九年级数学上册 22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割教案2 （新版）沪科版-（新版）沪科版初中九年级上册数学教案.doc

22.1 比例线段
第3课时 比例的性质与黄金分割
教学目标
【知识与技能】
1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.
2.会辨认比例式中的“项”.
3.会求常见图形中的线段比.
4.会进行黄金分割的有关计算.
【过程与方法】
1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.
2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.
3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.
【情感、态度与价值观】
在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.
重点难点
【重点】
比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.
【难点】
比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.
教学过程
一、复习回顾,引入新课
师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?
学生作图后测量并求出比值.
师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
二、探究新知
师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?
生:两边同乘以bd,得到ad=bc.
师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?
生:能,两边同除以bd.
师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.
教师多媒体课件出示:

师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?
学生思考,讨论.
师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?
生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.
师:现在就请同学们算一下是否相等.
学生计算后回答:相等.
师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?
学生思考,讨论.
生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.
师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?
教师提示:我们可以倒着推:
要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?
学生思考后回答:能.
师:怎么证明?
生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.
师:现在你知道怎么证明=了吗?
生:知道了.
师:请同学们想想有没有其他的证法?
学生思考.
教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?
学生思考,讨论.
师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?
生:能.
师:怎样表示?
生:a1=b1k,a2=b2k.
师:你知道怎样证明了吗?
生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.
师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?
学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.
生1板书:
证明:∵=(已知),
两边同乘以得
=.
∴=(合比性质).
两边同乘以得
=.
两边取倒数,得=,
即=.
生2板书:设==k,得
a1=b1k,a2=b2k,代入得
===k=.
师:你能总结一下以上两种方法吗?
生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.
师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+bn≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?
生:能.
教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.
师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+bn≠0,那么=.
三、例题讲解
【例1】　已知:如图,在△ABC中,=.

师:请同学们看这道题.
学生读题思考.
师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.
学生举手.
教师找一生回答第(1)题.
生:因为=,由合比性质得=,即=.
教师找另一生回答第(2)题.
师:你是怎样考虑的呢?
生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.
师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.
学生证明后集体订正.
教师多媒体课件出示:
【例2】　在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?
解:根据题意,得===.
即=.
又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),
∴A'B'+B'C'+A'C'
=12×5 000=60 000(cm)
=600(m).
答:实际△A'B'C'的周长是600 m.
【例3】　如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP的长和的值.

解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),
即x2+ax-a2=0.
解方程,得x=a.
因为线段长度不能是负值,所以取x=a.
即AP=a.
于是==≈0.618.
把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.
四、巩固练习
1.若6x=5y,则x∶y=　　　　. 
【答案】
2.已知ab=cd,则=　　　　. 
【答案】
3.若==,则=　　　　. 
【答案】
4.已知x===,则x的值是　　　　. 
解析:∵x===,
∴a2+ab=bc+c2.　①
b2+bc=a2+ac.　②
ac+c2=ab+b2　③
将③式减去②式得
ab-bc=c2-a2.　④
将②式减去①式得
ac-ab=b2-c2.　⑤
将③式减去①式得
b2-a2=ac-bc.　⑥
由④⑤⑥式都可得出
a+b+c=0.
∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.
∴x====-1.
【答案】-1
5.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为　　　　. 
解析:设AP=x,
∴x2=(x+4)×4,
x2-4x-16=0.
∴x=2±2.
又∵x>0,
∴AP长取2+2.
【答案】2+2
6.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是(　　)
A.AM∶BM=AB∶AM　　　B.AM=AB
C.BM=AB D.AM≈0.618AB
【答案】C
7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.
【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.
又∵y∶z=4∶7,∴z=y.
∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.
五、课堂小结
师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?
学生回答,教师点评.
教学反思
首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.