数学竞赛讲义2省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件.ppt

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,小学五年级奥数还原与年纪,1.某数加上6，乘以6，减去6，除以6，其结果等于6，则这个数是多少？,解答：（66+6）6-6=1，这个数是1.,2.两个两位数相加，其中一个加数是73，另一个加数不知道，只知道另一个加数十位数字增加5，个位数字增加1，那么求得和后两位数字是72，问另一个加数原来是多少？,第1页,解答：和后两位数字是72，说明另一个加数是99。十位数字增加5，个位数字增加1，那么原来加数是99-51=48。,3.有砖26块，弟兄二人争着去挑。弟弟抢在前面，刚摆好砖，哥哥赶到了。哥哥看弟弟挑太多，就抢过二分之一。弟弟不愿，又从哥哥那儿抢走二分之一。哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块，这时哥哥比弟弟多挑2块。问最初弟弟准备挑多少块？,第2页,解答：先看最终弟兄俩各挑几块：哥哥比弟弟多挑2块，这是一个和差问题，哥哥挑块数=（26+2）2=14块，弟弟=26-14=12块；然后再还原：哥哥还给弟弟5块：哥哥=14-5=9块，弟弟=12+5=17块；弟弟把抢走二分之一还给哥哥：哥哥=9+9=18块，弟弟=17-9=8块；哥哥把抢走二分之一还给弟弟：弟弟原来是8+8=16块。,4.甲、乙、丙三人钱数各不相同，甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙钱数都比原来增加了两倍，结果乙钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙钱数都比原来增加了两倍，结果丙钱最多；最终丙拿出一些钱给甲和乙，使甲和乙钱数都比原来增加了两倍，结果三人钱数一样多了。假如他们三人共有81元，那么三人原来钱分别是多少元？,第3页,解答：三人最终一样多，那么每人都是813=27元；还原：甲和乙把钱还给丙：每人增加2倍，就是原来3倍，那么甲和乙都是27/3=9元，丙是27+2*2*9=63元；甲和丙把钱还给乙：甲=9/3=3元，丙=63/3=21元，乙=9+2*3+2*21=57元；乙和丙把钱还给甲：乙=57/3=19元，丙=21/3=7元，甲=3+2*19+2*7=55元。所以，三人原来钱分别是55、19和7元。,第4页,5.甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒，甲从乙处取来一些糖豆，使自己糖豆增加了一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己糖豆也增加了一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己糖豆增加了一倍。现在三人糖豆一样多。假如开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有多少粒糖豆？,第5页,解答：假设最终三个人一样多时都是4份糖豆，还原：丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己糖豆增加了一倍：丙=4/2=2份，甲=4+2=6份；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己糖豆也增加了一倍：乙=4/2=2份，丙=2+2=4份；甲从乙处取来一些糖豆，使自己糖豆增加了一倍：甲=6/2=3份，乙=2+3=5份；即甲、乙、丙原来各有3、5、4份。,所以，假如开始时甲有51粒糖豆，那么乙最开始有（51/3）*5=85粒,第6页,6.有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果最少有几个？,第7页,解答：因为要求最少多少个，所以我们能够先假设最终每一份只有1个苹果。那么，第三次没有操作前两份就有1*3+2=5个，2份是5个显然不对。我们再假设最终每一份有2个苹果。还原：第三次取出两份有2*3+2=8个，每份8/2=4个；第二次取出两份有4*3+2=14个，每份14/2=7个；原有7*3+2=23个。,第8页,7.今年，父亲年纪是儿子年纪5倍；15年后，父亲年纪是儿子年纪2倍。问：现在父子年纪各是多少岁？,第9页,解答：今年父亲年纪是儿子年纪5倍，即父亲年纪比儿子年纪4倍；15年后，父亲年纪是儿子年纪2倍，即多一倍，说明儿子现在年纪四倍等于儿子15年后时年纪，那么，儿子今年年纪=15/（4-1）=5岁，父亲今年就是55=25岁。,第10页,8.