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5.4 一元一次方程的应用
第1课时 和、差、倍、分问题
【教学目标】
1.使学生了解解应用题的一个重要步骤是根据题意找出等量关系，然后列出方程，关键在于分析已知量、未知量之间的关系及寻找相等关系.
2.通过对和、差、倍、分的量与量之间的分析以及在公式中有一个字母表示未知数，其余字母表示已知数的情况下，列出一元一次方程解简单的应用题.
【重难点】
重点：根据题意，寻找和、差、倍、分问题中的等量关系，列出一元一次方程解决实际问题.
难点：寻找问题中的等量关系，据此列出一元一次方程.
【教学过程设计】
教学过程
设计意图
一、创设情境，导入新课
引例 某仓库存放的大米运出25%后，还剩37 500kg，仓库原有大米多少千克？
今天我们就用一元一次方程来解决.
二、师生互动，探究新知
例1 大、小两台拖拉机一天共耕地19公顷，其中，大拖拉机耕地面积比小拖拉机耕地面积的2倍还多1公顷，这两台拖拉机一天各耕地多少公顷？
提出问题：(1)本题中含有的所求数量的等量关系是_______________.
(2)设小拖拉机一天耕地x公顷，填写下表：
小拖拉机耕地
面积(公顷)
大拖拉机耕地
面积(公顷)
总耕地面积(公顷)
(3)列出的方程是：__________________________________.
(4)请你写出完整的解题过程.
学生思考、讨论、交流、解答.
教师总结.
要求学生认真读题目，寻找反映题目的全部含义的相等关系，通过理解启发，寻找出以下关系：
小拖拉机耕地面积＋大拖拉机耕地面积＝两台拖拉机耕地面积.
学生分析寻找相等关系时，可能存在学生分析问题思路不同，会找出如下关系：
小拖拉机耕地面积＝两台拖拉机耕地面积－大拖拉机耕地面积.
大拖拉机耕地面积＝两台拖拉机耕地面积－小拖拉机耕地面积.
这主要是由于学生思路不同，得出的关系表面不同，但思路是正确的，应鼓励、培养学生这种发散思维能力.
解：设小拖拉机一天耕地x公顷，则大拖拉机一天耕地(2x＋1)公顷.
根据题意，得x＋(2x＋1)＝19.
解得x＝6.
从而有2x＋1＝13.
答：大拖拉机一天耕地13公顷，小拖拉机一天耕地6公顷.
思考：列一元一次方程解应用题的步骤有哪些？
学生思考：讨论交换回答.
教师总结：(1)设未知数.认真审题，分析题中的数量关系，用字母表示题中的未知数时一般采用直接设法.
(2)寻找等量关系.可借助图表等分析题中的已知量与未知量之间的关系，列出等式两边的代数式.注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量.
(3)列方程.列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量.
(4)解方程.方程的变形应根据等式的性质和运算法则.
(5)写出答案.检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位.
三、运用新知，解决问题
某校七年级同学参加一次公益活动，其中15%的同学去做保护环境的宣传，剩下的170名同学去植树、种草，七年级共有多少名同学参加这次公益活动？
学生自主探究、讨论、交流，教师点拨.
(1)如果设七年级共有x名同学参加这次公益活动，则
做环保的同学/名
植树、种草的同学/名
参加公益活动
的同学/名
(2)其中的等量关系是_______________________ .
(3)列出的方程是_________________________ .
四、课堂小结，提炼观点
同学们，这节课你学会了什么？有哪些收获？能完成引例吗？
五、布置作业，巩固提升
教材习题A组第1，2题，B组第1，2题.
【教学小结】
【板书设计】
5.4.1 和、差、倍、分问题
1.寻找和、差、倍 、分问题中的等量关系
2.列一元一次方程解应用题的步骤
5.4 一元一次方程的应用
第2课时 相遇、工程问题
【教学目标】
1.借助“线段图”分析相遇、工程问题中的数量关系，从而建立方程，解决问题.
2.使学生进一步领会采用代数方法解应用题的优越性.
【重难点】
重点：找等量关系，列出方程解决相遇和工程问题.
难点：找等量关系.
【教学过程设计】
教学过程
设计意图
一、创设情境，导入新课
小红和小华家相距5km，周末两人约好出去玩，两人同时从家里出发，相对而行，小红每小时走3km，小华每小时走2km，问她俩几小时可以碰到？
通过问题引入，激发学生的学习兴趣和探究欲望.
