资源描述
3.10课题学习：设计遮阳蓬教案
教学目标：
知识目标： 1、经历把实际问题数学化。用数学的方式表示问题、解决问题。
2、综合运用数学、地理或其他学科的知识解决生活中的问题．
能力目标： 1、用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题的过程，发展数学应用能力，并体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值．
2、初步获得科学研究的体验，发展社会感。
教学过程与方法：1、通过把实际问题抽象为数学模型提高学生的分析能力和数学建模能力。
2、引导学生把所学的知识拓广延伸，培养学生数学思维的广度。
教学重点：经历把实际问题数学化，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题的过程，发展数学应用能力。
教学难点：遮阳篷制作原理
教学准备：标杆、卷尺，计算器、收集数据、图片。
教学过程：
（一）情境引入
你见过遮阳蓬吗？都有哪些形状？你若是某公司经理你能指导员工设计吗？
【生】见过很多，有圆弧形、直角形、抛物线形。可以。
【师】观察很细致。棒！
【多媒体展示】展示生活中常见的遮阳篷图片：
日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．你会设计遮阳篷吗?本节我们来探究一下如何设计遮阳蓬。
【设计意图】展示遮阳篷图片，使学生对遮阳篷有形象感官上的认识。为设计制作调动学生学习的积极性和探索求知的欲望。
二、探究活动 【探究活动一】如何利用学过的知识和你手中测量工具，测量你所在地区正午时刻太阳光与地平面的夹角？
【温馨提示】可以利用以前学习的相似形的知识，以及三角函数知识，学生讨论交流，教师参与其中。
【设计意图】：学生经过小组内的交流，可以自主测量方法，会加深学生对方法的理解，有利于学生掌握新知识，同时培养了学生的自主探究学习能力。
【师】同学们，当夏天的太阳光透过窗户照在你身上的时候，感觉如何？冬天呢？
【生】夏天很热，冬天就很温暖了。
【师】那你想不想试着为窗户设计一个遮阳蓬来解决这个烦恼呢？ 设计遮阳篷，你会关注哪些要素。
【生1】交流、讨论。
【生2】阳光
【探究活动二】假设某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户的高度为h cm。此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β。请你为该窗户设计一个遮阳篷，要求它既能最大限度的遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度的使冬天温暖的阳光设入室内。如下图：你能将生活中的实际问题转化为数学问题吗？
三、构建数学模型：
【生】仔细审题，分析题目要求。
【师】结合背景，画图分析
把图1画成图2，某中AB表示窗户(AB＝hcm)，BCD表示直角形遮阳篷．
(1) 当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，遮阳篷BCD应该具备什么条件?请在图3中画出，此时，BC,CD唯一吗？
【生】小组活动、探讨，交流激烈，气氛活跃。（留给学生足够的时间探索）
【多媒体展示】
分析过程：
当太阳光与地平面的夹角为α时，要想使太阳光刚好全部射入室内，那么遮阳篷的边BD必须和太阳光平行，即BD边必须与地平面的夹角为α，又因为△BCD是直角三角形，CD平行于地平面，此时只要直角形遮阳篷∠BDC＝α，就能保证太阳光刚好全部射入室内．如图：（4）此时，BC,CD不唯一。
（图4）
(2) 当太阳光与地平面的夹角为β时，要想使太阳光刚好不射入室内，遮阳篷BCD应如何设计?请在图3中画图表示，此时，BC唯一吗?CD呢?
【多媒体展示】如图
（图5）
（3）如何同时满足(1)(2)两个条件，那么遮阳篷BCD应如何设计?此时BC唯一吗?CD呢? 你能用含h、α、β的关系式分别表示BC和CD吗?