有老师和甲、乙、丙3个学生，现在老师年纪恰为3个学生年纪之和；9年后，老师年纪为甲、乙两个学生年纪之和；又3年后，老师年纪为甲、丙两学生年纪之和；再3年后，老师年纪为乙、丙两学生年纪之和。问：现在各人年纪分别是多少岁？,第11页,解答：老师=甲+乙+丙，老师+9=甲+9+乙+9，丙年纪是9岁；老师+12=甲+12+丙+12，乙年纪是12岁；老师+15=乙+15+丙+15，丙年纪是15岁；所以，老师是9+12+15=36岁。,第12页,9.全家4口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前他们全家年纪之和是58岁，而现在是73岁。问：现在各人年纪分别是多少岁？,第13页,解答：四个人四年共应增加了44=16岁，但实际上只增加了15岁，说明弟弟在4年前还没有出生。那么，弟弟今年应该是3岁；姐姐就是3+2=5岁，父母年纪和是73-3-5=65岁，依据和差问题，得到父亲是（65+3）/2=34岁，母亲是65-34=31岁。,第14页,10.学生问老师多少岁，老师说：“当我像你这么大时，你刚3岁；当你像我这么大时，我已经39岁了。”求老师与学生现在年纪。,第15页,解答：依据年纪差不变，39-3=36恰好是3倍年纪差，所以，年纪差=（39-3）/3=12岁。那么，学生现在年纪是3+12=15岁，老师现在年纪是15+12=27岁。,第16页,11.哥哥现在年纪是弟弟当年年纪3倍，哥哥当年年纪与弟弟现在年纪相同，哥哥与弟弟现在年纪和为30岁。问：哥哥现在多少岁？,第17页,解答：哥哥当年年纪与弟弟现在年纪相同，假设哥哥与弟弟年纪差为1份，哥哥现在年纪是弟弟当年年纪3倍，哥哥现在年纪与弟弟当年年纪相差他们年纪差2倍，那么，哥哥现在年纪是年纪差3倍，即3份，弟弟现在年纪是年纪差两倍，即2份；而哥哥与弟弟现在年纪和为30岁，所以，每一份为30/（3+2）=6岁，则哥哥现在3*6=18岁。,第18页,12.梁老师问陈老师有多少儿女，她说：“现在我和爱人年纪和是儿女年纪和6倍；两年前，我们年纪和是儿女年纪和10倍；六年后，我们年纪和是儿女年纪和3倍。”问陈老师有多少儿女。,第19页,解答：现在我和爱人年纪和是儿女年纪和6倍，即多5倍；两年前，我们年纪和是儿女年纪和10倍，即多9倍；六年后，我们年纪和是儿女年纪和3倍，即多2倍。假如是2个儿女，5*9*2=90，显然不符合常理。假如是三个，将儿女现在年纪和看作一份，那么，每一份=（18*3-12）/3=14，即儿女现在年纪和14岁，父母现在年纪和6*14=84岁，符合要求。所以，陈老师有3个儿女。,第20页,小学五年级奥数：整数分拆,整数分拆问题是一个古老而又十分有趣问题。所谓整数分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数和形式，每一个表示方法，便是这个自然数一个分拆。整数分拆要求通常是将一个自然数拆成两个（或两个以上）自然数和，并使这些自然数积最大（或最小）；或拆成若干个连续自然数和等等。,例1 将14分拆成两个自然数和，并使这两个自然数积最大，应该怎样分拆？,第21页,分析与解 不考虑加数次序，将14分拆成两个自然数和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。经计算，轻易得知，将14分拆成7+7时，有最大积77=49。,例2 将15分拆成两个自然数和，并使这两个自然数积最大，怎样分拆？,第22页,分析与解 不考虑加数次序，可将15分拆成以下形式两个自然数和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。显见，将15分拆成7+8时，有最大积78=56。,第23页,注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数和时，假如这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有最大积mm=m2；假如这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+（m+1）时，有最大积m（m+1）。,例3 将14分拆成3个自然数和，并使这三个自然数积最大，怎样分拆？,第24页,分析与解 显然，只有使分拆成数之间差尽可能地小（比如是0或1），这么得到积才最大。这么不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积455=100。例4 将14分拆成若干个自然数和，并使这些自然数积最大，怎样分拆？,第25页,分析与解 首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。