二、师生互动，探究新知
1.找到本题的等量关系：小红所走的路程＋小华所走的路程＝小红家和小华家间的路程.
2.画出线段图.
3.设未知数，列方程.
设两人出发后x h相遇，则根据题意可列出方程为
3x＋2x＝5.
解得x＝1.
答：她们出发后1小时在途中相遇.
解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”，行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度.
关系式：路程＝速度×时间.
相遇问题：①相遇时间×速度和＝路程和； ②S甲＋S乙＝S.
例 一项工作，小李单独做需要6h完成，小王单独做需要9h完成，如果小李先做2h后，再由两人合做，那么还需要几小时才能完成？
分析：如果设还需要两人合做x h才能完成，那么有下面线段图.
解：设两人合做x h才能完成，依题意，得
×2＋(＋)x＝1.
解得x＝.
答：还需要两人合做h才可完成这项工作.
思考：工程问题的基本量是什么？基本关系式呢？
学生交流、讨论.
教师点评.
工程问题中的基本量：工作效率、工作时间、工作总量.
基本关系式：工作总量＝工作效率×工作时间；
工作效率＝工作总量÷工作时间；
工作时间＝工作总量÷工作效率.
这三个量中如果有两个量是已知的或是已设的未知量，则可用它们表示出第三个量.
在有关工程问题中，通常把全部工作量视为“1”，分析这类问题的关键是抓住工作效率做文章.
通过学生自主探索，尝试解决问题，一方面培养学生自主学习的能力，另一方面及时反馈学生对引入问题的理解.
三、运用新知，解决问题
1.教材“试着做做”.
2.教材练习第1，2题.
及时巩固本节课所学的内容.
四、课堂小结，提炼观点
本节课同学们学会了什么？
五、布置作业，巩固提升
教材习题A组第1，2，3题.
【教学小结】
【板书设计】
5.4.2 相遇、工程问题
1.分析相遇、工程问题的数量关系
2.相遇、工程问题的基本量
5.4 一元一次方程的应用
第3课时 经济问题
【教学目标】
1.会根据增长、打折、利率等实际问题中的数量关系，列方程解决问题.
2.培养学生数学建模能力，会画线段.
3.通过列方程解决实际问题，让学生逐步建立方程思想.
【重难点】
重点：弄清增长、利率、打折的含义，根据题中的等量关系列方程解决问题.
难点：找出等量关系列方程.
【教学过程设计】
教学过程
设计意图
一、创设情境，导入新课
引例 周日小丽与妈妈一起来表姐开的服装店玩，表姐指着一件衣服对妈妈说，这件衣服进价100元，加价20%，难卖掉，只好再降20%，亏本了.小丽在一边想，加价20%，又降价20%，应该是不赔不赚才对呀！你说表姐与小丽哪一个说得对呢？
二、师生互动，探究新知
1.教师出示探究题.
某企业2011年的生产总值为95 930万元，比2010年增长了7.3%，2010年该企业的生产总值为多少万元？(精确到1万元)
学生思考讨论交流.
教师总结.
①分析找出本题中的等量关系：原有数量＋增长数量＝现有数量.
②设该企业2011年的生产总值为x万元.
则根据题意，得
x＋x×7.3%＝95 930.
解得x≈89 404.
答：2010年该企业的生产总值为89 404万元.
2.教师出示例题.
某期3年期国债，年利率为5.18%，这期国债发行时，3年期定期存款的年利率为5%.小红的爸爸有一笔钱，如果用来买这期国债比存3年期定期存款到期后可多得利息43.2元，那么这笔钱为多少元？
学生自主探究，完成后交流讨论.
解法一：设这笔钱是x元，依题意，得
x×5.18%×3－x×5%×3＝43.2.
解得x＝8000.
答：这笔钱是8000元.
解法二：设这笔钱是x元，依题意，得
x×5.18%×3＝ x×5%×3＋43.2.
解得x＝8000.
答：这笔钱是8000元.
教师点评总结，以上两种解法是学生从不同的角度对题目的理解，其中等量关系和所列方程都是正确的，所以这两种方法都正确.
经济类问题主要体现在三大类：①销售利润问题；②优惠(促销)问题；③存贷问题.这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情境去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程.
(1)销售利润问题：利润＝销售价(收入)－成本(进价)；利润率＝利润÷成本；实际销售价＝标价×折扣率.
