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第3章第4节 实际问题与一元一次方程
一. 教学内容：
实际问题与一元一次方程
1. 体会数学建模思想.
2. 进一步探究如何用一元一次方程解决实际问题.
二. 知识要点：
1. 数学建模
这里所讲的数学建模是利用数学方法（一元一次方程）解决实际问题的一种实践. 即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式（一元一次方程）表达，建立起数学模型，然后运用数学方法进行求解. 建立数学模型的这个过程就称为数学建模.
2. 用一元一次方程解决实际问题的几个注意事项
（1）先弄清题意，找出相等关系，再按照相等关系来选择未知数和列代数式，比先设未知数，再找出含有未知数的代数式，再找相等关系更为合理.
（2）所列方程两边的代数式的意义必须一致，单位要统一，数量关系一定要相等.
（3）要养成“验”的好习惯，即所求结果要使实际问题有意义.
（4）不要漏写“答”、“设”和“答”都不要丢掉单位名称.
（5）分析过程可以只写在草稿纸上，但一定要认真.
三. 重点难点：
1. 重点：进一步体现一元一次方程与实际的密切联系，渗透数学建模思想，培养运用一元一次方程分析和解决实际问题的能力.
2. 难点：本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地列方程是主要难点. 突破难点的关键是弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系.
【典型例题】
例1. 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示. 小明将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示. 小明所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
分析：饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽. 根据题意可设长方形的长为x，则长方形的周长为2x＋2×10，梯形的周长为10＋10＋10＋6＋10＋6＝52. 则2x＋20＝52，从而解得x＝16.
解：设小明所钉长方形的长为x，根据题意得：
2x＋2×10＝10＋10＋6＋10＋6＋10
整理得，2x＋20＝52
解得，x＝16
由于饰物变化前后长度为10的边没有变化，所以长方形的一边长为10厘米.
答：长方形的长为16厘米，宽为10厘米.
评析：图形变化问题的等量关系往往是变化前后的周长相等、面积相等、体积相等.
例2. 一批货物，甲把原价降低10元卖出，用售价的10%做积累，乙把原价降低20元，用售价的20%做积累，若两种积累一样多，则这批货物的原售价是多少？
分析：设这批货物的原售价为x元，则甲的积累是（x－10）×10%元，乙的积累是（x－20）×20%，相等关系是：甲的积累＝乙的积累.
解：设这批货物的原售价为x元，根据题意得：
（x－10）×10%＝（x－20）×20%
化简得：x－10＝2（x－20）
即x－10＝2x－40
解得x＝30
答：这批货物的原售价为30元.
评析：这个问题的相等关系比较简单，难点是对两个百分数的处理.
例3.某足球比赛的计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 一个队踢14场球负5场共得19分，问这个队胜了几场？
分析：根据题意，所得的19分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分，而踢胜的场数和踢平的场数共14－5＝9场，如果设胜了x场，那么踢平的场数就是9－x场. 分别乘它们的分值，和为19.
解：设胜了x场，根据题意得：
3x＋1×（14－x－5）＝19
即3x＋9－x＝19
解得x＝5
答：这个队胜了5场.
评析：积分多少与胜、平、负的场数相关，同时也与比赛积分规定有关，如果对体育比赛有一定了解，会有助于理解题意.
例4.某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%，由于国际油价上涨，这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%. 求这个月的石油价格相对上个月的增长率.
分析：数量关系如下表：
上个月
这个月
石油进口量
1
1－5%
进口石油费用
1
1＋14%
石油价格
1
1＋x
解：设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x. 根据题意得：
（1＋x）（1－5%）＝1＋14%
解得x＝1/2＝20%
答：这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.
评析：借助表格来分析较复杂的数量关系. 这道题所用的相等关系是：数量×价格＝费用.
例5.2001年以来，我市药店积极实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元. 五次药品降价的年份与相应降价金额如下表所示，表中缺失了2003年，2007年的相关数据. 已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额.
年份
2001
2003
2004
2005
2007
降价金额（亿元）
54
35
40
分析：相等关系较为明显，可以根据累计降价的总金额为269亿元列方程，结合表格如果设2003年降价金额为x亿元，则2007年降价金额为6x亿元，有54＋x＋35＋40＋6x＝269.
解：设2003年降价金额为x亿元，根据题意得：
54＋x＋35＋40＋6x＝269
整理得，7x＝140
解得，x＝20
6x＝6×20＝120
答：2003年和2007年药品降价金额分别是20亿元和120亿元
评析：这个问题是以表格形式传递信息的，这种形式在现实中很普遍，重点培养从不同形式获取有关数据信息，是值得注意的问题.
例6.初一（1）班有学生60人，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的1/4多2人，则同时参加这两个小组的人数是 （ ）
A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
解：B
评析：这道题的数量关系非常复杂，但是结合图形可以使其变得很明朗.
【方法总结】
应用数学知识去研究和和解决实际问题，遇到的第一项工作就是建立恰当的数学模型. 从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础. 没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一. 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一.
