资源描述
6.8余角和补角
教学目标预定
知识技能
1、理解互为余角、互为补角的概念;
2、在探索中理解余角、补角的性质，并能够
运用其解决特定的数学问题.
过程方法
1、尝试从实际情境中处理信息，在观察、猜想、说明过
程中体会数学思考过程的层次性和表述的严谨性;
2、通过两角度数的特殊值确定两角的关系;
3、几何中数与形的特殊对应关系. 尝试从实际情境中处理信息、形成数学思
情感态度
在共同活动中培养数学兴趣和合作学习能力，在探索过程中形成实事求是的态度和勇于探索的精神.
重 点
余角、补角的概念和性质的应用.
难点估计
特殊图形中的识别与性质应用.
课前准备
教 具
学 具
所需预备知识
课件、三角板
一副三角板、
角度的计算、等式的性质等.
教学流程大致安排
师生互动流程图
活动内容和目的
【活动1】
理解互余、互补的由来
欣赏录像——意大利风景，引出研究课题，抽象出互为余角、互为补角的概念.
【活动2】 练习
加深对互余和互补是两个角的数量关系的理解，能识别、计算和简单应用.
【活动3】
研究余角、补角的性质
通过作图、猜想、论证等数学活动探索、掌握余角、补角的性质.
【活动4】利用所学知识解决特定数学任务
互余、 互补及其性质在特殊位置关系图形中的应用
【活动5】三角板拼接
用三角板构造角的数量关系图形，体会数形的辩证关系.
【活动6】 小结
简要回顾所学知识.
具体教学过程设计：
问题情境与师生活动
设计意图
【活动1】
欣赏录像——意大利风景、建筑，针对比萨斜塔设置问题情境 .
某位游客设计的测量斜塔倾角的方案：
将斜塔看成一条线段OA，在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子B，画出直线OB，想办法测出了
∠AOB=85°
（1）
斜塔OA倾斜了多少度？
（2）
斜塔OA与OB所成的另外
一个角是多少度？
总结互余和互补的概念
2006年的冬季奥运会将在都灵举行，意大利备受关注。比萨斜塔又是学生熟悉的建筑，而且有许多科学渊源，容易激发学生的学习兴趣；
问题情境与师生活动
设计意图
【活动2】
1、下列各角哪些互为余角，哪些互为补角？
2、30°20′的余角和补角分别是多少？
30°20′的余角=90°-30°20′=59°40′.
30°20′的补角=180°-30°20′=149°40′.
若一个角为x度，则它的余角为
（90-x）度，它的补角为（180-x）度
3、一个角的补角比它的2倍多30°，这个角是多少度？
4、一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角. 解：设这个角为x度，则它的余角为
（90-x）度，它的补角为（180-x）度
列方程：3（90-x）=180-x
x=45°
答：这个角为 45°.
此组题就概念进行简单训练.
会识别互余与互补关系.强调互余和互补是一对角的数量关系，与位置无关.
会求一个角的余角和补角.
应用方程思想解决角及其关系角之间的问题.
【活动3】
问题一：
已知锐角∠AOB，试着画出∠AOB的余角
分析：我们可用的作图工
具有圆规、直尺、三角
板、半圆仪，试着选取适当的工具，设计方案.
方案一：可以先度量∠AOB，通过计算得到其余角的度数，再画满足条件的角.
发现：这样画出的余角有无数个，但他们
的度数相同.
方案二：启发学生寻求便捷的途径：
让三角板的直角顶点与角的
顶点重合，一条直角边与角
的一边重合，画出想求做的
角 .（在数量上满足两角互
余的前提下有一条公共边）
这是一个开放性的问题，培养发散性思维和解决问题的灵活性、便捷性；可以帮助学生理解互余的概念，在解决问题的过程中提升创造能力， 并从中发现互余、互补的性质.
问题情境与师生活动
设计意图
问题二：
∠1=∠2，∠3与∠1互余，∠4与∠2互
余，猜一猜∠3与∠4 是什么关系？
根据概念∠3=90°-∠1 ∠4=90°-∠2
而∠1=∠2，则由等式的性质有
90°-∠1 = 90°-∠2，即∠3=∠4
结论：同角（等角）的余角相等.
同样：同角（等角）的补角相等.