首先分拆成数中不能有1，这是显而易见。其次分成数中不能有大于4数，不然话，将这个数再拆成2与另一个自然数和，这两个数积一定比原数大。比如5=2+3，但5比23=6小。又因为4=22，所以，能够考虑将14分拆成若干个2或3了。,第26页,注意到2+2+2=6，222=8；3+3=6，33=9.所以，分拆成数中假如有三个2，还不如换成两个3。这么可知，分拆成数中至多只能有两个2，其余都是3。综合上述结果，应该将14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这么可得到五个数最大积33332=162。,第27页,上述几例是关于怎样将一个自然数分拆成若干个自然数和，并使它们积最大问题。下面两例则是怎样将一个自然数按题目要求拆成若干个连续自然数问题。例5 将1994分拆成若干个连续自然数和，一共有多少种不一样方法？,第28页,分析与解 1994=9972=492+493+494+495，仅一个方法。所以，该题有唯一解。例6 将35分拆成若干个连续自然数和，一共有多少种不一样方法？,第29页,分析与解 因为35=57=75，所以35能够分拆成2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9，一共有两种方法。,第30页,小学五年级奥数加法原理和乘法原理,例1,720有多少个约数？全部约数和是多少？,第31页,解,720=24325，所以，720任一约数都只能含有质因数2，3和5，对于720某个约数n，只要研究它所含质因数2、3、5个数。质因数2在n质因数分解式中可能不出现，也可能出现1个、2个4个，所以共有5种可能。质因数3在n质因数分解式中可能不出现，也可能出现1个、2个，所以有3种可能。质因数5在n质因数分解式中可能不出现，也可能出现1个，所以有2种可能。,所以约数个数：532=30（个）,全部约数和就是30个约数和，即等于（1+21+22+23+24）（1+31+32）（1+51）=31136=2418,第32页,例2,在下面图中（单位：厘米）,求：（1）一共有几个长方形？,（2）全部这些长方形面积和是多少,第33页,解,（1）AE这条线段上有多少条线段就是长有多少种取法，很显著得出长有10种取法；同理，宽也有10种取法。,一共有（1010=）100（个）长方形。解:依据21224，可得2（345)24，依据3812，可得3（1054）24，依据4624，可得（137）（9 5）24，依据18624，可得（115）（612）24.,第34页,（2）长长度有10种：5、12、8、1、17、20、9、25、21、26，宽长度也有10种：2、4、7、3、6、11、10、13、14、16。全部这些长方形面积和=（5+12+8+1+17+20+9+25+21+26）（2+4+7+3+6+11+10+13+14+16）=14486=12384（平方厘米）,第35页,练习：图中有6个点，9条线段，一只甲虫从A点出发，要沿着某几条线段爬到F点。行进中，同一个点或同一条线段只能经过一次，这只甲虫最多有多少种不一样走法？,第36页,小学六年级奥数替换法,替换法解题：有些应用题包括两三种物品数量计算，解答这种应用题，可依据它们组合关系，用一个物品代换另外物品，使数量关系单一化，这么思索方法，通常叫做替换法（也叫代替法）。,例1：粮店有大米20袋，面粉50袋，共重2250千克，已知1袋大米重量和2袋面粉重量相等，那么一袋大米重多少千克？,第37页,分析：我们能够依据“1袋大米重量和2袋面粉重量相等”，设法把50袋面粉重量用大米重量替换（502=25，50袋面粉重量相当于25袋大米重量），这么本题就只剩下大米一个数量，能够顺利求出1袋大米重量了。2250（20+502）=50（千克）,也能够把20袋大米重量用面粉重量替换，求出1袋面粉重量，再求1袋大米重量。2250（202+50）=25（千克）,252=50（千克）,答：1袋大米重50千克。,第38页,例2：甲乙丙三个工人共生产110个零件，甲生产零件数是乙2倍，丙比乙多生产10个。三个工人各生产零件多少个？,。分析：要求三人各生产了多少个零件，先要搞清楚三人生产零件数之间关系。依据“甲生产零件数是乙2倍”，可用“乙生产个数2”代替甲；依据“丙比乙多生产10个”，可用“乙生产个数+10”代替丙。这么“三人共生产110个”就等于“乙生产个数2+乙生产个数+（乙生产个数+10）”。于是能够求出乙生产了多少个，然后再求其余两人各生产多少个。,第39页,乙生产零件个数。,（110-10）（2+1+1）=25（个）,甲生产零件个数。,252=50（个）,丙生产零件个数。,25+10=35（个）。,替换法表达了等量代换数学思想。只有搞清楚题意，正确进行数量之间合理替换，才能利用自如。