山东省枣庄市峄城区吴林街道中学八年级数学下册 6.2.2 定义与命题教案 北师大版.doc

6.2.2 定义与命题教案

教学目标：
1．了解命题中的真命题、假命题、公理、定理的含义.
2．能够分清命题的题设和结论.会把命题改写成“如果……，那么……”的形式；能判断命题的真假.
3．培养学生的语言表达能力和培养学生 “举一反三”的能力.
4．通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣.
教学重点与难点：
重点：找出命题的条件（题设）和结论.
难点：找出命题的条件和结论.
教法与学法指导：
引导学生运用类比的数学方法并采用自主探索、合作交流方式，让学生独立思考问题，获取知识，掌握方法，通过适时的引导促使学生积极的开展探究活动来激发学生的思维，通过适当的点拨使学生实现对知识、能力和情感的升华.
课前准备：多媒体课件．
教学过程：
一、温故知新，引入新课
Ⅰ.巧设现实情境，引入课题
师：上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？
生：判断一件事情的句子，叫做命题.
师：好.下面大家来想一想：（出示投影片）
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.
（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等.
（4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形.
（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形.
师：大家读完题后，分组讨论.
生1：这五个命题都是用“如果……，那么……”的形式叙述的.
生2：每个命题都是由已知得到结论.
生3：这五个命题的每个命题都有条件和结论.
师：很好.这节课我们继续来研究命题.
【教师板书课题------6.2定义与命题（2）.】
设计意图：回顾上节知识，为本节课的展开打好基础；另外通过典型的五个命题，让学生发现这些命题有什么共同的结构特征，从而顺利地引出新课．
二、交流讨论，探索新知
师：大家刚才观察到上面的五个命题中，每个命题都有条件（condition）和结论（conclusion）两部分组成.
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
一般地，命题都可以写成“如果……，那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
如：上面的命题（1）中，如果引出的部分“两个三角形的三条边对应相等”是条件，那么引出的部分“这两个三角形全等”是结论.
有些命题没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显.如：“同角的余角相等”，对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式.
如：“同角的余角相等”可以写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”.
注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述，命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述.
做一做（出示投影片）
1.下列各命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a>b,b>c,那么a=c；
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（4）菱形的四条边都相等；
（5）全等三角形的面积相等.
生1：第一个命题的条件是：两个角相等，结论是：它们是对顶角.
生2：第二个命题的条件是：a>b，b>c.结论是：a=c.
生3：第三个命题的条件是：在两个三角形中，有两角和其中一角的对边对应相等.结论是：这两个三角形全等.
生4：第四个命题的条件是：菱形的四条边.结论是：都相等.
生5：生4同学说得不对.这个命题可改写为：如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边都相等.显然，这个命题的条件是：一个四边形是菱形.结论是：这个四边形的四条边都相等.
生6：第五个命题可改写为：如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等.则这个命题的题设是：两个三角形全等.结论是：这两个三角形的面积相等.
师：同学们分析得很好.能够经过分析，准确地找出命题的条件和结论.
师：你能将（3）、（4）、（5）改写成“如果……，那么……”的形式吗？
（学生激情很高，答案不唯一；要注意改写时不要机械地添上“如果”和“那么”，应适当地补充一些修饰语句，使改写后的语句通顺，完整.）
师：接下来我们来思考（出示投影片）
做一做：
2.上述命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？
师：大家思考后，来分组讨论.
生1：第三个、第四个、第五个命题是正确的.第一个、第二个命题是不正确的.
生2：我们讨论的结果是与生1同学的一样.如图，∠1=∠2,从图形中可知∠1与∠2不是对顶角.所以第一个命题：如果两个角相等，那么它们是对顶角是错误的.
生3：第二个命题中的a取6，b取3，c取2，这样可知：a与c是不相等的.所以第二个命题是不正确的.
师：很好.同学们不仅能辨别命题的正确与否，还能举例说明命题的错误.真棒！我们把正确的命题称为真命题（true statement），不正确的命题称为假命题（false statement）.
由大家刚才分析可以知道：要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例（counter example）.
注意：对于假命题并不要求，在题设成立时，结论一定错误.事实上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了.因此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以了.
设计意图：分组交流、讨论、教师引导使得学生形成共识．使学生了解命题有真假之分，并且知道怎样去判断真假命题．在对前面5个命题的真伪进行判断的基础上，大多数学生已经对命题的真假性有了初步的判断，但有部分学生误认为假命题不是命题.