【活动4】
在下列图形中找特殊的数量关系：
练习互余、 互补及其性质在特殊位置关系图形中的应用
【活动5】
上一个图形是由如下 的三角板模型抽象而
来的. 一副三角板本身就蕴含着相等和互余，用一副三角板还能构造出其它一些图形，其中蕴含着相等、互余或者是互补的角，请大家动手尝试，构造设计一些这样的图形.
例如：
A
O
C
B
2
3
图中∠1=∠2，甚至进
而研究∠3与∠COB
什么关系？引导学生讨
论尝试多种解决方案：
三角板问题是今后学习中,几何情境设置的常用素材.此活动能锻炼学生灵活解决问题的能力。引导学生利用三角板构造满足互余情况的特殊位置关系的图形，了解特殊位置关系与特殊数量关系的对应.
问题情境与师生活动
设计意图
如直观说明：反向延长OB，找到∠3的等角，它与∠COB构成平角，因此∠3与∠COB互补.
再如理论推导：
引导学生在隐藏的图形中寻求度数的特殊值,从而确定关系.进而能够利用现有的工具构造这样的图形.这些图形是后继内容的基本形.
【活动6】
师生小结本结要点：
互余、互补的概念；余角、补角的性质；几个探索出的规律；关注学生的感受.
体会互余、互补是特殊的数量关系，它在特殊位置关系的图形中有着广泛的应用
教学效果评价设计：
为了综合考察学生的基本技能和能力水平，让不同层次的学生都有展示的机会，设计了一道多步骤评价方案：
（1）一个角的补角是它的余角4倍，求这个角
（2）画出这个角∠AOB
（3）想办法画一个角，使它等于∠AOB（也是教学环节的延伸）
结果预想：因为学生基础比较扎实，所以前两个问题属于最基本问题。第
一问经过课堂教学的几个练习，每个学生 都应该知道解决的方法，即便掌握的不牢固，也可通过复习重新理解、解决；第二问在第一问基础上用半圆仪和直尺就能画出；而第三问虽然不难，但做法上有灵活性，而且能体现出学生对本节知识的理解应用水平。大致学生的思路应该有度量法、尺规作图、同角的余角相等、同角的补角相等。而后两种思路的具体操作由于构造形式不唯一、作图工具不唯一又具有多样性。仅举几例的示意图：
结果分析：第一题采用方程的思想来解决，在学生设未知数，表示余角和补角的过程中就能测评出学生对概念的理解，解题过程体现出对方程思想的领会运用程度；想到借助于同一个角的余角和补角的关系就更可贵；根据情况可分为了解、会用、灵活运用几等。而后两个问题通过学生作图方法的多少就能考察出学生是否有学以致用的意识，和应用的熟练灵活程度；根据情况可分为能画出、能多种方法画出和能把握实质灵活画出几等。通过学生的反馈我们就可以分析出课堂环节设置的是否合理，每一环节是否落实，哪里值得借鉴，哪里需要完善。
点 评：
“余角和补角”是一节探究性活动课，采用了“提出问题——猜想结论——验证结论——应用结论”这样一个基本模式，课堂设计流畅，学生充分思考、活动，课堂气氛活跃。
（一）创设情境，引入概念。
以往在教授这一课时，教师往往平铺直叙的引入余角、补角概念，而王靓老师通过比萨斜塔这一学生熟知的著名建筑引出概念，不但使学生能充分理解概念，并且可以充分引起学生的有意注意，一下子把学生吸引到课堂上来。
（二）落实双基
做课不仅是一种展示，更重要的是让学生掌握必要的知识。活动二的设计充分体现了这一点，并且在解题过程中渗透了方程思想的应用，既是对上一章知识的应用和巩固，也为今后的学习打下基础。
（三）活动设计，训练学生灵活解题能力。
活动五的设计引导学生利用三角板构造满足互余情况的特殊位置关系的图形，了解特殊位置关系与特殊数量关系的对应，在活动中充分运用新学的知识，培养学生的创造性和探索精神，充分调动了学生积极思考。
（四）评价方案设计合理,具有综合性
为了综合考察学生的基本技能和能力水平，让不同层次的学生都有展示的机会，设计了一道多步骤评价方案,通过此问题既能检验学生上课的质量,同时也给学有余力的学生提供了一个提高的机会。
整节课一气呵成，达到了提高学生素质及培养学习几何兴趣的目的，也使学生看到了数学来源于生活、应用于生活的实质。
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