,第40页,请同学们用替换法解答以下题目，解答前想想，最好用哪种数量替换其它数量。,1大队部买了12支钢笔和18支圆珠笔，共付57.60元。乙知2支钢笔价钱和3支圆珠笔一样多，每支钢笔和每支圆珠笔各多少钱？,25千克香蕉与4千克苹果价钱相等，1千克苹果比1千克香蕉贵0.40元。香蕉每千克多少元？,第41页,六年级奥数巧设单位1解行程难题,巧设单位“”解答行程难题：解答行程问题，普通都要有旅程、速度、时间三种量中任意两个量。不过，在一类竞赛题中，往往只有时间这一个量，根本不明示两个运动体相向相遇，或者同向追及是在多少旅程中发生，所以，给解题增加 了一定难度。,假如在解答过程中，能依据题意恰当地设某段旅程为单位“”，以此为尺子，来度量两个或几个运动体在不一样时间内，所行驶旅程长短，这么，就能使数量关系明朗化，就能驾轻就熟，将问题化难为易。,第42页,例 甲、乙、丙三人各以一定速度，从地到地，丙出发分钟后乙才出发，乙用分钟追上丙；甲又比乙晚出发分钟，经过分钟才追上丙。甲出发后，需用多少分钟才能追上乙？,解 设乙追上丙所走这段旅程为单位“”，则 乙每分钟能行这段旅程；丙每分钟能行这段旅程（）；,第43页,依据“丙出发分钟后乙才出发”、“甲又比乙晚出发分钟”，则甲比丙晚出发分钟。所以，当甲出发时，丙已行驶了这段旅程。甲追上丙，比丙多行了这段旅程，花了分钟。依据追及问题关系式，可知甲比丙每分钟多行这段旅程。所以，甲每分钟能行这段旅程（）。,经过所设乙追上丙所走这段旅程为单位“”，已推出了甲和乙速度之间关系，因而甲追上乙所需 时间就可知是（）（）（分）,第44页,例 某人沿公路骑自行车匀速前进。他发觉这一公路上公共汽车，每隔分钟就有一辆车超出他，每隔分钟就有一辆车和他迎面相遇。假如这路车两个车站，都以间隔相同时间发一辆车，那么，每隔 多少分钟发一辆车？,第45页,解：因为两个车站都是以间隔相同时间发车，所以在这两个车站间这段公路上，不论是什么时刻，同向行驶全部车辆，两车间距离都是相等。假如把这两车间间距设为单位“”。题中“每隔分钟就有一辆车超出他”，即自行车和汽车同向前进，汽车比自行车多行一个“间距”，需分钟，也就是每分钟汽车比自行车多行“间距”（速度差）；“每隔分钟就有一辆车和他迎面相遇”，一样可知，自行车和汽车在一分钟内，能共行“间距”（速度和）。,已知自行车和汽车在分钟内速度“和”与“差”，由和差问题关系式，可知汽车每分钟能行“间距”（）。,所以，这路车发车间隔时间为,（）（分）,第46页,例 甲骑自行车到城里去办事，走后，乙发觉他忘了一物，马上骑摩托车去追，乙追了分钟还没追上，连忙问路旁人，路旁人回答说：“甲在分钟前经过这里。”乙看看手表，这时离甲出发时间一小 时。乙需再行几分钟就能追上甲？,第47页,解：“乙追了分钟还没追上”，假如把乙追甲这分钟所行这段旅程看作单位“”，那么乙每分钟可行这段旅程。由题中条件可知，甲已出发一小时，并在分钟前经过这里，说明甲走这段旅程花了（分）钟，可知，甲每分钟能行这段旅程，而且还能够推知，当乙问询路旁人时，乙还距甲旅程是这段旅程（单位“”），依据追及问题关系式，能够求得乙还需多少分钟才能追上甲，所以，本题综合算式是：,（）（）（分）,第48页,这类题，单位“”确实定，关键是确定一个与很多原因相关联可比量。这类题一样能够有各种解法，不过从确立单位“”这个角度来解答，首先与小学生知识联络紧密，轻车熟路，另首先也能够培养学生在依据条件确立单位“”过程中，提升学生分析判断能力。,第49页,小学六年级奥数比和百分比应用题,1、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车成年人、儿童和残疾人人数比是50:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？提醒:单价比:成年人:儿童:残疾人=3:2:1 人数比:50:20:1,第50页,2“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得钱购置了甲、乙、丙三种商品，这三种商品单价分别为30元、15元和10元。已知购得甲商品与乙商品数量之比为5:6，乙商品与丙商品数量之比为4:11，且购置丙商品比购置甲商品多花了210元。提醒:依据已知条件可先求三种商品数量比。,第51页,3，A、B、C是三个顺次咬合齿轮。当A转4圈时，B恰好转3圈；当B转4圈时，C恰好转5圈，问这三个齿轮齿数最小数分别是多少？提醒:依据已知条件已知A、B、C转速与齿数积都相等，即它们转速与齿数成反百分比。,第52页,小学六年级奥数比改变,1 甲、乙两同学分数比是54.假如甲少得22.5分，乙多得22.5分，则他们分数比是57.甲、乙原来各得多少分？,2 张家与李家收入钱数之比是85，开支钱数之比是83，结果张家结余240元，李家结余270元.