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第四章 相似图形
4.1 线段的比
一、教学目标
1.知道线段比的概念.
2.会计算两条线段的比.
3.熟记比例的基本性质，并能进行证明和运用.
二、教学过程
1.两条线段的比的概念
两条线段的比就是两条线段长度的比.
比如：线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗？
不对，因为a、b的长度单位不一致，所以不对.
注意：在量线段时要选用同一个长度单位.
2..例题
在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm、10 cm.
（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？
解：（1）根据题意，得
因此，新安大街的实际长度是
16×9000=144000（cm）,
144000 cm=1440 m;
光华大街的实际长度是
10×9000=90000（cm）
90000 cm=900 m.
（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5
新安大街的实际长度与光华大街的实
际长度之比是144000∶90000=8∶5
由例2的结果可以发现：
三、随堂练习
1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？
解：根据题意，得
矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000
因此，矩形运动场的长是
2×8000=16000（cm）=160（m）
矩形运动场的宽是
1×8000=8000（cm）=80（m）
所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m.
四、活动与探究
为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a（其中a＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a的值.
解：方案（1）：
∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）
∴
解得：a=
方案（2）：
由（*）得
∴x=,a=
方案（3）：
由（*）得
∴y=
且 ∴z=
由=a 得a=
方案（4）：
由（*）得
∴b=
n=1－ m=a2－1
∵m+n=1 ∴1－+a2－1=1
∴a=（负值舍去）
4.2 黄金分割
一、教学目标
明白黄金分割
二、教学过程
如图：点C把线段AB分成两条线段AC和AB，如果=那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。
4.3 形状相同的图形
一、教学目标
在诸多图形中能找出形状相同的图形，并能画形状相同的图形.
二、教学过程
在实际生活和数学学习中，我们常常会看到许多形状相同的图形，请从下图中找出形状相同的图形.
（1）与（3）；（2）与（13）；（4）与（11）；（5）与（10）；（6）、（7）、（8）、（9）分别是形状相同的图形.
三、课堂练习
1.解：（1）在直角坐标系中描出点O（0，0），A（1，2），B（2，4），C（3，2），D（4，0），先用线段顺次连接点O，A，B，C，D，然后用线段连接A，C两点，得到了字母A的图形
（2）填表1如下：
表1
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,y）
O1（0,0）
A1（2,2）
B1（4,4）
C1（6,2）
D1（8,0）
分别连接O1A1，A1B1，B1C1，C1D1，A1C1得下图.
得到的图形还是字母A.
填写表2如下：
表2
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（x,2y）
O2（0,0）
A2（1,4）
B2（2,8）
C2（3,4）
D2（4,0）
连接如下图
所得图形还是字母A.
填写表3如下： 表3
（x,y）
O（0,0）
A（1,2）
B（2,4）
C（3,2）
D（4,0）
（2x,2y）
O3（0,0）
A3（2,4）
B3（4,8）
C3（6,4）
D3（8,0）
连接如下图
得到的图形还是字母A.
（3）在上述所得图形中，第1个图形和第4个图形形状相同.
4.4 相似多边形
一、教学目标
经历探究图形的形状、大小，图形的边、角之间的关系，掌握相似多边形的定义以及相似比，并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形．
二、教学过程
1．探究相似多边形的定义
下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1，它们的形状相同吗？
(1)在上图的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测．
(2)在上图的两个多边形中，相等内角的两边是否成比例？
2．观察下面两组图形，(1)中的两个图形相似吗？为什么？(2)中的两个图形呢？与同伴交流．
2．如果两个多边形不相似，那么它们的各角可能对应相等吗？它们的各边可能对应成比例吗？
(1)中的两个图形不相似．
因为相似形需要满足两个条件，一个是对应角相等，一个是对应边成比例．虽然(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等，所以两个图形不相似．
(2)中的两个图形也不相似．
因为它们的对应边不成比例，所以两个图形不相似．
3．如果两个多边形不相似，那么它们的对应角也可能都相等，如(2)中的两个图形；
如果两个多边形不相似，那么它们的对应边也可能成比例，如(1)中的两个图形对应边成比例，但对应角不相等．
三、活动与探究
纸张的大小
如图，将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折，可以得到矩形纸BCFE，AEML，GMFH，LGPN．
(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗？
(2)在这些矩形中，有成比例的线段吗？
(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗？
解：(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变．
设纸的宽为a，长为a，则
BC＝a，BE＝a
AE＝a，ME＝
MF＝，HF＝a
LG＝a，LN＝
∴ ＝a∶a＝
＝ a∶＝
∶
a∶＝
所以这五个矩形的长与宽的比不改变．
(2)在这些矩形中有成比例的线段．
(3)这些大小不同的矩形都相似．
4.5 相似三角形
一、教学目标
1.掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似.
