资源描述
3.1 一元一次方程及其解法
第1课时 一元一次方程
教学目标
【知识与技能】
1.使学生掌握方程的概念、一元一次方程的概念、方程的解.
2.使学生初步了解方程的一般步骤,体会用方程解决问题的优越性.
【过程与方法】
1.经历具体问题的数量关系,形成方程的模型,使学生形成利用方程观察、认识现实世界的意识和能力.
2.经历具体实例的抽象概括过程,进一步培养学生观察、分析、概括和转化的能力.
3.通过分组合作学习活动,学会在活动中与人合作,并能与他人交流思维的过程与结果.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实例抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生实事求是的态度以及善于质疑和独立思考的良好学习习惯.
教学重难点
【重点】方程、一元一次方程、方程的解的概念;以实际问题形成方程的模型、列方程.
【难点】列方程解决实际问题.
教学过程
一、问题展示,引入新课
师:同学们,上新课之前,我们先一起来看这一道题:
一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70km/h,卡车的行驶速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地.A、B两地间的路程是多少?
师:请同学们用算术方法解决这个问题.
学生独立思考后,与大家交流,老师再做简单讲解.
师:如果设A、B两地相距xkm,你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗?
匀速运动中,时间=.根据问题的条件,客车和卡车从A地到B地的行驶时间,可以分别表示为h和h.
因为客车比卡车早1h经过B地,所以比小1,即-=1①
我们已经知道,方程是含有未知数的等式.等式①中的x是未知数,这个等式是一个方程.
(教学过程中对学生的回答,及时给予鼓励和表扬,激发他们对数学的兴趣)
师:以后我们将学习如何解方程求出未知数x,从而得出A、B两地间的路程为420km,同学们,与算术方法相比较,用方程来解决问题具有什么特点?
学生相互交流,说出自己对方程的感受.
教师引出方程的概念.
含有未知数的等式叫做方程.
二、例题讲解
师:下面我们再来一起做几个例题.
【例】 根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?
(2)一台计算机已使用1 700小时,预计每月再使用150小时,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时.
【答案】 (1)设正方形的边长为xcm,列方程得4x=24.
(2)设x月后这台计算机的使用时间已达到2 450小时,那么在x月里这台计算机使用了150x小时,列方程得1 700+150x=2 450.
教师总结:同学们在列方程时,一定要弄清方程两边的代数式所表示的意义,体会列方程所依据的等量关系.
师:上面各方程都含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.那么如何从实际问题中列出方程呢?请同学们总结出列方程的一般步骤.
(学生互相讨论,交流合作)
师:列方程解应用题的一般步骤:
实际问题一元一次方程
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学知识解决实际问题的一种方法.
师:当x=6时,4x的值为多少?
生:24.
师:也就是说x=6是方程4x=24的解.
师总结:解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未值数的值,这个值就是方程的解.
三、巩固练习
1.已知下列方程:(1)3x-2=6 (2)x-1= (3)+1.5x=8 (4)3x2-4x=10 (5)x=0
(6)5x-6y=8 (7)=3.其中是一元一次方程的是 (填序号).
2.下列数中,是方程5x-3=x+1的解的是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
(学生思考,教师提问.)
【答案】 1.(1)(3)(5) 2.C
四、提升练习
1.在参加2004年雅典奥运会的中国代表队中,羽毛球运动员有18人,比跳水运动员的2倍少4人,参加奥运会跳水的运动员有多少人?
2.王玲今年12岁,她爸爸36岁,问再过几年,她爸爸的年龄是她年龄的2倍?
(学生合作、讨论,教师再做讲解)
【答案】 1.11 2.12
五、课堂小结
这一节课你获得了哪些知识?有什么感受?
(教师引导学生一起回顾这节课所学知识,鼓励学生用自己的语言进行回答)
第2课时 等式的性质
教学目标
【知识与技能】
1.理解等式的基本性质.
2.会根据等式的基本性质解方程.
【过程与方法】
经历探索等式的基本性质的过程,培养学生动手的能力以及对数学的兴趣.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实验操作与合作探索的过程,培养学生实事求是的态度.
教学重难点
【重点】等式的基本性质.
【难点】用等式的基本性质解方程.
教学过程
一、温故知新
师:同学们,你们知道什么叫方程吗?方程的解呢?那么什么又是等式?学生回答,教师点评.
