
注意到抛物线开口向上,所以只要或即可.
由得,解得，
由得,得，
，即实数取值范围是. ……………8分
（3），令。
1) 显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.
2) 当时，
①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.
②当即时，
当时，易知，这时；
当或时，易知，这时.
时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.
综上，当时，函数没有极值点；时，是函数的极大值点；是函数的极小值点. ……13分