三、学以致用，解决问题
师：那一个正确的命题如何证实呢？大家来想一想：（出示投影片）
如何证实一个命题是真命题呢？
（学生小组交流，选代表回答自己的观点.）
生1：用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法.
生2：这些方法往往并不可靠.
生3：能不能根据已经知道的真命题证实呢？
生4：那已经知道的真命题又是如何证实的？
生5：哦……那可怎么办呢？
……
师：其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（Euclid,公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》（Elements），为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据.其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理（axiom）.除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明（proof）.经过证明的真命题称为定理（theorem）,而证明所需的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面.
《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排.因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作.
生：老师，我知道了，除公理、定义外，其他的真命题必须通过证明才能证实.
师：对，我们这套教材有如下命题作为公理：（出示投影片）
1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
5.三边对应相等的两个三角形全等.
6.全等三角形的对应边相等，对应角相等.
师：同学们来朗读一次.
师：好.除这些以外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.
在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替.如：如果a=b,b=c,那么，a=c,这一性质也看做公理，称为“等量代换”.
注意：（1）公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题.
（2）公理可以作为判定其他命题真假的根据.
师：好，下面我们通过“读一读”来进一步了解《原本》这套书，进而了解数学史.
设计意图：采取教师讲解与学生习读相结合的方式．培养学生公理化思想和方法，养成科学、严谨思维习惯．
四、课堂小结，反思提高
师：从今天的课堂中，你学到了哪些知识？掌握了哪些方法？先想一想，再谈谈自己的收获.
生：本节课我们主要研究了命题的组成及真假.知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成.命题分为真命题和假命题.
生：在辨别真假命题时.注意：假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.
生：我知道应该用本节课谈到的公理来证明一些题.
生：……
师：大家都谈了自己的收获，看来这节课学的不错．下面我们来检测一下，看看哪些同学应用的最好. 继续努力！
设计意图：本环节我鼓励学生畅谈自己学习所得的新知识与个人切身体会，激发学生的学习兴趣与自信心，对学生今后的数学学习会有很大的帮助．
五、快乐套餐，深化提高
A组：
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线平行； B．两直线平行，同旁内角相等
C．两个角相等，这两个角一定是对顶角；D．相等的两个角是平行线所得的内错角
2．下列语句中不是命题的是（ ）
A．延长线段AB； B．自然数也是整数
C．两个锐角的和一定是直角； D．同角的余角相等
3．下列语句中是命题的是（ ）
A．这个问题 B．这只笔是黑色的 C．一定相等 D．画一条线段
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．互补的两个角不能都是锐角； B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥c
C．乘积是1的两个数互为倒数； D．全等三角形的对应角相等
B组：
5．（中考演练）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是菱形； B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形； D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
6．在一次数学竞赛中，A，B，C，D，E五位同学分别得到了前五名（没有并列同一名次的）．关于各人的名次大家作出了下面的猜测：
A说：“第二名是D，第三名是B”． B说：“第二名是C，第四名是E．”
C说：“第一名是E，第五名是A．” D说：“第三名是C，第四名是A．”
E说：“第二名是B，第五名是D．”
结果每人都只猜对了一半，请判断他们的名次如何．
设计意图：通过检测纠错，有针对性的对所学知识进行巩固、落实，对学生存在的问题及时有效的进行反馈，让老师及时、准确的掌握学生的课堂学习效果，为下一节课的学习做好准备.
六、布置作业，课堂延伸
必做题：课本第227页 习题6.3 第1、2题.
选做题：课本第227页 习题6.3 第3、4题.
板书设计:
§6.2 定义与命题 (2)
做一做：
命题：
一般地：命题常写成：“如果……，那么……”
真命题：
假命题：

公理：
定理：

等量代换：
学生板演区

教学反思:
本节课的教学看似很容易，但要让学生真正弄清命题的含义，理清命题的构成并不容易，更多的学生只是能机械地将一个命题改写成“如果……那么……”的形式，往往改写的语句不够通顺、完整。因此，在教学中，进行适当的巩固练习是必要的，但要注意，应允许部分学生在课余时间自行消化。
在探讨命题的结构特征和修改命题形式时，有的学生可能会说出比较幼稚、甚至可笑的语句，尽管如此，也应让学生大胆说出自己的意见，避免学生机械模仿，要允许学生有错误，并能在自行改正错误中调整前进。