资源描述
一元二次方程
整节课以“一堂课讲述着一个故事，一堂课蕴含着一种思想(助人为乐的思想)，一堂课透视着一个社会热点问题(三农问题)，一堂课解决了一元二次方程的解法及应用，应用中的3类重点问题(面积问题、利润问题、增长率问题)”的思路进行设计．
一、教学目标
1、知识与技能目标
以实际问题为背景线索，能独立回顾一元二次方程的相关知识（主要是一元二次方程的解法与列一元二次方程解应用题），并能进行初步的知识组织，通过相互交流建立一元二次方程的相关知识结构．
2、过程与方法目标
会根据实际问题建立一元二次方程模型并通过解方程解决问题，让学生感受数学源于生活，数学就在我们身边，体会方程模型是描述实际问题中数量关系的重要模型．
3、情感态度与价值观目标
让学生体会关心他人、帮助他人的乐趣，培养学生助人为乐的思想品质．
二、教学重点和难点
1、教学重点
一元二次方程的解法及通过一元二次方程的实际应用活动加深对方程建模的体验
2、教学难点
列一元二次方程解应用题(面积问题、经济问题、增长率问题)的解决
三、教学过程
1．引言——故事的开端
师：3月5日是学雷锋日，3月份是学雷锋月，老师给大家介绍一个人．他叫勤老伯，他勤劳，但缺少文化，想致富，却碰上了一堆的问题……他非常希望同学们能像雷锋一样帮助他，让他走上致富的道路，同学们，你们愿意吗?
【设计意图：通过故事情境，引入新课，来吸引学生，激发学生学习数学的兴趣，提高学生自主学习的积极性．拉近师生间的距离，创建和谐课堂．】
图1
2．问题——故事的发展
问题1 如图1，勤老伯有一块长方形土地，长比宽多12米，面积为640平分米，求这块长方形土地的边长．
(1)你所设的未知数是_________．列出的方程为____________ ___ ．
(2)试用尽可能多的方法解出你所列的方程．
小结1：由上述问题的解决过程能想到一元二次方程的哪些知识和方法?
预设：学生说出解一元二次方程的解法配方法、公式法等及列方程的步骤等．
图2
问题2 为了便于灌溉，他在土地上修筑了两条一样宽的
水渠(如图2所示)，为了使余下部分面积还剩540平方米，水渠
的宽度应为多少?
师：本题为面积问题，阅读题目后，你能找到哪些相关的量和等量关系？说说你的思路和方法．
预设1：学生可以根据面积的特点，应用大长方形的面积减去两个小长方形的面积方法来解决．注意：两个小长方形公共部分减了2次，会出现失误．
师：很好，说说你的分析过程让大家听听，好吗?
生：大长方形的面积是，设水渠的宽为米．两个小长方形的面积分别是与，因为两个小长方形公共部分减了2次，所以要加上，列出方程．
师：很好，思考很全面细致．
预设2：学生可以根据面积的特点，应用平移的思想方法来解决．如图2变化到图3．
师：很好，说说你的分析过程让大家听听，好吗?
生：我们可以将水平方向的水渠向上移，竖直方向的水渠向左移，设水渠的宽为米．则余下部分土地为长米、宽米的长方形(如图3所示)．列出方程．
师：这种方法很有新意，使题目中的等量关系更加直观易得．
(教师板书解题过程)
解：设水渠的宽为米．
根据题意，得
解得，（不合题意，舍去）．
答：水渠的宽为2米．
图2
图3
【设计意图：通过当地农业生产中的一个实际问题情境，引入教材中常规的面积问题，通过对此题的分析和建模来复习解决应用问题的思路和策略．培养了学生学数学、用数学的意识．】
变式1 若设计了如图4所示的水渠，则水渠的宽度又为多少？(只列方程，不求解)
图5
图4
预设：学生类比问题2，可用平移的思想方法来解决，设水渠宽为米，则可得
方．
变式2 若把水渠由直线改为斜线(如图5所示)，那么水渠的宽度又为多少?(直接说出答案．)
（学生合作交流，探讨问题解决的思路和方法)
预设：学生由等底、等高的平行四边形面积相等，得图5平行四边形面积和图2竖直方向的矩形面积相等，故变式2的答案与问题2相同．
师：有了水渠以后，勤老伯的蔬菜长得很好，一年下来，勤老伯收获了大量蔬菜，看着这些蔬菜，勤老伯是又喜又愁，怎么卖才能获得最大利润呢?怎样才能尽快销售出去呢?