2.能根据相似比进行计算.
二、教学过程
1.相似三角形的定义及记法
如果△ABC∽△DEF，那么哪些角是对应角？哪些边是对应边？对应角有什么关系？对应边呢？
由前面相似多边形的性质可知，对应角应相等，对应边应成比例.
所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.
.
2.（1）两个全等三角形一定相似吗？为什么？
（2）两个直角三角形一定相似吗？两个等腰直角三角形呢？为什么？
（3）两个等腰三角形一定相似吗？两个等边三角形呢？为什么？
解：（1）两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等，对应角相等，由对应边相等可知对应边一定成比例，且相似比为1，因此满足相似三角形的两个条件，所以两个全等三角形一定相似.
（2）两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形，但也只能确定有一对角即直角相等，其他的两对角可能相等，也可能不相等，对应边也不一定成比例，所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，则∠A=∠B=∠D=∠E=45°，所以有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
再设△ABC中AC=b，△DEF中DF=a，则
AC=BC=b，AB=b
DF=EF=a，DE=a
∴
所以两个等腰直角三角形一定相似.
（3）两个等腰三角形不一定相似.
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等，但另一边不固定，因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，因此不用再去讨论对应角满足什么条件，就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.
两个等边三角形一定相似.
因为等边三角形的各边都相等，各角都等于60度，因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例，所以它们一定相似.
［师］由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.
两个全等三角形一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
两个等边三角形一定相似.
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.
3.例题
1.如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是3.5 cm，求该草坪其他两边的实际长度.
解：草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是2000∶5=400∶1
如果设其他两边的实际长度都是x cm，则
x=3.5×400=1400（cm）=14（m）
所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m .
2.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°，求
（1）∠AED和∠ADE的度数；
（2）DE的长.
解：（1）因为△ABC∽△ADE.
所以由相似三角形对应角相等，得
∠AED=∠ACB=40°
在△ADE中，
∠AED+∠ADE+∠A=180°
即40°+∠ADE+45°=180°,
所以∠ADE=180°－40°－45°=95°.
（2）因为△ABC∽△ADE，所以由相似三角形对应边成比例，得
即
所以 DE==43.75（cm）.
4.6 探索三角形相似的条件
一、教学目标
1.掌握三角形相似的判定方法1.
2.会用相似三角形的判定方法1来证明及计算.
二、教学过程
1.做一做.
（1）画一个△ABC，使得∠BAC=60°，与同伴交流，你们所画的三角形相似吗？
（2）与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α，∠B和∠B′都等于给定的∠β，比较你们画的两个三角形，∠C与∠C′相等吗？对应边的比相等吗？这样的两个三角形相似吗？
改变∠α、∠β的大小，再试一试。
2.例题.
（1）已知△ABC与△A′B′C′中，∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°，这两个三角形相似吗？为什么？
（2）已知一个三角形的两个角分别是70°和65°，你能画一个和这个三角形相似的三角形吗？
解：（1）在△ABC中，
∵∠B=75°，∠C=50°
∴∠A=55°
∴∠B=∠B′,∠A=∠A′
∴△ABC∽△A′B′C′
（2）先任作一条线段BC.
分别以BC为角的顶点，作∠MBC=70°，∠NCB=65°.
BM与CN相交于点A.
则△ABC为与原三角形相似的三角形.
三、课堂练习
1.在△ABC中，
∠A=70°，∠B=60°
∴∠C=50°
∴∠A=∠D，∠C=∠E.
∴△ABC∽△DFE.
2.∵DC∥AB
∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB.
∴△CDO∽△ABO.
3.∵AB⊥AO，DB⊥AB
∴∠A=∠B=90°
∵∠ACO=∠BCD
∴△ACO∽△BCD
∴
即
∴AO=100（m）
所以峡谷的宽AO为100 m.
