八年级数学 第五章 平面直角坐标系综合解说-北师大版.doc

八年级数学 第五章 平面直角坐标系综合解说
教学目标
1．从事对现实世界中确定位置的现象进行观察、分析、抽象和概括的活动,经历探索图形坐标的变化与图形形状的变化之间关系的过程,进一步发展同学们的数形结合意识、形象思维能力和数学应用能力.
2．认识并能画出平面直角坐标系;在给定的直角坐标系中,会根据坐标描出点的位置,由点的位置写出它的坐标.
3.能在方格纸上建立适当的直角坐标系, 描述物体的位置;能结合具体情景灵活运用多种方式确定物体的位置.
4.在同一直角坐标系中,感受图形变化后的坐标的变化和各点坐标变化后图形的变化.
学法建议
“图形与坐标”是 “空间与图形”的四个重要组成部分之一,它是发展同学们空间观念的重要载体.作为第一、二学段 “图形与位置的发展”,本章是第三学段 “图形与坐标”的主体内容,不仅呈现了 “确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容,而且也从坐标的角度使同学们进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵.同时,本章又是本册第六章 “一次函数”的重要基础.
本章按照先一般,后特殊的编排方式,首先通过丰富多彩、形式多样的确定位置的方式,使同学们感受丰富的确定位置的现实背景;然后让同学们立足于非常实际的背景材料,比较系统的学习平面直角坐标系的有关内容;最后,通过 “直角坐标中的图形”这样一个趣味性较强的话题,将图形坐标的变化与图形形状的变化之间的关系巧妙的结合在一起.
本章力图以现实的题材呈现有关内容,以有趣的、有一定挑战性的问题呈现 “由点找坐标、由坐标确定点的位置、建立简单的平面直角坐标系”等活动,力图反映平面直角坐标系与现实世界的联系,通过 “变化的鱼”呈现在现实生活中大量存在的图形变换,如电视屏幕上的各种画面处理等.对于确定位置的多种方式,本章通过形式多样的题材( “怪兽吃豆” “电影院找座位” “地图上确定城市的位置”等)将现实生活中常用的定位方法呈现在每个同学面前,其中既有反映极坐标思想的定位方法,也有反映直角坐标思想的定位方法
这种呈现方式，一是为了使同学们在相对轻松、有趣的活动中理解坐标思想及其由来,进一步发展同学们的合情推理能力和丰富的情感、态度(尤其是学习数学的兴趣),二是在大量实际运用中掌握确定位置的基本方法,以及平面直角坐标系的基础知识和基本方法.
1．确定位置
教材分析
1. 学习目标与要求
(1)让同学们在现实情境中感受确定物体位置的多种方式、方法.
(2)明确在生活中确定物体位置的方法,并能比较灵活地运用不同的方式确定物体的位置.
(3)建立在方格纸上确定位置的过程,进一步体会平面位置确定的两种主要表达方式.
(4)能反映直角坐标思想的定位方式及用反映极坐标思想的定位方式来确定点的位置.
2.新知识点全解
(1) 在平面上确定物体位置的方式:
在平面上确定物体位置,一般有两种方式一般有两种方式:
①用两个数据a和b记作(a,b),其中a表示排(或经), b表示号(或纬).
②用两个数据a和m,其中a表示方向的角度(方位角), b表示物体离观测点(基点)的距离.
(2)生活中确定位置的其他方法：
例如①多层电影院确定座位位置必须有三个数据(a,b,c),其中a表示层数,b表示排号,c表示座号,即 “a层b排c号”.
②确定小区中住户的位置必须有四个数据,分别为楼号a,单元号b,层数c和住户号d,即“a楼b单元c层d号”.
③区域定位法:绘出所在区域代号,如B3,D5等.
3.课内问题搜索
P124议一议
(1)在只有一层的电影院内,确定一个座位一般需要两个数据── 一个用来确定排,一个用来确定号,如果是多层的电影院,一般还需要另外一个数据──确定位置在几层.前者实际上是平面上的确定位置,平面是二维的,自然需要两个独立的数据,而后者是空间中的确定位置,自然需要三个数据.
(2)在生活中,确定物体的位置的方法很多,如用方位角和距离确定位置,用经纬度确定位置,区域定位法……
P126议一议
(1)这种确定位置的方法属于区域定位法,在本题中 “广州起义烈士陵园”在C4区, “广州火车站”在B3区.
(2)生活中利用类似方法确定位置的实例还很多,如小明住在7号楼1单元3层302号;大树A在水井B的北偏西200,距离2米处.
P128做一做
（1）图①中五角星五个顶点的位置可以表示为(4,2),(10,2),(11,7),(7,10),(3,7)
（2） 图②中五枚棋子的位置可以表示为(5,1),(11,1),(13,7),(9,10),(4,5).
（3）本题可以让学生照图指认.
P129想一想
仅用一个数据不能确定教学楼的位置.
P128做一做
其他几个位置依次是(0,0),(1,0),(3,2),(3,4),(5,4)(5,6),(7,6),(7,8).
典型例题讲解
例1:学习完 “确定位置”一节后,张老师出示了一道题:根据下列条件,能确定位置的是─── .(填序号即可)
(1) 座号是3排6号.
(2) 某城市在东京1180,北纬390.
(3) 家住发展街20号.
(4) A地距B地30千米.
(5)沉船C在海岸观测点A的北偏东400,海岸观测点B的西北方向.
[点拨]解决此类问题,其关键是紧紧抓住平面内确定平面内点的位置的条件不放,并结合生活实践,在理解的基础上去分析和判断.
解: (1),(2),(3)(5).
在平面内,要确定一个点的位置,一般需要两个数据,这两个数据有多种表示方法,如(1)中的╳╳排╳╳号,(2)中在地图上确定国家或城市的经纬度,(3)中的 “发展街”实质上也可看做是一个数据,(5)中由于知道船C相当于每个观测点的方位角,则可知C既在射线AC上,又在射线BC使,两条射线的交点就是沉船C的位置.而对于(4),由于只知 “A地到B地的距离为30千米”这一个数据,故无法确定B的准确位置.
跟踪练习1:确定一个地点的位置,下列说法中正确的是( )
A.偏北200,200米 B.东北方向
C.距此300米 D.距此北300米
例2:如图5-1-1所示是某学校的平面图的一部分,其中A代表音乐楼,B代表实验楼,C代表图书馆,正方形网络中每个小正方形的边长单位为1,试结合图形回答下列问题:
9
8
7
6
5

