正切函数图象及性质-典型例题.doc

典型例题
正切函数的图象和性质

例1 作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间．
分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻（即作出关于x轴对称图像），就可得到y=｜tanx｜的图像．
解：由于y=｜tanx｜= tanx,x∈Z［kπ,kπ+］
-tanx,x∈（kπ-,kπ）（k∈Z）
所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+（k∈Z）;单调减区间为kπ-,kπ］（k∈Z）．

说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π．一般地，y=A｜tan（ωx+φ）｜的最小正周期与y=Atan（ωx+φ）的最小正周期相同，均为．
例2 求函数y=lg（tanx-）+的定义域．
解：欲使函数有意义，必须
tanx＞,
2cosx+≥0,
x≠kπ+ （k∈Z）
由此不等式组作图

∴函数的定义域为（kπ+,kπ+）．
评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法．图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合．三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意函数的定义域．

例3 求函数y=tan（2x-）的单调区间．
解：y=tanx,x∈（-+kπ, +kπ）（k∈Z）是增函数．
∴-+kπ＜2x-＜+kπ,k∈Z．
即-+＜x＜+ ，k∈Z
函数y=tan（2x-）的单调递增区间是（-+,+ ）．（k∈Z）

例4 求函数f（x）=tan（2x+）的周期．
解：因为tan（2x+ +π）=tan（2x+）
即tan［2（x+）+］=tan（2x+）
∴tan（2x+）的周期是．

例5 求函数y=3tan（2x+）的对称中心的坐标．
分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即（,0）（k∈Z）．函数y=Atan（ωx+φ）的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴交点．
解：由2x+= ,（k∈Z）得
x=- （k∈Z）
∴对称中心坐标为（-,0）（k∈Z）
注意：函数y=Atan（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）的图像及性质可与函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）的图像及性质加以比较研究．