4.如图.
AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD、BE相交于F，则图中相似三角形共有几对？它们分别是哪些？为什么？
解：图中相似三角形共有六对，它们分别是①△ADC∽△BEC,②△ADC∽△AEF,③△BEC∽△BDF,④△BDF∽△AEF,⑤△BDF∽△ADC,⑥△AEF∽△BEC.
∵AD⊥BC,BE⊥AC
∴∠ADB=∠ADC=∠AEB=∠CEB=90°
（1）在△ADC与△BEC中
∵∠ADC=∠BEC=90°
∠C=∠C
∴△ADC∽ △BEC
（2）在△ADC与△AEF中
∵∠ADC=∠AEF=90°
∠DAC=∠EAF
∴△ADC∽△AEF
（3）在△BEC与△BDF中
∵∠BEC=∠BDF=90°
∠EBC=∠DBF
∴△BEC∽△BDF.
（4）在△BDF和△AEF中
∵∠BDF=∠AEF=90°，
∠BFD=∠AFE
∴△BDF∽△AEF.
（5）由△BEC∽△ADC得
∠DBF=∠DAC
∵∠BDF=∠ADC=90°
∴△BDF∽△ADC
（6）由△BEC∽△ADC，得
∠EBC=∠EAF
∵∠AEF=∠BEC
∴△AEF∽△BEC
4.7 测量旗杆的高度
一、教学目标
1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验．
2．熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理．
二、教学过程
1.新课讲解
好，外边阳光明媚，天公做美，助我们顺利完成我们今天的活动课目——测量旗杆的高度．首先我们应该清楚测量原理．请同学们根据预习与讨论情况分组说明三种测量方法的数学原理．
从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形，即△EAD∽△ABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC＝，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度．
方法2．
利用标杆． 当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时，因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行，过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H，于是得△DHF∽△DGC．
因为可以量得AE、AB，观测者身高AD、标杆长EF，且DH＝AE，DG＝AB
由得GC＝
∴ 旗杆高度BC＝GC＋GB＝GC＋AD．
方法3利用镜子的反射．
这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C′，∵ △EAD∽△EBC′且△EBC′≌△EBC ∴ △EAD∽△EBC，测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得BC＝．
通过下表对照说明测量数据的误差情况，以及测量方法的优劣性．
对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论：
1．测量中允许有正常的误差．我校旗杆高度为20 m，同学们本次测量获得成功．
2．方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确．
3．大家一致认为方法一简单易行，是个好办法．
4．方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力．
5．同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”．有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢！
三、课堂练习
高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m，求该建筑物的高度．
图4-37
分析：画出上述示意图，即可发现：
△ABC∽△A′B′C′ 所以＝
于是得，BC＝＝16 (m)．
即该建筑物的高度是16 m．
4.8 相似多边形的性质
一、教学目标
1相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系.
2.相似多边形的周长比，面积比与相似比的关系.
3.相似多边形的周长比，面积比在实际中的应用.
二、教学过程
1.钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件，如图4－38，图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A′B′C′，CD和C′D′分别是它们的高.
（1）,,各等于多少？
（2）△ABC与△A′B′C′相似吗？如果相似，请说明理由，并指出它们的相似比.
（3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形.
（4）等于多少？你是怎么做的？与同伴交流.
解：（1）===
（2）△ABC∽△A′B′C′
∵==
∴△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3∶4.
（3）△BCD∽△B′C′D′.（△ADC∽△A′D′C′）
∵由△ABC∽△A′B′C′得
∠B=∠B′
∵∠BCD=∠B′C′D′
∴△BCD∽△B′C′D′（同理△ADC∽△A′D′C′）
（4）=
∵△BDC∽△B′D′C′
∴= =
2.已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k.
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线,那么等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？
从刚才的做一做中可知，若△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′是它们的对应高，那么==k.
如图，△ABC∽△A′B′C′，CD、C′D′分别是它们的对应角平分线，那么= =k.
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′,∠ACB=∠A′C′B′
∵CD、C′D′分别是∠ACB、∠A′C′B′的角平分线.
∴∠ACD=∠A′C′D′
∴△ACD∽△A′C′D′
∴= =k.