C

A

1
4
2
3
1
2
3
4
5
6
7
9
8
0

1

B

(1)若用(1,4)表示音乐楼A的位置,那么实验楼B和图书馆C的位置如何表示?
(2)图书馆C在音乐楼A的什么方向上?它到音乐楼A的距离为多少?实验楼B位于音乐楼A的什么方向上?它到音乐楼A有多远?
(3)若在三座楼房之间修三条路AC、AB、BC.
(4)设东北方向为 “+”,东南方向为 “-“ 若B点相当于A点的位置记作(-450,3),则C点相当于A点的位置如何表示?
[点拨]解决此题的关键在于通过网格确定各点的位置以及各点之间的位置关系,特别是方位角和距离应是我们考虑的重点.
解:(1)实验楼B用(4,1)表示;图书馆C用(5,8)表示.
(2)图书馆C在音乐楼A的东北方向(即北偏东450),它到音乐楼A的距离为4;实验楼B位于音乐楼的东南方向(东偏南450),它到音乐楼A的距离为3.
（3） 由图可知:∠CAB=900,所有,三条路AC,BC,AB的长有下列关系:
AC2 +AB2=BC2 .
(4)C点相当于A点的位置可记作(+450, 4).
跟踪练习2:如图5-1-2所示是小明家与周围地区的行走路线示意图,对小明家来说:

