八年级数学下：18.4反比例函数（3个课时）教案华东师大版.doc

18.4反比例函数（1）知识技能目标1.理解反比例函数的概念，根据实际问题能列出反比例函数关系式；2.利用正比例函数和反比例函数的概念求解简单的函数式过程性目标1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力； 2.探求反比例函数的求法，发展学生的数学应用能力教学过程一、创设情境两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积一定，这两个数的关系叫做反比例关系二、探究归纳问题1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系分析 和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，就应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时，从家里到镇上的时间是t小时因为在匀速运动中，时间路程速度，所以从这个关系式中发现:1.路程一定时，时间t就是速度v的反比例函数即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大2.自变量v的取值是v0问题2：学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米)与x的函数关系式分析 根据矩形面积可知 xy24，即 从这个关系中发现：1.当矩形的面积一定时，矩形的一边是另一边的反比例函数即矩形的一边长增大了，则另一边减小；若一边减小了，则另一边增大；2.自变量的取值是x0上述两个函数都具有的形式，一般地，形如(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数(proportional function) 说明 1.反比例函数与正比例函数定义相比较，本质上，正比例ykx，即，k是常数，且k0；反比例函数，则xyk，k是常数，且k0可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系2.反比例函数的解析式又可以写成：( k是常数，k0)3.要求出反比例函数的解析式，只要求出k即可三、实践应用例1 下列函数关系中，哪些是反比例函数？(1)已知平行四边形的面积是12cm2，它的一边是acm，这边上的高是hcm，则a与h的函数关系； (2)压强p一定时，压力F与受力面积s的关系；(3)功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系(4)某乡粮食总产量为m吨，那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式分析 确定函数是否为反比例函数，就是看它们的解析式经过整理后是否符合(k是常数，k0)所以此题必须先写出函数解析式，后解答解 (1)，是反比例函数；(2)Fps，是正比例函数；(3)，是反比例函数；(4)，是反比例函数例2 当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式分析 由反比例函数的定义易求出m的值解 由反比例函数的定义可知：2m21，所以反比例函数的解析式为例3 将下列各题中y与x的函数关系与出来(1)，z与x成正比例；(2)y与z成反比例，z与3x成反比例；(3)y与2z成反比例，z与成正比例；解 (1)根据题意，得zkx(k0)把zkx代入，得，即因此y是x的反比例函数(2)根据题意，得(k1，k2均不为0)把代入，得，即因此y是x的正比例函数(3)根据题意，得把，得，即y因此y是x的反比例函数例4 已知y与x2成反比例，并且当x3时，y2求x1.5时y的值分析 因为y与 x2成反比例，所以设，再用待定系数法就可以求出k，进而再求出y的值解 设因为当x3时，y2，所以，k 18当x1.5时，例5 已知yy1y2， y1与x成正比例，y2与x2成反比例，且x2与x3时，y的值都等于19求y与x间的函数关系式分析 y1与x成正比例，则y1k1x，y2与x2成反比例，则，又由yy1y2，可知，只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式解 因为y1与x成正比例，所以 y1k1x；因为y2与x2成反比例，所以 ，而yy1y2，所以 ，当x2与x3时，y的值都等于19所以 解得所以四、交流反思本堂课，我们讨论了具有什么样的函数是反比例函数，一般地，形如(k是常数，k0)的函数叫做反比例函数(proportional function) 要求反比例函数的解析式，可通过待定系数法求出k值，即可确定五、检测反馈1.分别写出下列问题中两个变量间的函数关系式，指出哪些是正比例函数，哪些是反比例函数，哪些既不是正比例函数也不是反比例函数？(1)小红一分钟可以制作2朵花，x分钟可以制作y朵花；(2)体积为100cm3的长方体，高为hcm时，底面积为Scm2；(3)用一根长50cm的铁丝弯成一个矩形，一边长为xcm时，面积为ycm2；(4)小李接到对长为100米的管道进行检修的任务，设每天能完成10米，x天后剩下的未检修的管道长为y米2.已知y与x2成反比例，当x4时，y3，求当x5时，y的值3.已知yy1y2， y1与成正比例，y2与x2成反比例当x1时，y12；当x4时，y7(1)求y与x的函数关系式和x的取范围；(2)当x时，求y的值4.已知一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是ycm，宽是5cm，高是xcm(1)写出用高表示长的函数式；(2)写出自变量x的取值范围；(3)当x3cm时，求y的值5.试用描点作图法画出问题1中函数的图象反比例函数（2）知识技能目标1.