问每家各收入多少元？,第53页,3 粗蜡烛和细蜡烛长短一样.粗蜡烛能够点5小时，细蜡烛能够点4小时.同时点燃这两支蜡烛，点了一段时间后，粗蜡烛长是细蜡烛长2倍.问这两支蜡烛点了多少时间？,第54页,小学六年级奥数计数方法与原理,枚举法,一位旅客要从武汉乘火车去北京，他要了解全部可供乘坐车次共有多少，一个最易行方法是找一张全国列车运行时刻表，将全部从武汉到北京车次逐一挑出来，共有多少次车也就数出来了，这种计数方法就是枚举法。所谓枚举法，就是把所要求计数全部对象一一列举出来，最终计算总数方法。利用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。,第55页,例 四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做一张。问：一共有多少种不一样方法？解：设四个学生分别是A，B，C，D，他们做贺年片分别是a，b，c，d。先考虑A拿B做贺年片b情况（以下表），一共有3种方法。一样，A拿C或D做贺年片也有3种方法。一共有333=9（种）不一样方法。,第56页,加法原理,假如完成一件事情有n类方法，而每一类方法中分别有m,1,，m,2,，m,n,种方法，而不论采取这些方法中任何一个，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有 N=m,1,+m,2,+m,n,种方法。这是我们所熟知加法原理，也是利用分类法计数依据。,例1,一个自然数，假如它顺着数和倒着数都是一样，则称这个数为“回文数”。比如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。问：1到6位回文数一共有多少个？按从小到大排，第个回文数是多少？,第57页,解：一位回文数有：1，2，9，共9个；二位回文数有：11，22，99，共9个；三位回文数有：101，111，999，共90个；四位回文数有：1001，1111，9999，共90个；五位回文数有：10001，10101，99999，共900个；六位回文数有：100001，101101，999999，共900个。到六位数为止，回文数共有 999090900900=1998（个）。第1999个回文数是1000001，第个回文数是1001001。,第58页,例2,设有长度为1，2，9线段各一条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，共有多少种不一样取法？这里要求当用2条或多条线段接成一条边时，除端点外，不许重合。,第59页,解法1：正方形边长小于11。下面按正方形边长分类枚举：（1）边长为11：92=8+3=74=65，可得1种选法；（2）边长为10：91=82=73=64，可得1种选法；（3）边长为 9：9=81=72=63=54，可得5种选法；（4）边长为8：8=71=62=5+3，可得1种选法；（5）边长为7：7=61=52=43，可得1种选法；（6）边长6时，无法选择。综上计算，不一样取法共有 11+511=9（种）。,第60页,解法2：因为这些线段互不等长，故最少要用7条线段才能组成一个正方形。当恰取7条线段组成正方形时，正方形3条边各用2条线相接，另一条边只用一条线段；当恰用8条线段时，只能每边各用2条线段相接（轻易看出，其它情况不可能发生）。因为 1+29=45，45不能被4整除，所以用9条线段，不可能组成正方形。由解法一知，拼出正方形边长至多为11，又易知正方形边长不可能为1，2，3，4，5，6。有了以上分析就轻易计数了。,第61页,（1）取出7条线段，有以下7种：7=1+62534；81+72+635；9182736=45（这个式子有5种）；,（2）取出8条线段，有以下2种：19283746；29384756。总而言之，不一样取法共有72=9（种）。,第62页,小学六年级奥数专题：列表法,对于一些计算比较简单，而且屡次重复计算问题，使用列表法，表示简练，不易犯错，如例1；有些问题，条件不停改变，不便统一列式计算，也应采取列表法，如例2、例3；还有些问题，无法列式计算，只能采取列表推演，如例4、例5。总之，使用列表法能够处理许多复杂而有趣问题。,第63页,例1 一个运动队进行翻山训练，往返于一座山两侧山脚下A，B两地。从A地出发，上山路长3000米，每分钟行75米；下山每分钟行100米，用42分钟抵达B地。假如上、下山速度不变，那么从A地到B地，再从B地返回A地，共需多长时间？分析与解：这是一道很简单题目，只需利用时间、旅程、速度关系，就能够得到结果。因为从A地到B地，要先上山再下山，从B地返回A地，又要先上山再下山，中间经过四次改变。为了降低计算错误，能够利用列表法。