①北偏西450的方向上有____个地方,分别是______.
②要想确定电视台的位置,还需要___个数据.
③距小明家300米处有______.
例3:如图5-1-3所示为一公园的平面示意图:A为孔雀园,B为猴山,C为鹦鹉园,D为天鹅园,E为熊猫园,F为狮虎园.现在对孔雀园来说:

(1)猴山在北偏东多少度方向上?要想确定猴山的位置,还需要什么数据?
(2)与孔雀园距离相等的有几个园?它们是什么?
(3)要确定狮虎园的位置需要几个数据?请借助刻度尺、量角器,说出狮虎园距鹦鹉园的位置.
[点拨]在图上我们可以看到线段与水平方向的夹角为300,但它并不代表猴山在孔雀园的北偏东300的方向上,而应在北偏东600的方向,这是因为方位角应是与铅直方向的夹角,同时要想确定猴山的位置还需知道猴山距孔雀园的距离;通过刻度尺的测量可以得到与孔雀园距离相等的园有两个;另外想要确定狮虎园的位置需要两个数据,分别是方位角和距离.
解:( 1)猴山在孔雀园的北偏东600的方向上,要想确定猴山的位置,还需要知道猴山到孔雀园的距离.
(2)与孔雀园距离相等的两个园,它们是A鹦鹉园,B熊猫园.
(3) 要想确定狮虎园的位置需要两个数据,通过测量得出狮虎园在鹦鹉园的方向,距鹦鹉园2厘米.
跟踪练习3:如图5-1-4所示是某野生动物园平面示意图,借助刻度尺,量角器解决下面的问题.
野生动物园平面图
比例尺: 1:10000

①如果用(1,7)表示动物园的大门的位置,那么,金鱼馆、象房的位置如何表示?(3,10)和(8,5)分别表示哪个地点的位置?
②在大门的南偏东400的方向上有什么动物展馆?它到大门的图上距离是多少厘米?实践距离是多少米?
③草兽馆位于大门的什么方向上?它离大门的实际距离是多少?用语言说出草兽馆的位置.
④分别用两种不同的方法说出虎山的位置和猴山的位置.
例4:如图5-1-5,如果用(1,0)表示A点的位置,那么:
(1)(4,2),(5,6)分别表示哪两个点?
(2)图中两点D、E的位置如何表示?

C

D

E

B

A

(5-1-5)
(3)若从点运动到点有这样一条中径:(1,0)→(1,1)→(1,2)→(2,2)→(3,2)→(4,2),你能用同样的方法写出由A点到B点的其他两条路径吗?
[点拨]因为A点的位置是(1,0),由此可以推出A点左边的点的位置是(0,0),那么沿着该点向右移动一格括号内的第一个数字就为1,若向上移动一格括号内的第二个数字就为1,也就是若点左右移动就变化括号内的第一个数字,若上下移动就变化括号内的第二个数字.
解:(1)(4,2)表示B点,(5,6)表示C点.
(2)D点的位置表示为(7,4),E点的位置表示为(8,3).
(3)其他的两条路径表示为:
①(1,0) →(2,0) →(3,0) →(4,0) →(4,1) →(4,2);
②(1,0) →(1,1) →(2,1) →(2,2) →(3,2) →(4,2).
跟踪练习4:如图5-1-6所示,是某城市公园周围街巷的示意图,A点
表示街1与街2的十字路口,B点表示3街与5街的十字路口,如果用(1,2) →(2,2) →(3,2) →(3,3) →(3,4) →(3,5)表示由A到B的一条路径,那么,你能用同样的方式写出由A到B的尽可能近的其他几条路径吗?