理解反比例函数的图象是双曲线,利用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质； 2.利用反比例函数的图象解决有关问题过程性目标1.经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程，会说出它的性质； 2.探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题教学过程一、创设情境上节的练习中，我们画出了问题1中函数的图象，发现它并不是直线那么它是怎么样的曲线呢？本节课，我们就来讨论一般的反比例函数（k是常数，k0）的图象，探究它有什么性质二、探究归纳1.画出函数的图象分析 画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x 0解 1列表：这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值：2.描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系中描出在京各点点(6,1)、(3,2)、(2,3)等3.连线：用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来，得到图象的第一个分支；用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来，得到图象的另一个分支这两个分支合起来，就是反比例函数的图象上述图象，通常称为双曲线(hyperbola)提问 这两条曲线会与x轴、y轴相交吗？为什么？学生试一试：画出反比例函数的图象（学生动手画反比函数图象，进一步掌握画函数图象的步骤）学生讨论、交流以下问题，并将讨论、交流的结果回答问题 1.这个函数的图象在哪两个象限？和函数的图象有什么不同？2.反比例函数(k0)的图象在哪两个象限内？由什么确定？3.联系一次函数的性质，你能否总结出反比例函数中随着自变量x的增加，函数y将怎样变化？有什么规律？反比例函数有下列性质：(1)当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；(2)当k0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加注 1双曲线的两个分支与x轴和y轴没有交点；2双曲线的两个分支关于原点成中心对称以上两点性质在上堂课的问题1和问题2中反映了怎样的实际意义？在问题1中反映了汽车比自行车的速度快，小华乘汽车比骑自行车到镇上的时间少在问题2中反映了在面积一定的情况下,饲养场的一边越长,另一边越小三、实践应用例1 若反比例函数的图象在第二、四象限，求m的值分析 由反比例函数的定义可知： ,又由于图象在二、四象限，所以m10，由这两个条件可解出m的值解 由题意，得 解得例2 已知反比例函数(k0)，当x0时，y随x的增大而增大，求一次函数ykxk的图象经过的象限分析 由于反比例函数(k0)，当x0时，y随x的增大而增大，因此k0，而一次函数ykxk中，k0，可知，图象过二、四象限，又k0，所以直线与y轴的交点在x轴的上方解 因为反比例函数(k0)，当x0时，y随x的增大而增大，所以k0，所以一次函数ykxk的图象经过一、二、四象限例3 已知反比例函数的图象过点(1,2)(1)求这个函数的解析式，并画出图象；(2)若点A(5,m)在图象上，则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上？分析 (1) 反比例函数的图象过点(1,2)，即当x1时，y2由待定系数法可求出反比例函数解析式；再根据解析式，通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象；(2)由点A在反比例函数的图象上，易求出m的值，再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上解 (1)设：反比例函数的解析式为：(k0)而反比例函数的图象过点(1,2)，即当x1时，y2 所以，k2即反比例函数的解析式为：(2)点A(5,m)在反比例函数图象上，所以，点A的坐标为点A关于x轴的对称点不在这个图象上；点A关于y轴的对称点不在这个图象上；点A关于原点的对称点在这个图象上；例4 已知函数为反比例函数(1)求m的值；(2)它的图象在第几象限内？在各象限内，y随x的增大如何变化？(3)当3x时，求此函数的最大值和最小值解 (1)由反比例函数的定义可知： 解得，m2(2)因为20，所以反比例函数的图象在第二、四象限内，在各象限内，y随x的增大而增大(3)因为在第个象限内，y随x的增大而增大，所以当x时，y最大值；当x3时，y最小值所以当3x时，此函数的最大值为8，最小值为例5 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米(1)写出用高表示长的函数关系式；(2)写出自变量x的取值范围；(3)画出函数的图象解 (1)因为1005xy,所以 (2)x0(3)图象如下：说明 由于自变量x0,所以画出的反比例函数的图象只是位于第一象限内的一个分支四、交流反思本节课学习了画反比例函数的图象和探讨了反比例函数的性质1.反比例函数的图象是双曲线(hyperbola) 2.反比例函数有如下性质：(1)当k0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而减少；(2)当k0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而增加五、检测反馈1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象：(1)； (2)2.已知y是x的反比例函数，且当x3时，y8,求：(1)y和x的函数关系式；(2)当时，y的值；(3)当x取何值时，?3.若反比例函数的图象在所在象限内，y随x的增大而增大，求n的值4.