资源描述
《28 二次函数与一元二次方程（1）》教学设计
一、学生知识状况分析
学生在上学期已经学习过一元二次方程的知识，之前学习了二次函数的图象和代数表达式的三种表示方法.通过从本节课学习二次函数与一元二次方程之间的关系开始，学生将会对二次函数的“数”和“形”真正开始进行全面、深刻的接触。
二、教学任务分析
本课的具体学习任务：体会二次函数与一元二次方程之间的联系；理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生运用数形结合思想解决问题的能力;本节课的教学目标是：
知识与技能：
过程与方法：
1．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．
2．理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
情感态度与价值观：
1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系；
2．通过探索二次函数与一元二次方程的关系，使学生体会数学的严谨性以及数学结论的确定性。
教学重点：
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，及满足什么条件时方程有两个不等的实根，有两个相等的实根和没有实根
教学难点：
理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标
三、教学过程分析
本节课设计了八个教学环节：课前热身、耐心填一填；用心想一想、马到成功；合作议一议、取长补短；教材题变形、拓展提高；开拓创新、试一试；大胆尝试、练一练；课堂小结；课内外提高、布置作业。
第一环节 课前热身、耐心填一填
活动内容：
1. y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)，y叫做x的__________。它的图象是一条抛物线。它的对称轴是直线x=_____, 顶点坐标是（ ， ）。
2. 二次函数的解析式中的一般式是: y = ax2 + bx +c (a≠0)
顶点式：y = a(x-h)2 + k
交点式：y = a(x-x1)(x-x2)
3. 抛物线y = x2+2x- 4的对称轴是_______, 开口方向是______, 顶点坐标是___________.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3) 与x轴的交点为_______________,与y轴的交点为___________.
5. 已知抛物线与轴交于A(-1, 0) 和(1, 0) ，并经过点M(0,1), 则此抛物线的解析式为_______________ 。
活动目的：
问题的设置从最简单的概念二次函数入手，紧接着从“形”的方面对抛物线图象的最基本性质：开口方向、对称轴的表达式、顶点坐标公式回顾，再从“数”的方面对二次函数解析式的三种表达形式回顾。
第二环节 用心想一想，马到功成
活动内容：1．我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t(s)的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示, 其中h0(m) 是抛出时的高度, v0(m/s)是抛出时的速度. 一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起,小球的高度h(m)与运动时间t (s)的关系如图所示,那么
(1) 图象上每个点的横、纵坐标含义是什么？
(2) h和t的关系式是什么？
（3）小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?与同伴进行交流.
2．分别求出二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴的交点的坐标,并快速作出草图.
思路点拨: 与x轴交点就是求当 y=0 时这个方程的解, 然后写成点的坐标.
y=x-2x+2
y=x-2x+1
y=x+2x
（1）观察下列二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象，每个图象与x 轴有几个交点？
(2) 一元二次方程x2+2x=0, x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程 x2-2x+2=0 有根吗?
(3)说说二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
3．归纳整理:
a.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
1、 有两个交点,
2、 有一个交点,
3、 没有交点.
b.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
c.完成下列表格，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系?
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac ＜0
活动目的：
学生在此认识的基础上，教师再出示第3问，启发学生认识到物体落地表示高度h=0，对应图象上的点纵坐标为零，研究图象与x轴的两个交点，第二个交点的横坐标就是落地时的时间。
随后的三个问题给出从观察图象开始，再用代数方法求三个方程的根，逐步引导学生体会二次函数与一元二次方程的对应关系，这个关系虽然是从最简单的情形入手，即图象与x轴的交点就是一元二次方程根的问题，但只要突破了这一学习难点，学生就会对二次函数与一元二次方程的对应关系恍然大悟，随后的学习他们就会更加有信心和兴趣了。
第三环节 教材题变形，拓展延伸
活动内容：
【例】 一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h=－4.9t2＋19.6t 来表示．其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间．
（1）当t=1时，足球的高度是多少？
（2）t为何值时，h最大？
（3）经过多长时间球落地？
（4）方程－4.9t2＋19.6t =0的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
（5）方程14.7=－4.9t2＋19.6t 的根的实际意义是什么？你能在图上表示吗?
