1、第8讲 一元二次方程【基础知识】1一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为的形式，如果是非负数，即，用直接开平方求出方程的解.如果n0，则
2、原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式是.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 ；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.4. 一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程的根的判别式为 .（1）0一元二次方程有两个 实
3、数根，即 .（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 .（3）0一元二次方程 实数根.5 一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程有两根分别为，那么 ， .以，为根的一元二次方程是 6易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）凡应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意： 根的判别式； 二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系. 【典例精析】1方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2关于x的一元二次方程中，则一次项系数是 . 3一元二次方程的根是 .4某地2005年外贸收入
4、为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为 .5一元二次方程的根的情况为（）有两个相等的实数根 有两个不相等的实数根 只有一个实数根没有实数根6. 若方程kx26x10有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .7设x1、x2是方程3x24x50的两根,则 ，.x12x22 .例1 当为何值时，方程，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2下列命题： 若，则； 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（） .只有 只有 只有 只有
5、例3菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 .例4 选用合适的方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.例5 已知一元二次方程有一个根为零，求的值.例6.用22长的铁丝，折成一个面积是302的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是322的矩形呢？为什么？ 各地中考数学试题汇编一元二次方程1下列四个说法中，正确的是（） A一元二次方程有实数根； B一元二次方程有实数根； C一元二次方程有实数根； D一元二次方程x2+4x+5=a(a1)有实数根2关于x的方程(a 5)x24x10有实数根，则a满足（）Aa1 Ba1且a5 Ca1且a5
6、 Da53已知方程的两个解分别为、，则的值为（ ）A B C7 D35若a为方程式(x-)2=100的一根，b为方程式(y-4)2=17的一根，且a、b都是正数，则a-b之值为（ ）(A) 5 (B) 6 (C) (D) 10- 6.已知是方程的两根，且，则的值等于（ ）A5 B.5 C.-9 D.97.已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）A B C D8. 一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是()A.3 B.-1 C.-3 D.-29.关于x的一元二次方程x26x2k0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）AkBkCk Dk10.一元二次方
7、程的两根之积是（ ）A-1B-2C1D2 11.方程的估计正确的是 （）ABCD二、填空题1 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 2若一元二次方程x2(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= 3设x1、x2 是一元二次方程x2+4x3=0的两个根，2x1(x22+5x23)+a =2，则a= 4已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程： 5方程 = x 的根是_.方程x+12的解是 的解是 .6已知x=1是一元二次方程的一个根，则的值为 7设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_8已知、是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（
8、-3）（-3）= 9若实数m满足m2m + 1 = 0，则 m4 + m4 = 10已知关于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = 11方程（x1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 三、解答题1解方程：（1） （2）x22x10 （3）2x2-7x+6=0（4） 4已知关于的一元二次方程有两个实数根和（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值5已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1m）xm2 的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值6已知关于x的方程（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
