九年级数学上册 第二章 二次函数 2.4 二次函数的应用 名师教案1 浙教版.doc

2.4二次函数的应用（1）
教学目标：
1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
教学重点和难点：
重点：二次函数在最优化问题中的应用。
难点：从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。
教学方法：启发
教学辅助：投影片
教学过程：
1、求下列二次函数的最大值或最小值：
⑴ y=－x2＋58x－112; ⑵ y=－x2＋4x
解： ⑴配方得： y=－(x－29)2＋729
又因为： －1＜0，则：图像开口向下，
所以：当x=29时，y 达到最大值为729
⑵ －1＜0，
则：图像开口向下，函数有最大值
所以由求最值公式可知，当x=2时， y达到最大值为4.
2、图中所示的二次函数图像的解析式为：
⑴若－3≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）。
⑵又若0≤x≤3，该函数的最大值、最小值分别为（ ）、（ ）。

求函数的最值问题，应注意对称轴是否在自变量的取值范围内。
2、用长为8米的铝合金制成如图窗框，问窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？

解：设窗框的一边长为x米，
则另一边的长为（4－x）米，
又设该窗框的透光面积为y米2，那么：
y= x(4－x)且0＜ x＜4
即：y=－x2＋4x
又有：－1＜0，
则：该函数的图像开口向下，故函数有最大值
而图像的对称轴为直线x=2，且0＜ 2＜4
所以由求最值公式可知，当 x=2时，该函数达到最大值为4.
答：该窗框的宽和高相等，都为2米时透光面积达到最大的4米2
练习感悟:
⑴数据（常量、变量）提取；
⑵自变量、应变量识别；
⑶构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；
⑷利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值。
探究与建模
3.图中窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆,下部分是矩形.如果制作一个窗户边框的材料的总长度为8米,那么如何设计这个窗户边框的尺寸,使透光面积最大?(结果精确到0.01米)

归纳与小结
ü 对问题情景中的数量
（提取常量、变量）关系进行梳理；
ü 用字母（参数）来表示不同数量
（如不同长度的线段）间的大小联系；
ü 建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等）
，解决问题。
变式与拓展
1.如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16米。（P45，第4题）
⑴求截面积S（米2）关于底部宽x（米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？
⑵试问：当底部宽x为几米时，隧道的截面积S最大（结果精确到0.01米）？

2.已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长。
作业
1.教材作业题2、3、5；
2.浙教版配套作业本课时作业