过关练习精选
1．选择题
(1)甲看乙的方向为北偏东300,那么乙看甲的方向是( )
A 偏东600 B 南偏西600
C 南偏东300 D 南偏西300
(2)某电影院是具有三层楼座位的大型电影院,小明买了一张该电影院的门票,若他想知道他在哪个位置,需从电影票上找到的相关数据的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(3)排列做操队形时,甲乙丙的位置如图5-1-7所示,甲说,如果我的位置用(0,0)来表示,乙的位置用(2,1)表示,那么丙的位置是( )
A.(5,4) B.(4,5) C.(3,4) D.(4,3)

丙

乙

甲

(5-1-7)
2.填空题
（1）某市大约位于北纬400、东京1130,用一个有序数对表示应是____.(纬度在前)
(2)小明利用office电子表格计算(B,2)到(F,2)的和,其结果应为____.(如图5-1-8)

A
B
C
D
E
F
1
4
6
2
5
9
3
2
2
3
4
5
6
7
3
3
3
5
8
2
6
4
4
2
7
5
10
9
(5-1-8)
(3)如图5-1-9图所示,B港在离A观测站的正北海里处,一艘轮船从B港出发向东匀速航行,观测站第一次测得该船在A地的北偏东300的M处,半小时后又测得该船在A地的北偏东600的N处,则该船的速度为____

3.解答题
(1)如图5-1-10所示,在正方形网格中,
① 设点的位置记作(2,7),试写出点A、B、C、D、E、F、G、N、P、Q各点的位置.
② 若正方形网格中每个小正方形的边长均为a,试判断四边形MNPQ的形状,并求出两个图形的面积.

9
8
7
6
5
3
2
1

Q

M

P

N

4

F

E

G

D

A

C

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

(5-1-10)
（2）如图5-1-11所示,是某公司一周的股票涨跌情况,试结合股市行情表回答下列问题:

①若星期一的股市记作(1,4,5),则星期二、星期三、星期四、星期五的股市应分别记作什么？（6，5，5）是星期几的股市行情？
②在本周内，星期几大股市行情最好？星期几的股市行情最差？

（3）如图5-1-12所示，在东西方向大海岸线上有一海事监测站S，在监测站前方有一 灯塔P，若示意图的比例尺为1：100000，请回答下列问题：
① 监测站测得灯塔P离监测站的距离为2000米，要确定灯塔P大位置还需要什么数据？请借助刻度尺或量角器，补上这个数据,并说明灯塔P的位置.
② 监测站在上午8时观察到北偏东500方向上,有一艘货轮A在向西航行,为确定这时货轮的位置,还需时什么数据?请在示意图上借助刻度尺补上这个数据,并说出在8时该货轮所在的位置.
③ 在8时半监测站发现该货轮已航行到北偏西400,距观测站4000米的位置,请在图上标出这时货轮所在的位置B.
④ 你能否由此知道该货轮航行的速度是每小时多少千米?请借助刻度尺试一试.

能力升华•新中考指向
1.如图所示是某高新技术开发区规划示意图,并将”开发区管理中心”健在A2区内,那么:

A
B
C
1
基因工程研究所

生化制药厂
2
开发区管理中心

3

计算机组装厂
4

电子元件厂

(1) 根据图中所标分别说出:基因工程研究所” “生化制药厂” “电子元件厂” “计算机组装厂”所在的区域.
(2) 计划在A4区内建一个 “软件开发公司”,请在图上相应区内标上该企业名称.
（3） 文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书店西边20m处,玩具店位于书店东边100m处,小明从书店沿街向东走了40m接着又向东走了60m,画出文具店、书店和玩具店的地理位置简图,并标出小明此时的位置.

3.(2005年常德市中考试题)如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°。甲、乙两地间
乙
北
甲
北
同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公
路的走向是南偏西 度。
4.如图，一艘轮船向正东方向航行，上午9时测得它在灯塔P的南偏西30°方向，距离灯塔120海里的M处，上午11时到达这座灯塔的正南方向的N处，则这艘轮船在这段时间内航行的平均速度是 海里／时。
5．在直角坐标系中，A（1，2）点的横坐标乘以－1，纵坐标不变，得到A’点，则A与A’的关系是（ ）
A、关于x轴对称 B、关于y轴对称 C、关于原点对称 D、将A点向x轴负方向平移一个单位