二、讲授新课
1.合作探究.
师:像m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2等都是等式.通过下面的实验,我们一起来探究等式的一些性质,同学们看,这是一台天平,请仔细观察实验过程.
请同学们用语言叙述这个实验过程.
生:天平两边分别放入一个铁球和砝码,天平平衡,再在两边都加上相同的木块,天平仍平衡,再拿掉木块天平仍平衡.
师:这位同学回答得完全正确.如果我们把天平看成是等式,那么又会得到什么结论呢?
小组讨论,合作交流.
师:总结得出等式的性质1:等式两边都加上(或减去)同一个数(或整式),结果仍是等式.
师:请同学们继续观察下面的实验.
请同学们用语言表达出这个实验过程.
生:天平两边各放入一个小球和砝码,天平平衡,如果把两边小球和砝码的数量都变成原来的3倍,那么天平仍平衡.
师:与上面一样,如果我们把天平看成是等式,那么又有什么结论呢?
小组讨论,合作交流.
师:我们可以得出等式的性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.
性质3 如果a=b,那么b=a.(对称性)
例如,由-4=x,得x=-4.
性质4 如果a=b,b=c,那么a=c.(传递性)
例如,如果x=3,又y=x,所以y=3.
在解题的过程中,根据等式的这一性质,一个量用与它相等的量代替,简称等量代换.
三、例题讲解
【例】 利用等式的性质解下列方程:
(1)x+7=26;(2)-5x=20;(3)-x-5=4.
分析 要使方程x+7=26转化为x=a的形式,要去掉方程左边的7,因此两边要同时减7,你会类似地思考另外两个方程如何转化为x=a的形式吗?
【答案】 (1)两边同时减7,得x+7-7=26-7,于是x=19.
(2)两边同时除以-5,得=,于是x=-4.
(3)两边同时加5,得-x-5+5=4+5,化简,得-x=9.两边同乘-3,得x=-27.
四、巩固练习
1.下列等式的变形正确的是( )
A.若m=n,则m+2a=n+2a
B.若x=y,则x+a=y-a
C.若x=y,则xm=ym,=
D.若(k2+1)a=-2(k2+1),则a=2
2.利用等式的基本性质解方程:
(1)10x-3=9;(2)5x-2=8;(3)x-1=5.
【答案】 1.A 2.(1)x=1.2 (2)x=2 (3)x=9
五、课堂小结
本节课主要学习了哪些知识?你在探索新知的过程中得到哪些启示?与同伴交流.
第3课时 解一元一次方程
——合并同类项与移项(1)
教学目标
【知识与技能】
理解合并同类项法则,会用合并同类项法则解一元一次方程,并在此基础上探索一元一次方程的一般解法.
【过程与方法】
通过探索合并同类项法则的过程,培养学生观察、思考、归纳的能力,积累数学探究活动的经验.
【情感、态度与价值观】
通过探索合并同类项法则,并进一步探索一元一次方程一般解法的过程,感受数学活动充满创造性,激发学生学习数学的兴趣.
教学重难点
【重点】合并同类项法则的探索及应用.
【难点】合并同类项法则的理解和灵活运用.
教学过程
一、温故知新
1.师:你们知道等式的基本性质是什么吗?
生:性质1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式.
性质2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.
性质3:如果a=b,那么b=a.(对称性)
性质4:如果a=b,b=c,那么a=c.(传递性)
2.利用等式的基本性质解方程:
(1)2x+3=x+4;(2)5x+4=5-3x.
问题展示:
问题1:某校三年共购买计算机140台,去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去年的2倍,前年这个学校购买了多少台计算机?
师:设前年购买计算机x台,那么去年购买计算机多少台?
生:2x.
师:今年购买计算机多少台?
生:4x.
师:题目中的等量关系是什么?
师生共同分析,列出方程:x+2x+4x=140.
用框图表示出解这个方程的具体过程:
x+2x+4x=140
7x=140
x=20
二、例题讲解
【例】 解下列方程:
(1)2x-x=6-8;
(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3.
【答案】 (1)合并同类项,得-x=-2.
系数化为1,得x=4.
(2)合并同类项,得6x=-78.
系数化为1,得x=-13.
三、巩固练习
解下列方程:
1.3x+4x-2x=18-7.
2.y-y+y=×6-1.
【答案】 1.x= 2.y=
四、课堂小结
这节课你学习了哪些知识?获得了哪些经验?
