资源描述
三角形全等的判定
第1课时 三角形全等的判定(一)
教学目标
【知识与技能】
1.掌握边角边的判定方法,并且会用边角边的判定方法来证明两个三角形全等.
2.掌握作一个角等于已知角的方法,掌握已知两边和其夹角画三角形的方法.
【过程与方法】
1.从动手操作到理性证明,探索出三角形全等的边角边判定方法.
2.通过“边角边”的应用,掌握转化的数学方法.
3.通过作一个角等于已知角培养学生的识图能力和作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过问题情境,激发学生学习数学的热情和兴趣人,培养学生勇于创新、多方位审视问题的思想.
2.在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点难点
【重点】
掌握全等三角形“边角边”判定方法.
【难点】
掌握并灵活应用“边角边”的判定方法.
教学过程
一、创设情境、导入新知
师:上节课我们学习了全等三角形的两个性质,大家还记得是什么吗?
生:记得.全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
师:那么我们怎样判定两个三角形全等呢?三角形有六个基本元素——三条边和三个角,只给定其中的一个元素或两个元素,能够确定一个三角形的形状和大小吗?这节课我们就来研究这个问题.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
1.只给定一个元素:
(1)一条边长为4 cm;(2)一个角为45°.
2.只给定两个元素:
(1)两条边长分别为4 cm、5 cm;(2)一条边长为4 cm,一个角为45°;(3)两个角分别为45°、60°.
师:同学们可以试着画画,看根据这些已知的条件能不能确定一个三角形的形状和大小?
学生操作,并思考、讨论.
生:只给定三角形的一个或两个元素,不能完全确定一个三角形的形状和大小.
师:那么还需要增加什么条件才能确定一个三角形的形状和大小呢?
教师拿出一个圆规,边操作边说明:
圆规的两脚的交点记为B,我在圆规的两脚上各取一点A、C,自由转动其中一个角,△ABC的形状、大小随之改变,那么还需增加什么条件才可能确定△ABC的形状和大小呢?
学生交流讨论后回答.
生甲:给定边AC.
生乙:给定夹角∠ABC的大小.
师:对.
教师拿出两块三角板,边操作边讲解:
我把30°的这个角记为∠B,45°的这个角记为∠C,这两个直角三角形的斜边的交点记为点A,沿着B、C两点确定的直线l左右移动三角尺,△ABC的形状、大小随之改变,那么还需要增加什么条件才可以确定△ABC的形状、大小呢?
学生交流讨论,教师参与.
生甲:BC的长确定时.
生乙:AB的长确定时.
生丙:AC的长确定时.
师:对.同学们很聪明.下面,我们用尺规作图作出三角形,来研究三角形全等的条件,我们先画出一个三角形,并把它记为△ABC.
学生操作:
师:然后作一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠B'=∠B,B'C'=BC,因为A'B'和B'C'的夹角为∠B',所以我们可以先作一个角∠MB'N=∠B,这个作图过程的关键是作一个角等于已知角.
教师边操作边讲解:
我们先作一条射线B'N,然后以B为圆心,以小于BA且小于BC的长度为半径画弧,与BA、BC的交点分别记为D、E,然后再以B'为圆心,以与刚才同样的半径画弧,与B'N交于一点,记为E',然后E'为圆心,以DE的长度为半径画弧,交前面的一条弧于一点,记为D',连接B'D'并延长得射线B'M,这样我们就作出了∠MB'N=∠B.下面请同学们按这种方法作一个角等于你画出的三角形的一个角.
学生交流讨论后操作,教师巡视指导.
教师边操作边讲解:
然后在B'M上截取B'A'=BA,在B'N上截取B'C'=BC,然后连接A'C',则△A'B'C'就是所求作的三角形.
学生操作:
师:将你所作的△A'B'C'与△ABC叠一叠,看看它们能否完全重合?
学生操作后回答:能.
师:由此你能等到什么结论?
生:两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
师:对.我们把这个判定方法简记为“边角边”或“SAS”,其中S表示边,它是边的英文side的第一个字母,A表示角,它是角的英文angle的第一个字母.
三、例题讲解,加深理解
【例1】 如图所示,在湖泊的岸边有A、B两点,难以直接量出A、B两点间的距离.你能设计一种量出A、B两点之间距离的方案吗?说明你这样设计的理由.
师:请同学们思考一下这个问题.
学生交流讨论,教师参与.