【温馨提示】请同学们在小组内讨论、交流。
（图6）
【多媒体展示】如图6
在Rt△BCD中，∠BDC＝α，则
BC＝CDtanα①． 在Rt△ACD中，∠ADC＝β，则
AC＝h+BC＝CD·tanβ． ②
把①代入②得
h+CDtanα＝CDtanβ． ③
解③得
CD＝．因此在Rt△BCD中 ，BC＝CD·tarα＝
【设计意图】通过三个问题的探究活动，使学生认识到，把生活中的实际问题数学化，建立数学模型，运用所学知识解答。设计直角形遮阳蓬的关键是图中CD 、BC的长度，决定这两个长度的最关键是：当地正午太阳高度角α、β的大小。四、推广设计:
对于以上制作的遮阳蓬：假如你是公司经理，顾客如果要求：
（1）遮阳篷的CD边为圆弧形(C，D同高)，那么你还需要知道哪些数据才能进行设计？
（2）如果要求遮阳篷的CD边为抛物线形，那么你还需要知道哪些数据才能进行设计？
（3）如果要求遮阳篷的CD边可伸缩，那么你又应如何设计
【温馨提示】问题1与圆的知识有关；问题2与二次函数有关；问题3与四边形的不稳定性有关。小组交流，也可全班探究。时间充分，认真思考。
【多媒体展示】
五、活学活用，拓展提高
1、（本题满分10分）（淄博中考数学试题第24题）
在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳蓬，如图（1）.现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳蓬，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为34°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为76°.
把图①画成图②，其中AB表示窗户的高，BCD表示直角形遮阳蓬.
⑴遮阳蓬BCD怎样设计，才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大限度地射入室内而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内？请在图③中画图表示；
⑵已知AB＝150cm，在⑴的条件下，求出BC，CD的长度（精确到1cm）.
1、如图为圆弧形遮阳棚，其中圆半径为5CM，弧CD所对的圆心角为600
窗户高1.5M, ∠α=300 ∠ β=600 求BC及弧CD的长度。
【设计意图】这是一道中考题，意在考察学生灵活运用所学知识，学会数学建模，让学生知道数学来源于实践，源于生活，为生活服务。树立学习的信心，把学到的知识去指导实践，美化我们的家园。
2、（2011山东滨州，25题，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC。点A、B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4O米，点B到水平面距离为2米，OC=8米。
1、 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；
2、 为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA、PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P？（无需证明）
3、 为了施工方便，现需计算出点O、P之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O、P之间的距离是多少？（请写出求解过程）
（研讨，小组交流，然后师生共同求解）
解：（1）以点O为原点、射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系
设抛物线的函数解析式为
由题意知点A的坐标为（4，8）。且点A在抛物线上，
所以8=a×，解得a=,故所求抛物线的函数解析式为
（2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D
则点A、D关于OC对称。
连接BD交OC于点P，则点P即为所求。
（3）由题意知点B的横坐标为2，且点B在抛物线上，
所以点B的坐标为（2，2）
又知点A的坐标为（4，8），所以点D的坐标为（-4，8）
设直线BD的函数解析式为 y=kx+b
则有
解得k=-1,b=4.
故直线BD的函数解析式为 y=-x+4，
把x=0代入 y=-x+4，得点P的坐标为（0，4）
两根支柱用料最省时，点O、P之间的距离是4米。
【设计意图】数学被学生认为是枯燥的、无味的、繁杂的计算和证明。而课题学习的内容，可以彻底让学生改变这种看法。本题让学生体会用数学知识来解决生活中的问题，为一个地区的窗户设计遮阳蓬，使冬日的阳光尽可能多的照进屋子里，夏日的阳光而被拒之窗外，让人们享受冬暖夏凉的生活，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。
六、课后作业：
1、分组调遮阳蓬的实际设计与制作过程，写一份调查报告。
2、 各小组根据自家实际情况，设计一遮阳篷制作方案，并绘出相应的草图，要求实用、美观，形式不限。
七、【教后反思】
本节课是在学生学习三角函数、抛物线、四边形及圆和地理知识基础上，探究思考设计遮阳蓬。经历从实际问题中构建数学模型的过程，提升学生分析问题、解决问题的能力，丰富对数学生活化的认识，提高了学习数学的兴趣；合作交流过程中，培养了合作的能力和应用数学的能力。让学生不断体会学习有价值的数学，为今后的学习打下了良好的基础。
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