答案与提示
跟踪练习
1.D
2．①2，电视台、超市 ②1 ③学校和影院
3.①金鱼馆位置为(2,5),象房位置是(11,5),(3,10)表示,(8,5)表示熊猫馆.②金鱼馆,约1.7m,170cm.
③草兽阁在大门的北偏东700方向上,离大门510m.
④虎山位置可表示为(10,2)或在大门的南偏东600,离大门距离630m处;猴山的位置可表示为(5,7)或在大门的正东方向240m处.
4.(1,2) →(2,2) →(2,3) →(2,4) →(2,5) →(3,5) 或(1,2) →(1,3) →(2,3) →(2,4) →(2,5) →(3,5) 或(1,2) →(1,3) →(1,4) →(2,4) →(2,5) →(3,5) 或(1,2) →(1,3) →(1,4) →(1,5) →(2,5) →(3,5).
过关练习精选
1.(1)D (2)C (3)D
2.(1)(40,113)
(2)10
(3) 40海里/时
3.(1) ① A(5,1),B(7,2),C(9,1),D(9,3),E(8,4),F(6,4),G(5,3),N(4,6),P(6,7),Q(4,8)
②四边形MNPQ是菱形,依据是:对角线互相垂直平分的四边形是菱形.S四边形MNPQ=4a2,S七边形ABCDEFG=9a2,要注意利用割补法将不规则图形变成规则图形,每个小正方形的面积为a2.
（2）①(2,6),(3,25),(4,5),(5,4);星期六.
②星期二、星期三
解此题时要利用图像的直观性.
(3)①用量角器量得P在对于观察站S的北偏西300方向上,灯塔P的位置在监测站S的北偏西300,距监测站2000m处.
②用刻度尺量得AS长为3cm,即货轮与监测站3000m,上午8时货轮的位置是在监测站的北偏东500方向上离监测站3000m.
③ 8时半货轮位置如图所示的B处.
④ 用刻度尺量得AB长为8cm,即实际距离为5000m.半小时航行5000m,因此该货轮的速度为10km/h.

能力升华•新中考指向
1.(1)基因工程研究所在A1区,生化制药厂在C1区,电子元件厂在B4区,计算机组装厂在C3区.
（2） 见图

A
B
C
1

2

软件开发公司

3

4
新材料研究开发公司

2
小明
.——•———•——————————•—
文具店 书店 玩具店

（4） 48
4.20
5.（－2，2）
课本习题解答
P126随堂练习
先在地图上找到北纬40度的纬线,再寻找东京120度的经线,两条线的交点位置附近即可找到震源位置.
P127习题5.1
1. 先确定北京等四个城市的位置,估计它们的经度.然后,按照要求,在经度或纬度上寻找符合要求的城市.
2. (1)经二纬二在市政府旁边的十字路口.
(2)从 “经四纬十二”到达 “经二纬二”的路线不唯一,除从 “经四纬十二” 经“经四纬二”到达 “经二纬二”外,还有其他的途径.
(3)“省委”位于 “经十路”与 “经八路”之间(图上未标出具体的 “纬度”)
P130随堂练习
1.其他几条路径可以是:( 3,5)→(4,5) →(4,4) →(5,4) →(5,3);(3,5) →(4,5) →(4,4) →(4,3)( →5,3);(3,5) →(3,4)( →4,4)( →5,4) →(5,3);(3,5) →(3,4) →(4,4) →(4,3) →(5,3);(3,5) →(3,4) →(3,3) →(4,3) →(5,3),此外,含回头或绕远走法的路径还有很多.
2.可以设计一个用 “极坐标”思想的方案:以市中心广场为观测点,用方位角、目标到中心广场的距离两个数据描述这个城市主要建筑物的位置.
P131习题5.2
1.可有多种表示方式,既可用反映极坐标思想的定位方式,又可以用反映直角坐标系思想的定位方式.此外,由于学生所选的原点不同,结果也就有所不同,这里不应要求结果的统一性,只要学生的方法合理,就应给予肯定和鼓励.
2.(1) “将”的位置可表示为(5,2), “帅”的位置可表示为(5,10).
(2)其位置为(4,8).