,第64页,先将已知数据填入下表：,第65页,再依据时间、旅程、速度关系，从上到下，由已知两个求出另一个，边计算边填表，得到下表：,由下表得到往返所需时间为 40425630168（分）=2时48分。,第66页,例2 有100个人，第一位带了3元9角钱，以后每位都比前一位多带1角钱。每人把自己钱全部用来买练习本。练习本有每本8角与每本5角两种。假如每人尽可能买5角一本，那么这100人共买了多少本每本8角练习本？分析与解：因为每人带钱数不一样，所以不可能统一列式计算。能够采取列表法，然后从表中发觉规律。填表计算时注意，一要尽可能多买5角一本，二要把钱用完。,第67页,因为44角比39角多5角，所以可多买1本5角，而8角1本买数量相同。类似地，45角比40角多5角等等。由此看出，所买8角一本本数随钱数增加呈周期规律，一个周期内有五个数：3，0，2，4，1（本）。所以100个人共买8角一本（30241）（1005）=200（本）。,第68页,例3 甲、乙二人进行汽车比赛。第一分钟内甲速度是6.6米/秒，乙速度是2.9米/秒。以后每分钟内速度，甲总是前一分钟2倍，乙总是前一分钟3倍。问：出发后多长时间乙追上甲？分析与解：因为两人速度都在改变，不好统一列式计算，我们能够列一个表观察一下。,第69页,由下表看出，乙在出发后3分多钟追上甲。从3分钟后开始计算，乙追上甲还需（2772-2262）（2.933-6.623）51025.5=20（秒）。所以，出发后3分20秒乙追上甲。,第70页,例4 一只大桶装了10升水，另外有恰好能装3升和7升水桶各一只。怎样才能只利用这三只桶把这10升水平均分为两份？分析与解：这道“桶分液体”古题根本无法列式计算，就是找到了正确方法，叙述整个倒水过程也很繁杂不便。我们列表来表示详细倒法，其中箭头表示从箭头尾部桶中将水倒入箭头指向桶中。列表使倒水过程一目了然，现有利于对问题思索，又简化了文字叙述。,第71页,例5甲、乙、丙三只盘子里分别盛着6个苹果。小明按下面方法搬动5次：第1次，把1个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第2次，把2个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第3次，甲盘不动，把3个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第4次，乙盘不动，把4个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去；第5次，丙盘不动，把5个苹果从一只盘子里搬到另一只盘子里去。最终发觉，甲、乙、丙三只盘子里依次盛有4，6，8个苹果。你知道小明是怎样搬动吗？,第72页,分析与解：关键在于确定每次搬动是从哪只盘子里搬到哪只盘子里。前两次搬动，每次能够有6种不一样选择；后三次搬动，因为固定了一只盘子，所以每次只有2种不一样选择。显然，从后向前逆推比较轻易。逆推过程见下页表，其中圈起来数字是题目条件要求不动，箭头表示从哪只盘子里搬到哪只盘子里。,第73页,第74页,因为第五次丙盘不动，由搬动后甲盘中只有4个苹果，它不可能是接收5个苹果，所以第五次是从甲盘中搬走5个苹果到乙盘。于是得到下表中“第四次”后情况。第四次乙盘不动，或者从甲盘搬到丙盘，或者从丙盘搬到甲盘。若是从甲盘搬到丙盘，因为搬完后甲盘有9个苹果，搬前应有94=13（个）苹果，可是甲盘初始时有6个苹果，就是前三次搬动苹果都给甲盘，也只有 6+1+23=12（个）苹果，与13个苹果矛盾。所以第四次是从丙盘搬4个苹果到甲盘。于是得到下表中“第三次后”情况。类似地能够得到“第二次后”情况。最终，为满足“初始状态”各盘都是6个苹果，可得到第一次、第二次搬动情况。,第75页,练习,1.小明骑自行车从A地到B地去送信，先走了一段上坡路，用了14分钟，又走了一段3000米长平路，最终下坡用了11分40秒。已知小明骑车上坡、走平路、下坡时速度分别为2.5米/秒、4米/秒、6米/秒，求小明从A地到B地，再返回A地所用时间。,第76页,2.北京、上海、天津、山东、江苏、广东六个足球队进行单循环比赛，即每个队都与其它各队赛一场。请将下面比赛日程表补全：,第77页,3.下列图是一个跑道示意图，沿ACBEA走一圈是400米，沿ACBDA走一圈是275米，其中A到B直线距离是75米。甲、乙二人同时从A点出发练长跑，甲沿ACBDA小圈跑，每100米用24秒，乙沿ACBEA大圈跑，每100米用21秒。问：.（1）乙跑第几圈时第一次与甲相遇？（2）出发后多长时间甲、乙再次在A点相遇？,第78页,4.有一堵墙厚3.1米，大、小两鼠从墙两边对着挖，大鼠第一天挖了7.5厘米，小鼠第一天挖了40厘米，从第二天起，大鼠后一天挖是前一天2倍，小鼠后一天挖是前一天二分之一。