(2)优惠(促销)问题：一般从“什么情况下效果一样”分析起.
(3)存贷问题：利息＝本金×利率×期数；本息和(本利)＝本金＋利息.
本课承上启下，进一步探究用一元一次方程解决生活中的经济问题，引起学生的兴趣，激发学生的探究欲望.
通过实际生活中的实例，用问题的形式来探究新课内容，使学生感受数学来源于生活.
三、运用新知，解决问题
1.你能完成引例中的问题吗？(表姐说得对)
2.教材练习第1，2题.
及时巩固，及时消化本节课所学的内容.
四、课堂小结，提炼观点
同学们，本节课你学会了什么？有哪些收获？还有什么疑问呢？
回顾总结本课所学的主要内容，把零碎的知识系统化，便于学生构建知识体系.
五、布置作业，巩固提升
教材习题A组第1，2题.
【教学小结】
【板书设计】
5.4.3 经济问题
1.分析经济问题中的等量关系
2.根据等量关系列方程
5.4 一元一次方程的应用
第4课时 追及、方案问题
【教学目标】
1.会根据追及、方案问题中的数量关系列方程解问题，熟练掌握一元一次方程的解法.
2.培养学生数学建模能力和分析问题、解决问题的能力.
【重难点】
重点：对追及、方案问题找等量关系，列方程解决问题.
难点：实际问题中如何建立等量关系.
【教学过程设计】
教学过程
设计意图
一、创设情境，导入新课
教师出示问题：
小华每天要在7：50之前赶到离家1000米的学校上课，一天，小华以80米/分的速度出发，5分钟后小华的爸爸发现他忘了带数学书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小华，爸爸用了多长时间追上小华？
今天我们就来探究用一元一次方程解决实际问题.
以问题导入新课，激发学生探索的欲望.
二、师生互动，探究新知
教师出示例4.
某学校七年级学生进行了一次徒步行走活动，带队教师和学生以4km/h的速度从学校出发，20min后，小王骑自行车前去追赶.如果小王以12km/h的速度行驶，那么小王要用多少时间才能追上队伍？此时，队伍已行走了多远？
学生思考讨论、交流解答.
教师总结.
1.本题存在的等量关系：小王骑车行驶的路程＝队伍行走的路程.
2.设小王用xh才能追上队伍，那么小王走的路程是12x，队伍行走的路程是4(＋x).
3.依题意，可列出方程：12x＝4(＋x).
4.解方程，得x＝，所以12x＝12×＝2.
答：小王用h可追上队伍，此时队伍已行走了2km.
注意：在列方程时，要把量的单位化为一致.
追及问题：①同地不同时出发：前者走的路程＝后者走的路程；
②同时不同地出发：前者走的路程＋两者始发距离＝追者走的路程.
教师出示题目.
某农场要对一块麦田施底肥，现有化肥若干千克，如果每公顷施肥400kg，那么余下化肥800kg；如果每公顷施肥500kg，那么缺少化肥300kg，这块麦田是多少公顷？现有化肥多少千克？
学生自主探究，完成后交流讨论.
教师点评、总结.
解：设这块麦田是x公顷.依据题意，可列出方程：
400·x＋800＝500·x－300.
解得x＝11.
所以400·x＋800＝400×11＋800＝5200.
答：这块麦田是11公顷，现有化肥5 200千克.
通过具体问题，引导学生用一次方程来解决，培养学生分析问题、解决问题的能力.
引导学生按一元一次方程的应用题的解题步骤解题.
三、运用新知，解决问题
1.一个旅行团从驻地出发，经2h到达某景区参观，返回时，仍以去时的速度行走，但由于更改路线，比去时多走了6km，因此用了3h才回到驻地.求去时的路程.
解：设去时的路程为xkm.
依据题意，得＝.
解得x＝12.
答：去时的路程是12km.
2.一块长200cm，宽100cm，厚1cm的钢板，经锻压后，宽度不变，长度增加到320cm，锻压后的钢板厚度是多少厘米？
学生独立完成，教师点评.
巩固本节课所学内容，培养学生独立解决问题的能力.
四、课堂小结，提炼观点
说说你这节课的收获，还有什么疑问？
回顾总结.
五、布置作业，巩固提升
教材习题A组第1，2题，B组第1，2题.
【教学小结】
【板书设计】
5.4.4 追及、方案问题
1.分析追及、方案问题中的等量关系
2.根据等量关系列方程
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