解：（1）t=1时，h=14.7
(2)∵h=－4.9(t-2) 2+19.6 ∴当t=2时，h最大
（3）对于h=－4．9t2＋19．6t 球落地表示h=0
即－4．9t2＋19．6t=0，
解得t1=0（舍去），t2=4 ．
即足球被踢出后经过4s后球落地.
(4)方法一：解方程 0=－4.9t2＋19.6t 得t=0, t=4
根t=0，t=4分别表示足球离开地面和落地的时刻
方法二：直接观察抛物线与直线x轴的交点（0，0），（4，0）即可
图形表示方程的根就是抛物线与x轴的两个交点
(5)方法一：解方程 14.7=－4.9t2＋19.6t 得t=1, t=3
方法二：图象法，过点（0，14.7）作一条与y轴垂直的直线，找到它与抛物线的交点，再分别过交点作x轴的垂线，找出两个垂足的横坐标即可。
表明球被踢出1秒和3秒时，离地面的高度都是14.7秒
活动目的：再次设计一个与教材例题相似的问题情景，给出一个以问题串的形式引导学生逐步深入的思考二次函数与一元二次方程的对应关系。前三问用提问的形式给出，经学生独立思考后答出。
第四环节 开拓创新，试一试
活动内容：
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60cm?你是如何知道的?
活动目的：此环节作为一个练习给出，此处留给学生充分的时间 ，让他们整理自己的认识，首先在学习小组内互相表达，然后在全班发言，虽然问题和前面的比较一样，但由学生自己独立思考，教师要作出及时的肯定评价，这一环节目的是巩固学生对前面知识讲解的理解、消化，并能够清晰、完整的回答出。
第五环节 放开手脚，做一做
活动内容：
例: 已知二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为什么?
错解：由△=（－7）2－4×k×（－7）=49＋28k＞0，
得k＞－ ．
正确解法：此函数为二次函数，∴k≠0，又与x轴有交点，
∴△=（－7）2－4×k×（－7）= 49＋28k≥0，
得k≥－ ，
故k≥－ 且k≠0
点拨：①因为是二次函数，因而k≠0；
②有两个交点，但未点明为两个不同点，所以应为△≥0．
活动目的：对本节知识进行巩固练习，教师带领学生分析题目是描述几何关系的语言，即“形”作为条件，那么我们应该通过什么途径来研究呢？学生自然会想到应转化为代“数”的一面来考虑。使学生更加加深数形结合的思想的运用，熟练对数与形进行转化。在学生高高兴兴作出解答后，教师应关注他们是否考虑学生对两个交点的理解，以及k的取值范围了没有？
第六环节 大胆尝试、练一练
活动内容：
1．抛物线y=-3（x－2）（x＋5）与x轴的交点坐标为 _______
2．抛物线y=x2－2x＋3与两坐标轴交点的个数为 个．
3．抛物线y=2x2＋8x＋m与x轴只有一个交点，则m= ____________
4．二次函数y=kx2＋3x－4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围 ．
5．若a＞0，b＞0，c＞0，△＞0，那么抛物线y=ax2＋bx＋c 经过 象限．
活动目的：用课堂形成性评价方式检查学生本节课的学习效果，学生基本上都能够顺利完成前4个小题的解答，第5小题的综合性非常强。由于是限时训练，学生大多可以得到80分，让他们明白数学的学习是一环紧扣一环的，新旧知识的联系需要及时的复习总结。进一步巩固用“数”研究“形”，用“形”研究“数”是函数学习的两条主线和主要研究方法。
第七环节 归纳小节
活动目的：鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识，是否理解了理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，即何时方程有两个不等的实根，两个相等的实根和没有实根；是否掌握了通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，来讨论一元二次方程的根的情况；是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
四、教学反思
教师在学生讨论时应该参与到学生中去，对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对困难学生的关注等，使每一位同学都能有收获，使小组合作学习更具实效性。
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