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一. 选择题
1. 实验中学七年级（2）班有学生56人，已知男生人数比女生人数的2倍少11人，求男生和女生各多少人？下面设未知数的方法，合适的是 （ ）
A. 设总人数为x人 B. 设男生比女生多x人
C. 设男生人数是女生人数的x倍 D. 设女生人数为x人
2. 甲厂的年产值为7450万元，比乙厂的年产值的5倍还多420万元，若设乙厂的年产值为x万元，下列所列方程中错误的是 （ ）
A. 5x＋420＝7450 B. 7450－5x＝420
C. 7450－（5x＋420）＝0 D. 5x－420＝7450
3. 某种品牌的彩电降价30%后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为 （ ）
A. 0.7a元 B. 0.3a元
C. 元 D. 元
4. A、B两城相距720km，普快列车从A城出发120km后，特快列车从B城开往A城，6h后两车相遇. 若普快列车是特快列车速度的，且设普快列车速度为xkm/h，则下列所列方程错误的是 （ ）
5. 用两根长12cm的铁丝分别围成正方形和长与宽之比为2∶1的长方形，则长方形和正方形的面积依次为 （ ）
A. 9cm2和8cm2 B. 8cm2和9cm2
C. 32cm2和36cm2 D. 36cm2和32cm2
*6. 有一位旅客携带了30kg重的行李从上海乘飞机去北京，按民航总局规定：旅客最多可免费携带20kg重的行李，超重部分每千克按飞机票价格1.5%购买行李票，现该旅客购买了180元的行李票，则他的飞机票价格应是 （ ）
A. 800元 B. 1000元 C. 1200元 D. 1500元
二. 填空题
1.一件运动衣按原价的八折出售时，售价是40元，则原价为_____元.
2. 买4本练习本与3枝铅笔一共用了4.7元. 已知铅笔每枝0.5元，则练习本每本_____元.
*3. 一个长方形鸡场的一边靠墙，墙的对面有一个2m宽的门，另三边（门除外）用篱笆围成，篱笆总长33m，若鸡场的长∶宽＝3∶2（尽量用墙），则鸡场的长为__________m，宽为__________m.
4. 某市居民2007年末的储蓄存款达到9079万元，比2006年末的储蓄存款的15倍还多4万元，则2006年末的存款为__________.
5.某商店销售一批服装，每件售价150元，打8折出售后，仍可获利20元，设这种服装的成本价为每件x元，则x满足的方程是__________.
**6.依法纳税是每个公民应尽的义务，新的《中华人民共和国个人所得税法》规定，从2008年3月1日起，公民全月工薪不超过2000元的部分不必纳税，超过2000元的部分应缴纳个人所得税，此项税款按下表分段累进计算. 黄先生4月份缴纳个人所得税税金55元，那么黄先生该月的工薪是__________元.
全月应纳税所得税额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
…
…
三. 列方程解应用题
1.据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市. 其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍. 求严重缺水城市有多少座？
*2. 甲、乙两个工人接受了加工一批服装的任务，规定两人各加工这批服装的一半，已知乙的工作效率相当于甲的，工作了8小时，甲完成了自己的任务，这时乙还差24件服装没有完成. 这批服装共有多少件？
3. 如图所示，小红将一个正方形剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上沿平行短边的方向剪去一个宽为5cm的长条. 若两次剪下的长条面积正好相等，那么每一长条的面积为多少？原正方形的面积为多少？
**4. 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节约用水的目的. 该市规定了如下的用水标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过部分每立方米仍按a元收费，超过部分每立方米按b元收费.
该市居民张大爷一家今年3、4月份的用水量和水费如下表：
月份
用水量/m3
水费/元
3
5
7.5
4
9
27
设该户每月用水量为x（m3），应缴水费y（元）.
（1）求a、b的值，写出用水不超过6m3和超过6m3时，y与x之间的代数表达式；
（2）若张大爷一家今年5月份的用水量为8m3，该户5月份应缴的水费是多少？
**5. 振华中学为进一步推进素质教育，把素质教育落到实处，利用课外兴趣小组活动开展棋类教学活动，以提高学生的思维能力，开发智力，七年级一班有50名同学，通过活动发现只有1人象棋、围棋都不会下，有30人象棋、围棋都会下，且会下象棋的学生比会下围棋的学生多7人.
（1）若设会下围棋的有x个人，你能列出方程并证明x是35、36、37三个数中的哪一个吗？
（2）你知道只会下象棋不会下围棋的人数吗？
【试题答案】
一. 选择题
1. D 2. D 3. D 4. B 5. B 6. C
二. 填空题
1. 50
2. 0.8
3. 15 10 （提示：可设长为3x，宽为2x，则3x＋2x＋2x－2＝33）
4. 605万元
5. x＋ 20＝0.8×150
6. 2800 提示：设黄先生4月份的工薪是x元，如果x在2000元~2500元，则5%（x－2000）＝55，解得x＝3100，不符合题意；如果x在2500元~4000元，则10%（x－2000－500）＋5%×500＝55，解得x＝2800. 所以黄先生4月份的工薪是2800元.
三. 列方程解应用题
1. 解：设严重缺水城市有x座，根据题意得：
4x－50＋2x＋x＝664
解得，x＝102
答：严重缺水城市有102座.
3. 解：设原正方形的边长为xcm，列方程为：
4x＝5（x－4）
解得，x＝20
4×20＝80（cm2），20×20＝400（cm2）
答：每一长条的面积为80cm2，原正方形的面积为400cm2.
4. 解：（1）3月份用水5m3不超过6m3，所以水费按每立方米a元收取，所以5a＝7.5，所以a＝1.5；
4月份用水9m3，所以7.5＋（9－6）·b＝27，解得：b＝6.5.
不超过6m3时，y＝1.5x；
超过6m3时，y＝7.5＋6.5（x－6）
（2）由（1）可得当x＝8时，y＝7.5＋6.5（x－6）
即y＝7.5＋6.5×2＝20.5（元）
答：略
5. （1）设会下围棋的学生有x人，则会下象棋的学生为（x＋7）人，那么只会下围棋的学生有（x－30）人，只会下象棋的学生为（x＋7－30）人，根据题意得：
x＋x＋7－30＝50－1，
把x＝35，x＝36，x＝37分别代入方程，有x＝36成立，
所以会下围棋的有36人.
（2）会下象棋不会下围棋的有x＋7－30＝36＋7－30＝13（人）.
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