师:我们不能直接量出A、B两点之间的距离,如果可以有两个三角形全等,我们可以量出AB的对应边的话,根据全等三角形的对应边相等,我们就可以知道A、B间的距离了.
学生交流.
教师边操作边讲解:
因此,我们在岸上取可以直接到A、B的一点C,连接AC,延长AC到点A',使A'C=AC;连接BC,并延长BC到点B',使B'C=BC.连接A'B',量出A'B'的长度,就是A、B两点间的距离.你能说出这样做的依据吗?
学生思考,交流讨论后,教师找一名学生回答.
生:由作图可知,AC=A'C,BC=B'C,又因为∠ACB和∠A'C'B是对顶角,所以它们相等,而它们分别是AC和BC、A'C和B'C的夹角,所以由边角边的判定方法可证得△ABC≌△A'B'C,再由全等三角形的对应边相等得A'B'=AB.
教师板书证明过程.
解:在岸上取可以直接到达A、B的一点C,连接AC,延长AC到A',使A'C=AC;连接BC,并延长BC到B',使B'C=BC,连接A'B',量出A'B'的长度,就是A、B两点间的距离.
理由:在△ABC与△A'B'C中,
∵
∴△ABC≌△A'B'C'.(SAS)
∴A'B'=AB.(全等三角形的对应边相等)
【例2】 已知:如图所示,AD∥BC,AD=BC.
求证:△ADC≌△CBA.
师:根据题意,你知道那些相等的条件?
学生观察后回答:AD和BC相等.
师:△ADC中AC边与△CBA的哪条边对应?
生:CA边.
师:它们相等吗?
生:相等,因为它们是公共边.
师:很好!那还有什么相等条件呢?
生:由AD∥BC得到∠DAC=∠BCA.
师:依据什么?
生:两直线平行,内错角相等.
师:对.这样,我们就找到了证明三角形全等的条件,用边角边的判定方法就能判定△ADC和△CBA全等了.
教师板书证明过程.
证明:∵AD∥BC,(已知)
∴∠DAC=∠BCA.(两直线平行,内错角相等)
在△ADC和△CBA中,
∵
∴△ACD≌△CBA.(SAS)
四、课堂小结
师:今天你们学习了什么新的知识?
生:用“边角边”的判定方法判定两个三角形全等.
师:你们有什么不懂的地方吗?
学生提出疑问,老师解答.
教学反思
本节课所讲的“边角边”的判定方法是探索三角形全等的判定方法之一,是后面几种判定方法的基础,也是本章的重点和难点.教材中的内容看似简单,仔细研究后才发现对八年级的学生来说有些困难,处理不好可能难以成功.备课时发现本节课的难点就是处理从确定一个三角形得到三角全等的方法这个环节,课上通过让学生动手操作和学生相互交流验证很好地解决了本节课的教学任务.
第2课时 三角形全等的判定(二)
教学目标
【知识与技能】
1.探索全等三角形的“角边角”、“角角边”的判定方法.
2.能运用“角边角”、“角角边”的判定方法进行三角形全等的判定.
【过程与方法】
1.通过动手画图、实验来理解和掌握“角边角”的判定方法.
2.通过“角边角”、“角角边”的判定方法的应用,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力.
3.通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过带领学生观察生活中的问题,使学生感受全等三角形在现实中的应用价值,通过自主学习发展学生的创新意识和能力.
2.在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点难点
【重点】
撑握全等三角形“角边角”、“角边角”的判定方法.
【难点】
“角边角”、“角角边”的判定方法的探究过程.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:上节课我们学习了判定两个三角形全等的第一个定理,你还记得它的内容吗?
生:记得.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为“边角边”或“SAS”.
师:很好!除了这个定理我们还有没有其他的方法来判定两个三角形全等?这一节课我们进一步研究判定两个三角形全等的问题.
二、共同探究、获取新知
师:请同学们任意作一个三角ABC,然后作一个三角形A'B'C',使∠B'=∠B,B'C'=BC,∠C'=∠C.
学生交流讨论,教师参与.
教师边操作边讲解:
(1)作线段B'C'=BC;
(2)在B'C'的同侧,分别以B'、C'为顶点作∠MB'C'=∠B,∠NC'B'=∠C,B'M与C'N交于点A',则△A'B'C'就是所求作的三角形.
学生作图后比较两个图的大小.
生:△A'B'C'和△ABC重合.
师:重合说明了这样作出的△A'B'C'和△ABC是全等的.
师生共同得到结论:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.简记为“角边角”或“ASA”.