如下图中，CD、C′D′分别是它们的对应中线，则= =k.
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠A=∠A′，= =k.
∵CD、C′D′分别是中线
∴===k.
∴△ACD∽△A′C′D′
∴= =k.
由此可知相似三角形还有以下性质.
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.
3.例题讲解
如上图所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60 cm,高AD=40 cm，四边形PQRS是正方形.
（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？
（2）求正方形PQRS的边长.
解：（1）△ASR∽△ABC，理由是：
四边形PQRS是正方形SR∥BC
（2）由（1）可知△ASR∽△ABC.
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得
设正方形PQRS的边长为x cm，则AE=（40－x）cm，
所以
解得：
x=24
所以，正方形PQRS的边长为24 cm.
三、课堂练习
如果两个相似三角形对应高的比为4∶5,那么这两个相似三角形的相似比是多少？对应中线的比，对应角平分线的比呢？
（都是4∶5）.
如下图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形.
（2）若AD=9 cm,CD=6 cm,求BD.
（3）若AB=25 cm,BC=15 cm,求BD.
解：（1）∵CD⊥AB
∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°
在△ADC和 △ACB中
∠ADC=∠ACB=90°
∠A=∠A
∴△ADC∽△ACB
同理可知，△CDB∽△ACB
∴△ADC∽△CDB
所以图中有三对相似三角形.
（2）∵△ACD∽△CBD
∴
即
∴BD=4 （cm）
（3）∵△CBD∽△ABC
∴.
∴
∴BD==9 （cm）.
4.9 图形的放大与缩小
一、教学目标
1.复习位似图形定义
2.能利用图形的位似将一个图形放大或缩小.
二、教学过程
请同学们观察下图，要作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1，看一看有几种方法？
橡皮筋法，方格纸放大法，电脑放大在图形外取一点作射线找比例线段也可以作出.
主要是找比例线段得到的是相似图形，对应顶点连线都过一定点，它符合位似图形，得到的一对图形是位似图.
我们今天就利用位似将上面图形放大到要求比例.
图（一）
图（二）
图（一）：在原图上取几个关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线AP，BP，CP，DP，EP，FP，GP，在这些射线上依次取点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，使PA′=2AP，PB′=2BP，PC′=2CP，PD′=2DP，PE′=2EP，PF′=2FP，PG′=2GP；顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合要求的图形.
图（二）：在原图上取关键点A、B、C、D、E、F、G，作射线PA，PB，PC，PD，PE，PF，PG，在这些射线上依次取点A′,B′,C′，D′，E′，F′，G′，使PA=AA′，PB=BB′，PC=CC′，PD=DD′，PE=EE′,PF=FF′，PG=GG′，顺次连接点A′，B′，C′，D′，E′，F′，G′，A′，所得到的图形就是符合条件的图形.
利用位似将图形放大或缩小的作图步骤.
第一步：在原图上选取关键点若干个,并在原图外任取一点P.
第二步：以点P为端点向各关键点作射线.
第三步：分别在射线上取关键点的对应点，满足放缩比例.
第四步：顺次连接截取点.
即可得到符合要求的新图形.
简记方法:
1.选点
2.作射线
3.定对应点
4.连线
三、课堂练习
下列说法正确吗？为什么？
1.分别在△ABC的边AB、AC上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形.
答案：正确
因为AD＜AB,AE＜AC
由△ABC∽△ADE得＜1
所以说△ADE是△ABC缩小后的图形.
如图所示.
2.分别在△ABC的边AB、AC的延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.
答案：正确.
由已知得AD＞AB,AE＞AC
又∵△ABC∽△ADE
＞1
所以说△ADE是△ABC放大后的图形.
如图所示.
3.分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形.
答案：不正确.也可能是缩小后的图形.
如图所示:
四、课后练习
三角形的顶点坐标分别是A（2,2）,B（4,2）,C（6,4）,试将△ABC缩小,使缩小后的△DEF与△ABC对应边比为1∶2.
解：将A（2,2），B（4,2），C（6,4）三点的横坐标、纵坐标都缩小为原来的得D（1,1）, E（2,1）,F（3,2）后,顺次连结D,E,F,D,即可得到缩小后的△DEF.如图所示.
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