【设计意图：通过问题2的变式，来培养学生思维的灵活性和深刻性，同时也揭示了解决这类面积问题的思路和方法．以变式训练的形式对问题进行深入研究，使问题具有层次性和内在的联系，并揭示了解决同类问题的通解和通法，使问题更具一般性，这样的设计能使
学生较自然地参与到问题解决的过程中．】
问题3 勤老伯在该土地上种植蔬菜，喜获丰收，经计算蔬菜成本2元／千克，若以3元／千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，勤老伯决定降价销售．经调查发现，蔬菜每降价0.1元／千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本需要24元．勤老伯要想每天盈利200元，应将每千克蔬菜的售价降低多少钱?
师：本题为利润问题，解题关键是找到表示等量关系的语句，本题表示等量关系的语句是什么呢?
预设：学生找到每天盈利200元．每天盈利=每千克蔬菜的利润×每天售出的蔬菜数量一固定成本．(教师板书解题过程)
解：设应将每千克蔬菜的售价降低元．根据题意，得
解，得 ，．
答：应将每千克蔬菜的售价降低0.2元或0.3元．
师：为使蔬菜尽快销售出去，勤老伯应降价多少元?
预设：通过生活实际情况，蔬菜不能放久，需要学生理解，售价降低越多，日销量越大，故为使蔬菜尽快销售出去，应降价0.3元．
师：买卖蔬菜让勤老伯赚了不少钱，有了钱以后，勤老伯更加信心百倍，他想进一步改进技术，进一步扩大再生产．使蔬菜的利润越来越大，让自己越来越富有……
【设计意图：通过故事情境，引入问题3，使学生学会分析市场经济问题的思路和解决问题的方法．以故事的形式，较自然地引入新问题，使前后问题密切联系，学生很自然地沿着故事深入，较自觉地对新问题展开思考，并解决问题．】
问题4 勤老伯算了算2010年种植蔬菜共获利21600元，他记得自己2008年种植蔬菜时只获利15000元，若从2008年到2010年，每年获利的年增长率相同．
(1)求每年获利的年增长率为多少?
(2)若获利的年增长率继续保持不变，预计2011年勤老伯将获利多少?
师：本题为增长率问题，请同学们自己解答．
(投影学生作业，生生分析)
解：(1)设每年获利的年增长率为．
根据题意，得 ．
解，得 ，（不合题意，舍去）．
所以每年获利的年增长率为20％，2011年获利元．
师：在同学们的帮助下，勤老伯的口袋一年比一年鼓了，那么在帮助勤老伯的同时，同学们的知识是否也充实了不少呢?下面我们就来检验一下．
【设计意图：通过故事情境这一主线，继续引入新问题，通过对问题4的分析和解决，引导学生学会增长率问题的思考方法和思路．在学生的帮助下，勤老伯的收益大增，具有较强的教育意义和感染力．】
师：下面是勤老伯生活致富的一些情境，老师选择几个片段，让我们一起去勤老伯家参观，感受一下．出示勤老伯家的房子的图片，从外面到房间里面的引入，…
3．参观——故事的高潮
练习1 客厅——方程思想
如图6，有一张长方形桌子的桌面长100cm，宽60 cm．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同．求台布的长和宽（精确到1 cm）．
桌面
如图6
解：设各边垂下的长度为cm．
根据题意，得，
化简，得，
解得，（不合题意，舍去）．
所以台布的长约为（cm），宽约为（cm）．
练习2 旅游——分类讨论
大众旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元．勤老伯的所在的社区组织去该风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元．请问这次与勤老伯一起去共有多少人去旅游？
【设计意图：通过参观勤老伯的家的形式完成练习题，碰到的一些数学问题都是在参观中出现的，也使学生意识到数学无处不在，激发学习的内动力．通过针对性练习，巩固和提高学生的应用能力，掌握学生在应用问题解决中所存在的实际问题，通过对练习题的讲评，达到查漏补缺的目的．】
4．小结——做事的结局
师：通过本节课的学习，你有哪些收获?
预设：
生：这节课复习了解一元二次方程的解法．
生：这节课还复习了3类问题：面积问题、利润问题、增长率问题．
……
师：同学们回答的非常好，看来这节课不仅勤老伯丰收了，同学们也“丰收”了，在帮助别人的同时，也帮助了我们自己．
【设计意图：通过对故事的小结，让学生回顾和归纳本节课所学的数学知识和数学方法．通过学生自己归纳和教师点拨的课堂小结，深化了学生的已学知识，提升了学生的思维品质．】
5． 布置作业，巩固提高
板书设计
因式分解法
实际问题
设未知数，列方程
数学问题
解
方程
配方法
公式法
直接开平分法
数学问题的解
实际问题的答案
检 验
四、本节课具有以下特点：
(1)以勤老伯致富的故事为主线体现了课堂的故事性；
(2)以解决3类问题为重点实现了课堂教学的有效性；
(3)以参观勤老伯的家的形式激发了学生解决问题的积极性；
(4)以社会热点问题(三农问题)为背景体现了教学题材的时代性；
(5)以助人为乐为德育目标体现了数学教学的人文性．
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