三、讲解例题,加深理解
教师多媒体出示:
【例1】 已知:如图所示,要测量河两岸相对的两点A、B之间的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使BC=CD,再过点D作BF的垂DE,使点A、C、E在一条直线上,这时测得DE的长等于AB的长,请说明理由.
学生思考讨论.
师:这道题与上节课讲解到的例1类似.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体纠正.
解:∵AB⊥BD,ED⊥BD,(已知)
∴∠ABC=∠EDC=90°.(垂直的定义)
又∵BC=CD,(已知)
∠ACB=∠ECD,(对顶角相等)
∴△ABC≌△EDC.(SAS)
∴AB=DE.(全等三角形的对应边相等)
【例2】 已知:如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:DB=CB.
师:同学们思考一下,然后我提问.
学生交流讨论.
师:要证DB=CB,应证出什么?
生:先证△ABC≌△ACB.
师:怎样证呢?有哪些相等的条件?用什么判定方法?
生甲:∠1和∠2相等是已知的.
生乙:AB=AB是公共边,∠3和∠4相等.
生丙:根据等角的补角相等可以得到∠ABD=∠ABC.
师:大家分析得很好.
教师找一名学生板演,其余同学在下面做,然后集体订正.
证明:∵∠ABD与∠3互为邻补角,∠ABC与∠4互为邻补角(已知),
又∵∠3=∠4,(已知)
∴∠ABD=∠ABC.(等角的补角相等)
在△ADB与△ACB中,
∵
∴△ADB≌△ACB.(ASA)
∴DB=CB.(全等三角形的对应边相等)
四、乘胜追击
教师多媒体出示:
想一想,分别满足后面三组条件中任一组的两个三角形,即
(1)三外角分别相等;
(2)两边和其中一边的对角分别相等;
(3)两角和其中一角的对边分别相等;
能判定这两个三角形全等吗?
生:由条件(1)不能得到这组三角形全等.
师:为什么呢?你能举一个反例吗?
生:两个边长不等的等边三角形,它们的三个角分别对应相等,但它们不全等.
师:很好,下面请同学们通过作图,思考、看看由条件(2)能否推出两个三角形全等.
在条件(2)的探讨中,让学生自己动手作图,试试这样确定一个三角形.
师:很好!接下来我们看条件(3).
师:如图,在这个图中的△ABC和△ABD满足条件AB=AB,AC=AD,∠ABC=∠ABD,但它们也不全等.由此反例我们能得出什么结论?
生:已知两边和其中一边的对角分别相等不能得到两个三角形全等.
师生共同探究,在探究活动中得到:
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为“角角边”或“AAS”.
五、课堂小结
师:今天你学到了什么知识?你有什么收获?
学生回答.
师:你还有什么疑惑的地方?
学生提出问题,教师解答.
教学反思
学生有了“边角边公理”的探究经历,本课的探究活动就能很顺利地展开了.我的教学意图是:根据要求能唯一的作出一个三角形,能够作为判定三角形全等的条件.在今天的教学中,我设计了一个作图题,让学生自己动手比较发现它们是重合的,得到边角的判定方法,加深他们对这个判定方法的理解和印象.
第3课时 三角形全等的判定(三)
教学目标
【知识与技能】
1.探索全等全三角形的“边边边”的判定方法.
2.能运用“边边边”的判定方法进行三角形全等的判定.
【过程与方法】
1.通过动手操作来理解和掌握“边边边”的判定方法.
2.通过“边边边”的判定方法的应用,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力.
3.通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力.
【情感、态度与价值观】
通过带领学生观察生活中的问题,使学生感受全等三角形的体验,在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点难点
【重点】
掌握全等三角形“边边边”的判定方法.
【难点】
“边边边”的判定方法的探究过程和书写格式.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们学习了哪些判定两个三角形全等的定理?
生甲:边角边.
生乙:角边角.
生丙:角角边.
师:很好,这节课我们继续学习关于三角形全等的判定定理.
二、共同探究,获取新知
师:请大家任意画一个△ABC,再画一个△A'B'C',使△ABC与△A'B'C'三边对应相等,即使A'B'=AB,B'C'=BC,C'A'=CA.
学生作图,教师巡视指导.
师:你画出的△A'B'C'与△ABC一定全等吗?
学生剪下业,比较是否全等.
生:全等.
让学生充分交流后,在教师的引导下通过比较得出结论:三边对应相等的两个三角形全等.
三、合作交流、深化理解
教师多媒体出示图:
师:我们为什么在预制的木门杠(或木窗杠)上加两根木条,晃动了的椅子腿与坐板间钉一根木条构三角形?