问：两鼠几天能把洞挖通？挖通时各挖了多少厘米？,第79页,5.一只大桶装了12千克水，另外有两个恰好能装5千克和7千克桶各一只。利用这三只桶，最少倒几次，就能够把水分成两个6千克？6.有一路公共汽车，包含起点和终点共有12个车站。假如一辆车除终点外，每一站上车乘客中，恰好各有一位乘客到这一站以后每一站下车。问：公共汽车内最多时有多少位乘客？,第80页,小学六年级奥数图解法,有许多应用题，其中数量关系比较复杂，而经过画图能够把数量之间关系变得直观明了，从而到达解题目标。这种经过画图帮助解题方法就是图解法。我们经过下面几道例题来讲解在各种类型应用题中怎样使用图解法解题。例1 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，甲已经赛了4盘，乙赛了3盘，丙赛了2盘，丁赛了1 盘。问：小强已经赛了几盘？分别与谁胜过？,第81页,分析与解：这道题按照常规思绪似乎不太好处理，我们画个图试试。用五个点分别表示参加比赛五个人，假如某两人已经胜过，就用线段把代表这两个人点连结起来。因为甲已经赛了4盘，除了甲以外还有4个点，所以甲与其它4个点都有线段相连（见左下列图）。,第82页,因为丁只赛了1盘，所以丁只与甲有线段相连。因为乙赛了3盘，除了丁以外，乙与其它三个点都有线段相连（见右上图）。因为丙赛了2盘，右上图中丙已经有两条线段相连，所以丙只与甲、乙胜过。由上页右图清楚地看出，小强胜过2盘，分别与甲、乙比赛。,第83页,例2 一群人在两片草地上割草，大一片草地比小恰好大1倍。他们先全体在大一片草地干了半天，下午留下二分之一人在大草地上继续干，收工时恰好把草割完；另二分之一人到小草地上干，收工时还余下一块，这块再用1人经1天也可割完。问：这群干活人共有多少位？分析与解：本题有各种解法，其中利用图解法十分简练。,第84页,设二分之一人干半天工作量为1份。因为在大草地上全体人干了半天，下午二分之一人又干了半天，恰好割完，所以大草地工作量是3份。由题意，小草地工作量是3/2份.因为下午有二分之一人在小草地上干了半天，即干了1份，所以小草地没干完是3/2-1=1/2份.,第85页,由上图知:已割了四份,还剩1/2份.由题意知,剩下草地有一人一天割完,那么由全体人一天割四份知,共有4/1/2=8.共有8人.,例3 A，B两地间有条公路，甲从A地出发步行到B地，乙骑摩托车从B地同时出发，不停顿地往返于A，B两地之间。80分钟后他们第一次相遇，又过了20分钟乙第一次超越甲。求甲、乙速度之比。,第86页,分析与解：在行程问题中，通常先画出运行图，这么直观清楚，能够帮助我们分析各个量之间关系。依照题意画运行图以下：,第87页,第一次相遇时甲、乙各行了80分钟，到第一次超越时，甲共行100分钟，而乙在第一次相碰到第一次超越这20分钟内行旅程，相当于甲行80100=180（分）路。所以甲、乙速度之比为 2018019。例4 两名运动员在长为50米游泳池里往返游泳。甲运动员速度是1米/秒，乙运动员速度是0.5米/秒，他们同时分别在游泳池两端出发，往返共游了5分钟，假如不计转向时间，那么在这段时间里共相遇了几次？,第88页,分析与解：甲游完一个全程要501=50（秒），乙游完一个全程要500.5=100（秒），画出这两人运行图。,第89页,图中实线段和虚线段每个交点表示两运动员相遇了一次，从图上能够看出，甲、乙两运动员在5分钟内共相遇了5次，其中，有2次在游泳池两端相遇。,例4中，假如按摄影遇、追及过程分别计算，是十分麻烦。经过画出运行图，结果一目了然。,第90页,例5 容器中有某种酒精含量酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降为25；再加入一杯纯酒精后酒精含量升为40。那么原来容器中酒精溶液酒精含量是多少？分析与解：把加完水和酒精后酒精溶液分成5份，因为酒精含量是40，所以其中有2份纯酒精，3份水（见左下列图，表示纯酒精，表示水）。,第91页,加入纯酒精前酒精含量为25，即纯酒精与水之比是13，所以应该是1个和3个（见下中图），推知加入一杯纯酒精相当于1个，则一杯水是1个，原来容器中有1个和2个（见右下列图），酒精含量为33.3。,第92页,练习 1.A，B两地相距1000米，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，在A，B两地间往返散步。假如两人第一次相遇时距A，B两地中点100米，那么，两人第二次相遇地点距第一次相遇地点多远？,第93页,2.小马虎上学忘了带书包，父亲发觉后马上骑车去追，把书包交给他后马上返回家。小马虎接到书包后又走了10分钟抵达学校，这时父亲也恰好到家。假如父亲速度是小马虎速度4倍，那么小马虎从家到学校共用多少时间？,第94页,3.