瞭望角
笛卡儿揭榜破题的故事
笛卡儿是法国著名哲学家、数学家、物理学家.他早年就读于拉弗莱什公学时,因孱弱多病,被允许早晨在床上读书,养成了喜欢安静、善于思考的习惯.
1617年5月,法国公爵奥伦治的军队屯住在荷兰南部的布勒达城,刚从大学毕业的笛卡儿正在这支部队从军.一天,他在街头散步,忽听人声喧嚷,不知何事,他上前探询,只见众人正围观一张榜文,议论纷纷,榜文是用荷兰文写的,他看不懂,只好请旁边一位颇有风度的学者翻译成法语.原来榜文的内容是一道几何题,他认真揣摩思索了几个小时,就破解了这道难题.如此奇迹,使那位 “翻译”大吃一惊,并大加赞扬,邀请他到家中叙谈,果然话语投机,遂结为金兰之好.
这位翻译就是当地有名的多特大学的校长毕克门,他为笛卡儿的数学才华感到高兴,但又为他弃学从军感到可惜.他劝笛卡儿,既然在数学方面有如此才能,何不脱离军界,专门学习数学呢?笛卡儿的破题成功,加上毕克门校长的评价赞扬,更加激发了他学习数学的兴趣,从而促使他改变了从军的初志,转向从军探索,并在后来的创造性工作中,将过去对立着的两个研究对象 “数”和 “形”统一起来,他在数学中引入 “变量”,完成了数学史上一相划时代的变革,革命导师恩格斯把它称为数学的转折点,此后,人类进入变量数学阶段.
2.平面直角坐标系
材料分析
1.学习目标与要求
(1)认识并能画出平面直角坐标系
(2)能在方格纸上建立适当的直角坐标系,描述物体的位置,由点的位置写出它的坐标.
(3)在给定的直角坐标系中点的坐标与点的位置的关系,进一步感受坐标轴上点的特点.
(4)经历画出坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程,发展数形结合意识、合作交流意识.
2．新知识点全解
(1)平面直角坐标系:在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系.通常,两条数轴分别置于水平位置与铅直位置,取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x轴或横轴,铅直的数轴叫做y轴或纵轴,它们的公共原点o称为直角坐标系的原点.
在本书及以后,平面直角坐标系也简称直角坐标系.
如图5-2-1所示,在平面直角坐标系内,两条坐标轴将平面分成四个部分:右上部分叫做第一象限,其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限, 第三象限和第四象限.坐标原点、x轴、y轴不属于任何象限,也就是说,坐标平面内的点可以划分为六个区域: x轴、y轴，第一、二、三、四象限。
（2）坐标的意义:对于平面内任意一点P,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数,a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有效实数对(a,b)叫做点P的坐标.
这时的字母a,b表示由点P向两个坐标轴作垂线,垂足在相应坐标轴上对应的实数,它们可正可负.

(5-2-1)