已知反比例函数经过点A(2,m)和B(n,2n)，求：(1)m和n的值；(2)若图象上有两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，且x10 x2，试比较y1和 y2的大小反比例函数(3)知识技能目标1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题； 2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题过程性目标1.进一步探求一次函数和反比例函数的性质，感受用待定系数法求函数解析式的方法；2.通过培养学生看图（象）、识图（象）、读图（象）能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题教学过程一、创设情境已知正比例函数yax和反比例函数的图象相交于点(1,2)，求两函数解析式分析 根据题意可作出图象点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把点(1,2)代入正比例函数和反比例函数的解析式中，求出a和b解 因为点(1,2)在正比例函数和反比例函数图象上，把x1，y2分别代入yax和中，得2a，b2所以正比例函数解析式为y2x反比例函数解析式为二、探究归纳 综合运用一次函数和反比例函数的知识解题，一般先根据题意画出图象，借助图象和题目中提供的信息解题 三、实践应用例1 已知直线yxb经过点A(3,0)，并与双曲线的交点为B(2，m)和C，求k、b的值 解 点A(3,0)在直线yxb上，所以03b，b3一次函数的解析式为：yx3又因为点B(2，m)也在直线yx3上，所以m235，即B(2,5)而点B(2,5)又在反比例函数上，所以k2(5)10例2 已知反比例函数的图象与一次函数yk2x1的图象交于A(2,1)(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系分析 (1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上，把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值(2)把点A关于坐标原点的对称点A坐标代入一次函数和反比例函数解析式中，可知A是否在这两个函数图象上解 (1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上，所以k121212 k21，k21所以反比例函数的解析式为：；一次函数解析式为：yx1(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A(2,1)把A点的横坐标代入反比例函数解析式得，所以点A在反比例函数图象上把A点的横坐标代入一次函数解析式得，y213，所以点A不在一次函数图象上例3 已知一次函数ykxb的图象经过点A(0,1)和点B(a,3a),a0，且点B在反比例函数的的图象上(1)求a的值(2)求一次函数的解析式，并画出它的图象(3)利用画出的图象，求当这个一次函数y的值在1y3范围内时，相应的x的取值范围(4)如果P(m,y1)、Q(m1,y2)是这个一次函数图象上的两点，试比较y1与y2的大小分析 (1)由于点A、点B在一次函数图象上，点B在反比例函数图象上，把这些点的坐标代入相应的函数解析式中，可求出k、b和a的值(2)由(1)求出的k、b、a的值，求出函数的解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象(3)和(4)都是利用函数的图象进行解题解 (1)反比例函数的图象过点B(a,3a)，a1，因为a0， 所以a1 a0 B(1,3)又因为一次函数图象过点A(0,1)和点B(1,3)所以解得，即：一次函数的解析式为y2x1(2)一次函数和反比例函数的图象为：(3)从图象上可知，当一次函数y的值在1范围内时，相应的x的值为：1x1(4)从图象可知，y随x的增大而减小，又m1m，所以y1y2。或解：当x1m时，y12m1；当x2m1时，y22(m1)12m1所以y1y2(2m1)(2m1)20，即y1y2。例4 如图，一次函数ykxb的图象与反比例函数的图象交于A、B两点(1)利用图象中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围分析 (1)把A、B两点坐标代入两解析式，即可求得一次函数和反比例函数解析式(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的，一次函数值大于反比例函数值，反映在图象上，自变量取相同的值时，一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标解 (1)观察图象可知，反比例函数的图象过点A(2,1)，m212所以反比例函数的解析式为：又点B(1,a)也在反比例函数图象上，即B(1,2)因为一次函数图象过点A、B所以解得，一次函数解析式为：yx1(2)观察图象可知，当x2或0x1时，一次函数的值大于反比例函数值四、交流反思1综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法2观察图象，把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题五、检测反馈1.已知一次函数ykxb的图象过点A(0,1)和点B(a,3a)(a0)，且点B在反比例函数的图象上，求a及一次函数式 2.已知关于x的一次函数ymx3n和反比例函数图象都经过点(1,2)，求这个一次函数与反比例函数的解析式3.如图，点P是直线与双曲线在第一象限内的一个交点，直线与x轴、y轴的交点分别为A、C，过P作PB垂直于x轴于B，若ABPB9(1)求k的值；(2)求PBC的面积