第4课时 解一元一次方程
合并同类项与移项(2)
教学目标
【知识与技能】
使学生掌握移项的概念,并用移项解方程.
【过程与方法】
根据具体问题的数量关系,形成方程模型,使学生形成利用方程的观点认识现实世界的意识和能力.
【情感、态度与价值观】
通过由具体实例的抽象概括的独立思考与合作学习的过程,培养学生实事求是的态度以及善于质疑和独立思考的良好学习习惯..
教学重难点
【重点】移项法则的探索及其应用.
【难点】对移项法则的理解和灵活应用.
教学过程
一、新课引入
师:新课开始之前,我们先来看这样一个问题.
问题展示:
【例1】 把一些图书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺25本,这个班有多少学生?
问题分析:
教师:设这个班有x名学生,如果每人分3本,这批书共 本.
生:(3x+20)本.
师:每人分4本,这批书共 本.
生:(4x-25)本.
师:这批书的总数有几种表示法?它们之间有什么关系?本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢?
学生分组讨论,合作探究,教师总结.
师:我们可以列出方程 3x+20=4x-25
师:我们可以利用等式的性质解这个方程,得3x-4x=-25-20.
师:请同学们仔细观察上面的变形,你发现了什么?
学生分组合作、讨论,教师总结.
师:上面的变形,相当于把原方程左边的20移到右边变成-20,把4x从右边移到左边变成-4x.即时引出移项的概念:把等式一边的某项变号后移到另一边,叫做移项.
教师即时总结并强调移项要变号.
【例2】 解下列方程:
(1)3x+7=32-2x;
(2)x-3=x+1.
【答案】 (1)移项,得3x+2x=32-7.
合并同类项,得5x=25.
系数化为1,得x=5.
(2)移项,得x-x=1+3.
合并同类项,得-x=4.
系数化为1,得x=-8.
【例3】 有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243,…,其中某三个相邻数的和是-1701,这三个数各是多少?
师:同学们这列数的变化规律是什么?
生:前面一个数乘以-3得到后面的数.
师:如果设第一个数是x,那么第二、三个数怎么表示呢?
生:-3x,9x.
师:请同学思考列出方程.
生:x-3x+9x=-1701.
【例4】 某制药厂制造一批药品,如用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200t;如用新工艺,则废水排量比环保限制的最大量少100t.新旧工艺的废水排量之比为2∶5,两种工艺的废水排量各是多少?
分析 因为新旧工艺的废水排量之比为2∶5,所以可设它们分别为2xt和5xt,再根据它们与环保限制的最大量之间的关系列方程.
【答案】 设新、旧工艺的废水排量分别为2xt和5xt.
根据废水排量与环保限制最大量之间的关系,得5x-200=2x+100.
移项,得5x-2x=100+200.
合并同类项,得3x=300.
系数化为1,得x=100.
所以2x=200,5x=500.
答:新、旧工艺产生的废水排量分别为200t和500t.
二、巩固练习
解下列方程:
1.4x-20-x=6x-5-x.
2.32y+1=21y-3y-13.
3.2|x|-1=3-|x|.
【答案】 1.x=- 2.y=-1 3.x=-或
三、课堂小结
学习了移项法则后,你认为用逆运算的方法和用移项的方法解方程哪个更简便?对于解一元一次方程,你有了哪些新的领悟?
第5课时 解一元一次方程
——去括号与去分母(1)
教学目标
【知识与技能】
掌握解含有括号的一元一次方程的方法,能用多种方法灵活地解一元一次方程.
【过程与方法】
经历对一元一次方程解法的探究过程,深入理解等式基本性质在解方程中的作用,学会多角度寻求解决问题的方法.
【情感、态度与价值观】
通过探索含有括号的一元一次方程的解法,体验整体探索思想的意义,培养学生善于观察、总结的良好思维习惯.
教学重难点
【重点】含括号的一元一次方程的解法.
【难点】结合方程的特点选择不同的方法解方程,并解释解法的合理性.
教学过程
一、例题讲解
教师出示例题.
【例1】 解下列方程:
(1)2x-(x+10)=5x+2(x-1);
(2)3x-7(x-1)=3-2(x+3);
(3)2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x).
【答案】 (1)去括号,得2x-x-10=5x+2x-2.
移项,得2x-x-5x-2x=-2+10.