平面中点的坐标是由两个有序的实数组成,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间用 “,”分开.如(-2,3),横坐标为-2,纵坐标为+3,其位置不能颠倒.(-2,3)和(3,-2)是指两个不同的点.
规定原点O的坐标是(0,0).
数轴上的点和实数是一一对应的,同样,坐标平面内的点和有序实数对也是一一对应的,即是说:在坐标平面内的每一个点,都可以找到惟一一对有序实数与它对应;反过来,对于任意一个有序实数对,都可以找到惟一一个点与它对应.因而,在书写点的坐标时,通常是先写点是名称,再接着写坐标.如点P(2,3)就表示点P的坐标是(2,3),坐标是(2,3)的点是P点.
判断点的位置所在象限或坐标轴,主要看这个点的横坐标、纵坐标的符合.如P(2,3)不需描点,就知P在第一象限.
由于点的横坐标或正、或负、或0,因此,将距离换成坐标时要看点所在的位置,千万不要弄错符号.点P(x,y)到x轴的距离为∣y∣,不要误认为∣x∣;点P(x,y)到y轴的距离是∣x∣,不要误认为∣y∣.也就是说,P点到x轴的距离和位置符合作为P点的纵坐标,P点到y轴的距离和位置符合为P点的横坐标.如点A到x轴的距离为3,到y轴的距离为2,若A在第二象限,则A点坐标应记为(-2,3),若不知A所在的象限,则A点就有(-2,3)、(-2,-3)、(2,-3)、(2,3)四种可能的坐标.
3．课内问题探索
P133想一想
(1)线段BC平行于横轴,垂直于纵轴.
(2)线段CE平行于纵轴,垂直于横轴.
(3)坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0;横轴上的点的纵坐标为0,纵轴上的点的横坐标为0.
P133做一做
(1)A(-3,4),B(-6,-2),C(6,-2),D(9,4).
(2)AD、BC分别平行于横轴,A与D,B于C的纵坐标分别相同;由于A与B,C于D的连线与横轴斜交,它们向横轴作垂线,垂足不重合,因此, A与B,C于D的横坐标不同.
P136做一做
答案不惟一,可以说 “像猫脸”等.
P137议一议
MD为坐标原点,以CD所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立直角坐标,答案不惟一.
典型例题讲解
例1:各写出5个满足下列条件的点,并在坐标系中描出它们: (如图5-2-2)

(1)横坐标与纵坐标相等.
(2)横坐标与纵坐标互为相反数.
(3)横坐标与纵坐标的和为5.
观察一下每5个点的位置,有什么特点?
[点拨]有关直角坐标系的概念较多,毋需死记硬背,主要是看到一个概念,脑子里便要能反映出相关的图形.
解:根据题意首先写出满足要求的点:
(1)(1,1),(2,2),(4,4),(-5,-5),(-3,-3)
(2)(1,-1),(3,-3),(6,-6),(7,-7),(-5,5)
(3)(0,5),(1,4),(7,-2),(-1,6),(-3,8)
分别把每组点在直角坐标系中描出来,由图观察得知:每组五个点大体在一条直线上.
跟踪练线习1:如下图所示,点B、D、G、H坐标分别为____,____,_____,____;(1,3),(-4,3),(4,-3),所代表的点分别是____,____,____,____.

例2:如图5-2-4所示,梯形ABCD的上底为4,下底为6,高为3,建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标.

[点拨]解决如此类问题的关键是建立适当的直角坐标系.
解:如上图,以AB的中点O为原点,分别以AB所在的直线和过O点AB的垂线为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,此时O点坐标为(0,0),OA=OB=3,AB点的坐标为A(-3,0),B(3,0),因为高为3,CD长为4,则D,C点坐标为D(-2,3),C(2,3)
说明: (1)A、D在y轴左边,横坐标应为负,(2)本题也可以A为原点AB所在直线为x轴.
跟踪练习2:菱形的边长为5,其中一条对角线长为6,它的对角线与两坐标轴重合,试求菱形各顶点坐标.
例3:如图5-2-5所示,是生物兴趣小组绘制的校园内名贵树木的方位图,为了便于编号准备建立一个适当的直角坐标系,分别写出每棵树的坐标.
[点拨]此类问题方法很多,可根据条件选择尽量使计算方便的坐标系.
解:以旗杆为坐标原点,方格为横线,纵线所在直线为横轴和纵轴,建立直角坐标系,如图所示.那么它们的坐标:银杏树为(4,0),水杉树为(2,1),香椿树为(0,3),樟树为(-2,2),桂花树为(-1,-2),女贞树为(-2,-4),石榴树为(-3,-6),广玉兰为(3,5).

跟踪练习3:如图5-2-6,已知AB两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车在轴上行驶,从原点O出发.求:
(1)汽车行驶到什么点时,离A村最近.
(2)汽车行驶到什么点时,离B村最近.
(3)汽车行驶到什么点时,距离两村的和最短.

