资源描述
§1.1反比例函数第一课时
教学目标：
1、知识与技能：
（1）从现实情境和已有的知识、经验出发、讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数、函数概念的理解。
（2）经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解概念。
2、过程与方法：
（1）经历对两个变量之间相依关系的讨论，培养学生的辨别唯物主义观点。
（2）经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。
3、情感态度与价值观：
（1）经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学习数学的兴趣。
（2）通过分组讨论，培养学生合作交流意识和探索精神。
教学重点和难点:
教学重学是了解并掌握反比例函数的概念。教学难点是能根据已知条件（应用性类型）确定反比例函数解析式。
教学设想：
由于学生已学过正比例关系，一次函数，正比例函数等概念，初步打算采用新旧知识相联系的方法，让学生通过观察、比较、发现、概括的方法来学习新知识，从而掌握新知识。
本节课通过对具体情境的分析，概括出反比例函数的表达形式，明确反比例函数的概念。通过例题和列举的实例可以丰富对反比例函数的认识，理解反比例函数的意义。
由于本节课比较抽象，理解起来比较困难，因此，在学习反比例函数概念的过程中，应充分利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中变量的相依关系及变化规律，并逐步加深理解。教学中要提供直观背景展现反比例函数的经验来源，在获得反比例函数概念之后，经验背景将成为概念的某种直观解释或实际意义，在活动中，教师应注意提供思考或研究问题的方向。
教学过程设计
一、创设情境，导入新课：
活动1：
问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？
(1)京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；
（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；
（3）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位:人）的变化而变化。
先让学生进行小组合作交流，再进行全班性的问答或交流。学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数，了解所讨论的函数的表达形式。后教师组织学生讨论，提问学生，师生互动。
在此活动中老师应重点关注学生:（1）能否积极主动地合作交流。（2）能否用语言说明两个变量间的关系。（3）能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。
分析及解答：（1）；（2）；（3）。其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，s是n的函数；
上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数。
问题探究：
问题1：北京到杭州铁路线长为1661km。一列火车从北京开往杭州，记火车全程的行驶时间为x(h)，火车行驶的平均速度为y（km/h)，(1)你能完成下列表格吗？
解答
(2)y与x成什么比例关系？能用一个数学解析式表示吗？
问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场。设它的一边长为x(米)，请写出另一边的长y(米)与x的关系式．
二、联系生活，丰富联想：
活动2：
下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数式表示？
（1）一个游泳池的容积为2000m3，注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；
（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；
（3）一个物体重100牛顿，物体对地面的压力p随物体与地面的接触面积S的变化而变化。
学生先独立思考，在进行全班交流。教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，在此活动中，教师应重点关注学生：（1）能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；（2）能否积极主动地参与小组活动；（3）能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念。
分析及解答：（1）；（2）；（3）
归纳小结：
函数关系式 、、、、、等，具有什么共同特点?你还能举出类似的实例吗?
例子，如：
(1)一个面积为6400㎡的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化。。
(2)某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还贷额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化。。
(3)游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t(h)随注水速度v(m3／h)的变化而变化。。
(4)实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化。。
概念：我们把函数（为常数，）叫做反比例函数。这里x是自变量，y是关于x的函数，k叫做反比例系数。反比例函数的自变量x不能为零。（反比例函数也可以表示为y=kx-1(k为常数，k≠0)的形式.）
学生自己揭示概念，体验反比例函数概念的形成过程，明确函数关系式的特征，深入理解概念。
活动3：
做一做：一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长为xcm和ycm。那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
学生先进行独立思考，再进行全班交流。教师提出问题，关注学生思考。此活动中教师应重点关注：（1）学生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；（2）学生能否顺利抽象反比例函数的模型；（3）学生能否积极主动地合作、交流。
活动4：问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？
；；；；y=-3x；y=2x+1；；。
问题2：下列函数中哪些是反比例函数？说出反比例函数的比例系数
；；；y=3(x-1)2+1；（是常数，≠0）；。
此处的问题1、2，也可以合并成同一问题，主要是让学生在练习中增加对反比例函数的认识，本课着重的是反比例的形式。
问题3：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6。（1）写出y与x的函数关系式：（2）求当x=4时，y的值。
学生独立思考，然后小组合作交流。教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导。在此活动中教师应重点关注：①学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；②学生能否积极主动地参与小组活动。
分析及解答：1、只有xy=123是反比例函数。2、2，3均为反比例函数。
3、y是x的反比例函数，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值。
解：（1）设，因为x=2时，y=6，所以有；解得k=12；因此
（2）把x=4代入，得
三、例题分析，形成模型：
“给我一个支点，我可以把地球撬动。”这是古希腊科学家阿基米德的名言?这里蕴涵着什么样的原理呢?
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为；阻力×阻力臂＝动力×动力臂。
活动：小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0．5米。(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力?(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?
【设计意图：物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系。因此，在这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用。
师生行为：先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题。教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系。
教师在此活动中应重点关注：①学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；②学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；③学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣。】
解：(1)根据“杠杆定律”有F·l＝1200×0.5．得F＝。
当l＝1.5时，F＝＝400。因此，撬动石头至少需要400牛顿的力。
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有Fl＝600，即l＝；当F＝400×＝200时，l＝＝3。3－1.5＝1.5(米)。
因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要如长1.5米．
继续运用：【例1】如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm.设动力y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）
(1)求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；(2)求当x=50时，函数y的值，并说明这个值的实际意义；(3)利用y关于x的函数解析式，说明当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？
练1、三角形一边长为xcm，这边上的高为ycm，它的面积为25cm2.求(1)y关于x的函数关系式，并判断是什么函数？（2）自变量x的取值范围，(3)当y=10时x的值。
练2、一个矩形的面积是20cm2，相邻的两条边长为xcm和ycm，那么变量y是x的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
练3、某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例函数吗?为什么?
课内练习：
1、已知反比例函数，⑴说出比例系数；⑵求当x=‐10时函数的值；⑶求当y=时自变量x的值。
2、设面积为10cm2的三角形的一边长为a（cm），这条边上的高为h（cm），⑴求h关于a的函数解析式及自变量a的取值范围；⑵h关于a的函数是不是反比例函数？如果是，请说出它的比例系数；⑶求当边长a=25cm时，这条边上的高。
四、巩固提高：
活动5：1、已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。（1）写出y与x之间的函数关系式。（2）求y=2时x的值。
2、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：
x
-2
-1
1
3
y
2
-1
（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表。
学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”。
检测反馈：
分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？
(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；
(2)体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2；
(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2；
(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米.
五、课时小结：
反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解。在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象。反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象。
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