生:为了让它稳定、结实.
师:为什么这样就会稳定、结实呢?
生:这样就构成了三角形,三角形具有稳定性.
师:三角形为什么具有稳定性呢?
生:因为只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了.
师:同学们说得很好,根据“边边边定理”我们可以得到三角形具有稳定性.
教师演示:由三根木条钉成的一个三角形的框架,它的大小和形状是固定不变的.
四、举例应用,加深理解
【例】 已知:如图所示,点B、E、C、F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:
AB∥DE,AC∥DF.
学生思考、交流讨论.
师:要证AB∥DE,AC∥DF,最好用什么判定方法?
生:同位角相等,两直线平行.
师:具体是哪些角相等?
生:∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.
师:你怎么证它们相等?
学生思索后回答:因为BE=CF,它们加上相同的一段EC后还是相等的.题中已知的还有两组对应边相等,由“边边边”可以判定这两个全等的.
师:证出两个三角形全等后怎么证上面的两组对应角相等呢?
生:根据全等三角形的对应角相等得到.
师:同学们回答得很好.
教师板书解题过程.
证明:∵BE=CF,(已知)
∴BE+EC=CF+CE,(等式的性质)
即 BC=EF.
在△ABC和△DEF中,
∵∴△ABC≌△DEF.(SSS)
∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.(全等三角形的对应角相等)
∴AB∥DE,AC∥DF.(同位角相等,两直线平行)
五、课堂小结
师:今天你又学习了什么新的知识?你还有什么疑问?
生甲:学习了“边边边”定理证明一些问题.
师:很好,大家这堂课收获不小.
教学反思
边边边公理,是三角形全等的判定方法之一.本课在教学时有一个难点就是利用“边边边”判定全等推理的书写格式.这个难点的处理中,间接条件要推理到直接条件,这在写两个三角形中的前面就要做好书写说明;直接条件直接写;隐含条件要挖掘.从本课的教学情况看,学生的前置学习还需指导,学生对课本上作图的操作撑握得不是很熟练,课堂上需要教者认真示范引领,教给学生的不只是尺规作图的方法,更是严谨认真的精神.
第4课时 三角形全等的判定(四)
教学目标
【知识与技能】
1.探索“斜边、直角边”的判定方法.
2.能运用“斜边、直角边”的判定方法进行两个直角三角形全等的判定.
【过程与方法】
1.通过动手画图操作来理解和掌握“斜边、直角边”的判定方法.
2.通过“斜边、直角边”的判定方法的应用,提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力.
3.通过对几何图形的观察培养学生的识图和作图能力.
【情感、态度与价值观】
1.通过带领学生观察生活中的问题使学生感受全等三角形在现实中的应用价值,通过自主学习发展自身的创新意识和能力.
2.在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣.
重点难点
【重点】
掌握直角三角形“斜边、直角边”的判定方法.
【难点】
三角形全等的判定方法的综合运用.
教学过程
一、创设情境,导入新知
师:我们都学习了哪些判定两个三角形全等的方法?
生甲:边角边.
生乙:角边角.
生丙:角角边.
生丁:边边边.
师:其实,在三角形的六个基本元素中选择三个元素对应相等,除了可以配成SAS、ASA、SSS外,还可以配成:AAA、SSA、AAS.
教师板书:
SAS、ASA、AAS、SSS、AAA、SSA
师:当时我们举出说明了两边和其中一边的对角分别相等以及AAA不能判定两个三角形全等,现在如果其中一边对的角是直角的话,这两个三角表什么 全等吗?
学生思考,讨论.
师:如果给你两条边,并且说明了一边对的是直角,这个三角形是确定的吗?
学生画图操作后回答:是确定的.
二、共同探究,获取新知
教师多媒体出示:
已知:Rt△ABC,其中∠C为直角.
求作:Rt△A'B'C',使∠C'为直角,A'C'=AC,A'B'=AB.学生讨论作法,老师参与.
教师多媒体出示:
作法:
(1)作∠MC'N=∠C=90°;
(2)在C'M上截取C'A'=CA;
(3)以A'为圆心、AB长为半径画弧,交C'N于B';
(4)连接A'B'.
学生作图.
师:请同学们将画好的Rt△A'B'C'与Rt△ABC叠一叠,看看它们是否完全重合?
学生操作.
生:重合.
师:由此你能得到什么结论?
生:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
师:对,我们把这个判定方法简记为“斜边、直角边”或“HL”.
三、举例应用,加深理解
教师多媒体出示:
【例1】 已知:如图所示,∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB.求证:AB=DC.
学生思考、交流讨论.
师:要证两个三角形的两条边相等,先证什么?
生:先证它们所在的三角形全等.
师:你怎么证它们全等呢?
生:由它们都有直角得到它们是直角三角形,已知了一组对应的直角相等.又有一组斜边相等,所以由“斜边、直角边”可以判定它们全等.
师:很好!
老师找一名学生板演解题过程,其余学生在下面做,然后集体订正.
证明:∵∠BAC=∠CDB=90°,(已知)
∴△BAC、△CDB都是直角三角形.
又∵AC=DB,(已知)
BC=CB,(公共边)
∴Rt△ABC≌Rt△DCB.(HL)
∴AB=DC.(全等三角形的对应边相等)
师:我们一共学习了几种判定两个三角形全等的方法?
生:四种.
师:在实际应用中,问题会比较复杂,可能会用到两次甚至更多次的全等证明,所以大家要对这些方法深入理解,要能灵活运用.
【例2】 已知:如图所示,AB=CD,BC=DA,E、F是AC上的两点,且AE=CF.求证:BF=DE.
学生思考并交流讨论.
师:要证BF=DE,需先证什么?
生甲:△BCF≌△DAE.
生乙:△ABF≌△CDE.
师:同学们回答得很好.我们先来看△BCF≌△DAE的证明,已经有的与这个结论的证明有关的条件有哪些?
生:BC=DA,AE=CF.
师:那我们还要加上一个什么条件就能证出两个三角形是全等的呢?
生甲:∠BCF=∠DAE,然后用边角边的判定方法判定.
生乙:BF=DE,然后用边边边的判定方法判定.
师:∠BCF=∠DAE可以,BF=DE不行,因为这是我们要证的最终结果,现在我们看怎么证∠BCF=∠DAE.这两个角除了分别是△BCF和△DAE的内角外,还是哪两个三角形的内角?
生:还分别是△BCA和△DAC的内角.
师:我们是不是可以证它们是全等的?
生:可以.
师:怎么证呢?
生:AB=CD,BC=DA是已知的,CA和AC是公共边,根据边边边的判定方法可以证出这两个三角形全等.
师:很好,我们现在把这个过程从前到后梳理一下,先根据边边边来证△BCA和△DAC全等,再根据全等三角形的对应角相等证得∠BCF=∠DAE,然后加上BC=DA,CF=AE,用边角边的判定方法证出它们全等,然后根据全等三角形的对应边相等,得到BF=DE.
教师找一名学生板书过程,其余学生在下面写,然后集体订正.
证明:在△ABC和△CDA中,
∵
∴△ABC≌△CDA.(SSS)
∴∠1=∠2.(全等三角形的对应角相等).
在△BCF与△DAE中,
∵
∴△BCF≌△DAE,(SAS)
∴BF=DE.(全等三角形的对应边相等)
四、练习新知,学以致用
教师多媒体出示:
【例3】 证明:全等三角形对应边上的高相等.
学生交流讨论,写出已知求证.
已知:如图所示.△ABC≌△A'B'C',AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高,求证:AD=A'D'.
教师找一名学生回答他解这道题的思路,再找一名学生补充完善.
教师找两名学生板演证明过程,然后教师和学生一起订正.
证明:∵△ABC≌△A'B'C'(已知)
∴AB=A'B',∠B=∠B'.(全等三角形的对应边,对应角相等)
∵AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高,
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.(垂直的定义)
在△ABD与△A'B'D'中,
∵
∴△ABD≌△A'B'D',(AAS)
∴AD=A'D'.(全等三角形的对应边相等)
五、课堂小结
师:今天你又学习了什么新的知识?
学生回答.
师:你还有哪些疑问?
学生提问,教师解答.
教学反思
在学习了三角形全等的四种判定方法后,我详细讲解了例题,目的是要求学生掌握三角形全等的四种判定方法,学会分析三角形全等条件的探究和证明思路的寻求,培养学生的发散思维能力.在学生自主复习整理四个判定判定方法后,我安排了证明全等的思路探究,让学生讨论已知三角形的两个元素,还要知道什么元素来得到.在讨论四种情形(两组边、边角相邻、边角相对和两个角)后,小组讨论应寻找的第三个条件,这是培养学生发散思维的很好的手段,虽然耗时,但取得的教学效果很好.
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