例4:数学老师带领数学兴趣小组的同学在操场上做一个寻宝游戏.数学老师对大家说: “我已把某一宝物埋在某一个地里的土里,请大家把这宝物找出来.”然后,老师指着足球门架的两个柱子讲: “已知柱子A和B的坐标是(4,3)和(6,-1),而宝物的地点坐标为(8,8).”请问宝物地点如何去找?请画图说明.

[点拨]解决此类问题的关键是将实际问题数学化,建立数学模型.
解: (1)首先在地面上取某一长度为单位长(如1m)作一个直角三角形CDE(如图5-2-7)使直角边DC=2m,EC=4m.
(2)再在DE或延长线上取F,使DF等于AB的长,并记作FG⊥DC于G.
(3)分别以AB为圆心,FG、DG为半径画弧交于M.
(4) 延长BN到N,使MN=2BM.过N作直线NY垂直于BN就是y轴所在直线.
(5)在BY上截取NO=BM,则O为坐标原点.
(6)过O作直线OX⊥BY.
(7)以ON的长为单位长度,OX,OY为坐标轴建立直角坐标系,即可找到宝物埋藏地点即坐标为(8,8)的点P.

过关练习精选
1.选择题
(1)在直角坐标系中,点P(2x-6,x-5)在第四象限,则x的取值范围是( )
A.3<x<5 B.-3<x<5 C.-5<x<3 D.-5<x<-3
(2)如果边长为2的正方形的两条对角线在两条数轴上,对角线交点与坐标原点重合,那么它的四个顶点的坐标是( )
A.(1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1) B.(0,0),(0,2),(2,2),(2,0)
C.(,0),(0，),(-,0),(0，－)
D.(, ),(-,0),(, ),(0, )
(3)如图5-2-8所示是2003年3月3日出版的《南方周末》报上刊登╳╳市自来水公司年度利润表.观察该图表知,下列说法中错误的是( )
A.1999年的利润比1998年的利润增长-2145.33万元
B.2000年的利润比1999年的利润增长5679.03万元
C.2001年的利润比2000年的利润增长315.57万元
D.2002年的利润比2001年的利润增长-7706.77万元
2002
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
2001
0
-945.20
8336.50
8662.01

4802.80

(5-2-8)
－945.20
2000
1999
2657.47

(4)下列说法正确的个数有( )
①所有x轴上的点关于y轴的对称点都在y轴上;②所有x轴上的点关于原点的对称点的横坐标为0;③所有y轴上的点关于原点的对称点的纵坐标为0;④所有y轴上的点关于x轴的对称点的横坐标为0.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.填空题
(1)如图5-2-9,ABO为等腰直角三角形,斜边AB=4,∠Aox=300,则点A的坐标是___,点B的坐标是___.

(2)已知点P在第二象限,它的横坐标与纵坐标的和为1,点P的坐标是___.(写出符合条件的一个点即可)
(3)若a为整数,M(3a-9,2a-10)在第四象限,则a2+1的值为___.
(4)如果点M((a+b,ab)在第二象限,那么点N(a,b)在第___象限.
3.解答题
(1)已知等边△ABC的两个顶点的坐标为(A-4,0),B(2,0).试求: ①点C的坐标;②△ABC的面积.
(2)如图5-2-10所示,四边形OABC为直角梯形,OA∥BC,BA⊥OA,且OA=10,OC=4,∠AOC=300.求此梯形的顶点B、C的坐标.

(3)已知A(a,3)、B(-4,b),根据下列条件求出a、b的值.
①A、B两点关于y轴对称;
②A、B两点关于原点对称;
③AB∥x轴;
④A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上.

能力升华•新中考指向
1. 在平面直角坐标系中，入射光线经过y轴上点A（0，3），由x轴上点C反射，反射光线经过点B（－3，1），则点C的坐标为＿＿＿＿＿.
2. 已知点A（2，0）、点B（－，0）、点C（0，1），以A、B、C三点为顶点画平行四边形．则第四个顶点不可能