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七年级数学 因式分解(三)
2．求根法 我们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如
　　f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，
　　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)
　　f(1)=12-3×1+2=0；
　　f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．
　　若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
　　定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2

　　的根，则必有p是a0的约数，q是an的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为an的约数．
　　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
　　例1 分解因式：x3-4x2+6x-4．
　　分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有
　　f(2)=23-4×22+6×2-4=0，
　　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
　　解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
　　原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)
　　　　=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
　　　　=(x-2)(x2-2x+2)．
　　解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

　　所以 原式=(x-2)(x2-2x+2)．
　　说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
　　例2 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．
　　分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±
为：

　　所以，原式有因式9x2-3x-2．
　　解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2
　　　=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)
　　说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

　　可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．
　　总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．
　　3．待定系数法
　　待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
　　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
　　例3 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．
　　分析 由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，
　　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
　　解 设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)
　　=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
　　比较两边对应项的系数，则有

　　解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
　　说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
　　例4 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．
　　分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．
　　解 设
　　原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)
　　　　=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，
　　所以有

　　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　　所以　原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
　　说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
　　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

课堂练习（5）
一、选择题
1. 如果(x-4)(x-a)-1能够等于乘积(x+m)(x+n)(m,n均为整数)，那么a的值等于（ ）。
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

2. 若x,y均为自然数，且x2=y2+1993.则 x 的值是（ ）
（A）994 （B）995 （C）996 （D）997

二、填空题
3. 已知（x+2y-1）是二元二次式3x2+axy+by2+x+9y-4的一个因式，则a=______,b=_______。
4. 若，则 。
5. 分解因式：2x2-5xy-3y2+3x+5y-2=__________________
6. 因式分解：x4+2x2-x+2__________。
7. 已知x2+2x+5是x4+ax2+b的因式，那么a+b的值是_________。
8. 若(x-a)(x-b)-k中含有因式x+b,则k=____________
三、解答题
1.分解因式

2.分解因式

3.因式分解

课堂练习（5）答案
一、选择题
1.解：，
从而
消a，得 ，即，又m，n是整数，所以
或 ，解得，或，于是a=4。
选（B）。

2.解：由(x+y)(x-y)=1993=1只能是x+y=1993,x-y=1,解得x=,选（A）。

二、填空题
3. 解： 因为乘积是3x2+axy+…，它的一个因式是（x+2y-1），所以设另一个因式为（3x+cy+4）则（x+2y-1）（3x+cy+4）=3x2+（6+c）xy+2cy2+x+（8-c）y-4，将这个等式的等号右边与3x2+axy+by2+x+9y-4的对应项系数作比较，依次可得 c=-1，a=5，b=-2。
4. 解：因为

注：用因式分解的方法，凑出这个因子即可。
5. 解：
6. 解：
7. 解：
8. 解：(x-a)(x-b)-k=x2-(a+b)x+ab-b,由题意设它的另一因式为（x+c）,于是
(x-a)(x-b)-k=（x+b）(x+c)=x2+(b+c)x+bc,
所以-(a+b)=b+c
ab=-k=bc,由此可得k=ab-bc=ab+b(a+2b)=2ab+2b2=2b(a+b)

三、解答题
1. 解：用待定系数法，设原式

比较系数，得：
原式
2.解：用求根分解法解，原式

3.令，则原式＝0，所以是原式的一个因式，根据此多项式轮换对称的特点，，均是原式的因式，由于是三元五次齐次轮换对称式，可设为。
因此，原式
令，，，代入上式得 （1）
令，，，代入上式得 （2）
解得，，故原式。

课后网上练习（5）

1.若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1，则k=_______。

2.如果（x-a）（x+2）-1能够分解成两个二项式（x+2）和（x+b）的乘积，那么a=_______，b=__________。
3.可分解成两个有理系数的一个因式，则
4.设是的三次多项式，，求。

课后网上练习（5）答案
1.解: ∵x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1，
∴ x3+3x2-3x+k=x3+x2+2x2+2x-5x-5+5+k
=x2（x+1）+2x（x+1）-5（x+1）+（k+5）
=（x+1）（x2+2x-5）+（k+5）。

2. 解:（x-a）（x+2）-1=（x+3）（x+b）
∴ x2+（2-a）x-2a-1=x2+（3+b）x+3b。
∴ 解得。

3.解：设原式＝，比较系数，得
。
4.解：由于，所以和都是的因式，
设，
，即
，即
解得：，所以