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第8讲 一元二次方程
【基础知识】
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.
2. 一元二次方程的常用解法：
（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.
（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.
（3）公式法：一元二次方程的求根公式是
.
（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.
3．易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.
（3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
4. 一元二次方程根的判别式：
关于x的一元二次方程的根的判别式为 .
（1）>0一元二次方程有两个 实数根，
即 .
（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 .
（3）<0一元二次方程 实数根.
5． 一元二次方程根与系数的关系
若关于x的一元二次方程有两根分别为，，那么 ， .以，为根的一元二次方程是
6．易错知识辨析：
（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.
（2）凡应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：
① 根的判别式；
② 二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.
【典例精析】
1．方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .
2．关于x的一元二次方程中，则一次项系数是 .
3．一元二次方程的根是 .
4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为 .
5．一元二次方程的根的情况为（ ）
Ａ．有两个相等的实数根 Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根Ｄ．没有实数根
6. 若方程kx2－6x＋1＝0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
7．设x1、x2是方程3x2＋4x－5＝0的两根,则 ，.x12＋x22＝ .
例1 当为何值时，方程，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.
例2下列命题：① 若，则；
② 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
③ 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
④ 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.
其中正确的是（ ） Ａ.只有①②③ Ｂ．只有①③④ Ｃ．只有①④ Ｄ．只有②③④．
例3菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 .
例4 选用合适的方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
例5 已知一元二次方程有一个根为零，求的值.
例6.用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？
各地中考数学试题汇编——一元二次方程
1．下列四个说法中，正确的是（）
A．一元二次方程有实数根； B．一元二次方程有实数根；
C．一元二次方程有实数根； D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根．
2．关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
3．已知方程的两个解分别为、，则的值为（ ）
A． B． C．7 D．3
5．若a为方程式(x-)2=100的一根，b为方程式(y-4)2=17的一根，且a、b都是正数，则a-b之值为（ ）(A) 5 (B) 6 (C) (D) 10-
6.已知是方程的两根，且，则的值等于（ ）A．－5 B.5 C.-9 D.9
7.已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）
A． B． C． D．
8. 一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是( )A.3 B.-1 C.-3 D.-2
9.关于x的一元二次方程x2－6x＋2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）．A．k≤ B．k＜ C．k≥ D．k＞
10.一元二次方程的两根之积是（ ） A．-1 B．-2 C．1 D．2
11.方程的估计正确的是 （）
A． B． C． D．
二、填空题
1． 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 ．
2．若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= ．
3．设x1、x2 是一元二次方程x2+4x－3=0的两个根，2x1(x22+5x2－3)+a =2，则a= ．
4．已知关于的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程： ．
5．方程 = x 的根是_________.方程x+1＝2的解是 ．的解是 .
6．已知x = 1是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
7．设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_．
8．已知α、β是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则代数式（α-3）（β-3）= ．
9．若实数m满足m2－m + 1 = 0，则 m4 + m－4 = ．
10．已知关于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ．
11．方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 ．
三、解答题
1．解方程：
（1） （2）x2－2x－1＝0 （3）2x2-7x+6=0（4）
4．已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．
5．已知关于x的一元二次方程x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．
6．已知关于x的方程．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
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