合并同类项,得-6x=8.
系数化为1,得x=-.
(2)去括号,得3x-7x+7=3-2x-6.
移项,得3x-7x+2x=3-6-7.
合并同类项,得-2x=-10.
系数化为1,得x=5.
(3)去括号,得2x-4-12x+3=9-9x.
移项,得2x-12x+9x=9+4-3.
合并同类项,得-x=10.
两边同除以-1,得
x=-10.
注意:(1)用分配律去括号时,不要漏乘括号中的项,并且不要搞错符号;
(2)-x=10不是方程的解,必须把x的系数化为1,才算完成解的过程.
【例2】 一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时;从乙码头返回甲码头逆流行驶,用了2.5小时,已知水流的速度是3千米/小时,求船在静水中的速度.
师:如果设船在静水中的平均速度为x千米/小时,那么请同学们回答下列问题.
船顺流速度为多少?
生甲:(x+3)千米/小时.
师:逆流速度为多少?
生乙:(x-3)千米/小时.
师:那么这个方程的等量关系是什么?
生丙:往返的路程相等.
师生共同探讨,列出方程:2(x+3)=2.5(x-3)
师:下面请一位同学上黑板写出这道题的解题过程.
二、巩固练习
解下列方程:
1.2y+3=8(1-y)-5(y-2).
2.3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3).
【答案】 1.y=1 2.y=8
三、课堂小结
1.本节课主要学习了什么内容?
2.在去括号时应注意什么?
第6课时 解一元一次方程
——去括号与去分母(2)
教学目标
【知识与技能】
会解含分母的一元一次方程,掌握解一元一次方程的基本步骤和方法,能根据方程的特点灵活地选择解法.
【过程与方法】
经历一元一次方程一般解法的探究过程,理解等式基本性质在解方程中的作用,学会通过观察,结合方程的特点选择合理的思考方向进行新知识探索.
【情感、态度与价值观】
通过尝试从不同角度寻求解决问题的方法,体会解决问题策略的多样性;在解一元一次方程的过程中,体验“化归”的思想.
教学重难点
【重点】解一元一次方程的基本步骤和方法.
【难点】含有分母的一元一次方程的解题方法.
教学过程
一、新课引入
师:同学们,我们先来看这样一道题.
教师出示问题:一个数,它的三分之二,它的一半,它的七分之一,它的全部加起来总共是33,求这个数.
师:设这个数为x,那么它的三分之二、二分之一怎么表示?
生:
x+x+x+x=33
解这个方程关键是去分母,那么怎样才能去掉分母?根据是什么?
学生合作探究,尝试去分母,并与同伴交流自己的解法是否正确.
问题解答:根据等式的基本性质2,在方程两边乘以各分母的最小公倍数42,即可将方程化为熟悉的类型.
28x+21x+6x+42x=1386
合并同类项97x=1386
系数化为1,x=
答:所求的数是
师生共同探讨解有分数系数的一元一次方程的步骤.
-2=-
5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
15x+5-20=3x-2-4x-6
15x-3x+4x=-2-6-5+20
16x=7
x=
师:同学们能不能总结解一元一次方程的一般步骤?
学生分组讨论,合作交流.
二、例题讲解
【例】 解下列方程:
(1)-1=2+;
(2)3x+=3-;
(3)x-=-1.
【答案】 (1)去分母(方程两边同时乘4),得2(x+1)-4=8+(2-x).
去括号,得2x+2-4=8+2-x.
移项,得2x+x=8+2-2+4.
合并同类项,得3x=12.
系数化为1,得x=4.
(2)去分母(方程两边同时乘6),得18x+3(x-1)=18-2(2x-1).
去括号,得18x+3x-3=18-4x+2.
移项,得18x+3x+4x=18+2+3.
合并同类项,得25x=23.
系数化为1,得x=.
(3)去分母,得12x-2(10x+1)=3(2x+1)-12.
去括号,得12x-20x-2=6x+3-12.
移项,得12x-20x-6x=3-12+2.
合并同类项,得-14x=-7.
两边同除以-14,得x=.
三、巩固练习
解下列方程:
1.-=1.
2.-3=.
【答案】 1.x=-5 2.x=-
四、课堂小结
下面我们一起来回忆一下解一元一次方程的一般步骤.1.去分母.2.去括号.3.移项.4.合并同类项.5.系数化为1.
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