某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车人吗？”司机回答：“10分钟前我超出一个骑自行车人。”这人继续走了10分钟，碰到了这个骑自行车人。假如自行车速度是人步行速度3倍，那么，汽车速度是人步行速度多少倍,？,第95页,4.公共汽车从甲站开往乙站，每5分钟发车一趟，全程要15分钟。有一人从乙站骑自行车去甲站，出发时恰有一辆车抵达乙站，在路上他又碰到10辆迎面开来汽车才到甲站，到站时恰有一辆汽车从甲站开出。问：他从乙站到甲站共用了多少分钟？,第96页,5.甲、乙两地相距15千米，天天8点开始从乙地每隔15分钟开出一辆公共汽车到甲地去，车速是30千米/时。某人8点20分骑车从甲地到乙地去，速度是15千米/时。他在路上能够看到几辆从乙地开出公共汽车？,第97页,6.某区举行小学数学竞赛，结果不低于80分人数比80分以下人数4倍还多2人；及格人数比不低于80分人数多22人，恰是不及格人数6倍。求参赛总人数。7.1，2，3，4，5，6号六名运动员进行乒乓球单打循环赛。到现在为止，1，2，3，4，5号运动员已参加比赛场数恰好等于他们编号数。问：6号运动员已经赛了几场？,第98页,小学六年级奥数时钟问题,“时间就是生命”。自从人类创造了计时工具钟表，人们生活就离不开它了。什么时间起床，什么时间吃饭，什么时间上学全都依靠钟表，假如没有钟表，生活就乱套了。时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系问题。大家都知道，钟面一周分为60格，分针每走60格，时针恰好走5格.因为时针与分针速度不一样，而且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。,第99页,例1 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？分析：如右图所表示，2点分针指向12，时针指向2，分针在时针后面,第100页,例2 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右图），分针在时针后 面5735（格）。时针与分针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间，有下列图所表示两种情况：,第101页,(1)顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需,(2)顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点开始，分针要比时针多走351550（格），需,第102页,小学六年级奥数 利润与折扣,工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为“打折扣”出售，几折就是百分之几十。利润问题也是一个常见百分数应用题，商店出售商品总是期望取得利润，普通情况下，商品从厂家购进价格称为本价，商家在成本价基础上提升价格出售，所赚钱称为利润，利润与成本百分比称之为利润率。期望利润=成本价期望利润率。,第103页,例1、某商店将某种DVD按进价提升35%后，打出“九折优惠酬宾，外送50元出租车费”广告，结果每台依旧赢利208元，那么每台DVD进价是多少元？解：定价是进价1+35%打九折后，实际售价是进价135%90%=121.5%每台DVD实际盈利：208+50=258（元）每台DVD进价258（121.5%-1）=1200（元）答：每台DVD进价是1200元,第104页,例2：一个服装，甲店比乙店进货廉价10%甲店按照20%利润定价，乙店按照15%利润定价，甲店比乙店出厂价廉价11.2元，问甲店进货价 是多少元？分析：解：设乙店成本价为1（1+15%）是乙店定价（1-10%）（1+20%）是甲店定价（1+15%）-（1-10%）（1+20%）=7%11.27%=160（元）160（1-10%）=144（元）答：甲店进货价为144元。,第105页,例3、原来将一批水果按100%利润定价出售，因为价格过高，无人购置，不得不按38%利润重新定价，这么出售了其中40%，此时因害怕剩下水果会变质，不得不再次降价，售出了全部水果。结果实际取得总利润是原来利润30.2%，那么第二次降价后价格是原来定价百分之几？,第106页,分析：要求第二次降价后价格是原来定价百分之几，则需要求出第二次是按百分之几利润定价。解：设第二次降价是按x%利润定价。38%40%x%（1-40%）=30.2%X%=25%（1+25%）（1+100%）=62.5%答：第二次降价后价格是原来价格62.5%,第107页,练习：1、某商品按每个7元利润卖出13个钱，与按每个11元