资源描述
21.6 综合与实践 获取最大利润
教学目标：
●知识与技能：
(1).能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题．
(2).由具体到抽象，进一步理解二次函数图象的顶点坐标与函数最大（小）值的关系，并明确当时函数取得最大值，当时函数取得最小值．
●数学思考：
(1).体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．
(2).经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法．
●解决问题：
能将生活中的某些简单实际问题转化为二次函数模型，并能熟练运用二次函数知识解决这些实际生活中的最大（小）值问题．
●情感与态度：
(1).通过对实际生活中最大（小）值问题的探究，认识到二次函数是解决实际问题的重要工具．
(2).积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值．从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．
三、教学重难点
●教学重点：
(1).探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义．
(2).引导学生将简单的实际问题转化为数学问题，并运用二次函数知识求出实际问题的最大（小）值，从而得到解决某些实际生活中最大（小）值问题的思想方法．
●教学难点：
从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题．
四、教学方式：
引导——探究——发现
五、学情分析：
九年级学生已初步掌握函数的基础知识，积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的初步经验．由于年龄特征，他们借助直观图象更容易理解抽象的函数问题．我班学生思维较为活跃，在“引导——探究——发现”式的课堂教学中能积极参与讨论问题,大胆发表自己的见解和看法；但同样也存在审题不仔细、考虑问题不全面等不足．
六、课前准备：
教具：教材，课件，电脑
学具：教材，练习本，铅笔，三角板
七、教学过程：
教学环节
教师活动
学生活动
活动说明
创
设
生
活
情
境
从生活中“T恤衫销售”情景引入“何时获得最大利润”问题．
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．若设销售单价为x（20≤x≤35的整数）元，该商店所获利润为y元．请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？
学生观看情景动画．
用多媒体对教材进行再创造，再现生活中“T恤衫销售”情景，并对教材上的数据进行了修改，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情．
探
索
思
考
探
索
思
考
探
索
思
考
探
索
思
考
1．教师提问：
(1).此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量，哪个是因变量．
(2).销售量可以表示为 ；
销售额（销售总收入）可以表示为 ；
教师进行点评，得出答案，强调结果要化为最简形式.
所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 ；
(3).当销售单价是 元时，可以获得最大利润，最大利润是 元．
在解决第(3)问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义．
2．探索求该二次函数最大值的方法．
教师鼓励学生大胆猜想，发表不同意见．
(1).将a=－200，b=11600，
c=－152000代入顶点坐标公式（）得：
=29．
当x=29时，y的值最大，最大值为16200．
(2).y=-200x2+11600x-152000
=-200(x-29)2+16200．
当x=29时，y的值最大，最大值为16200．
x
y
o
5000
10
20
30
40
10000
15000
y = -200x2+11600x-152000
16200
(29,16200)
(3).如果学生提出利用图象求此二次函数最大值，教师利用多媒体课件作出此二次函数图象：
教师提问：在此函数图象上怎样体现销售单价x为的整数？
x
y
o
5000
10
20
30
40
10000
15000
16200
y = -200x2+11600x-152000
(20≤x≤35)
(29,16200)
教师对学生的回答作出补充或纠正．
教师讲解：我们只是利用此二次函数图象帮助分析，图象上的点并不全满足题意．
x
y
o
5000
10
20
30
40
10000
15000
16200
(29,16200)
y = -200x2+11600x-152000
(20≤x≤35的整数)
教师对这三种求此二次函数最大值的方法都给予肯定（根据学生回答情况调整探索三种方法的顺序）．
学生独立思考回答第(1)问：
销售单价为自变量，所获利润为因变量．
同桌两人在独立思考完成后，通过相互交流结果回答第(2)问，将不同结果写在黑板上.
7600－200x；
7600x－200x2；
学生根据题意，列出此实际问题的函数关系式：
y=-200x2+11600x-152000
(20≤x≤35的整数)
学生观察函数关系式，独立思考后讨论得出“何时获得最大利润”就是求在自变量x (20≤x≤35的整数)取何值时二次函数的y值最大．
学生可能会提出利用顶点坐标公式求y的最大值；
学生也有可能会利用配方法将此二次函数化为顶点式，求y的最大值；
学生还可能提出
画出图象求y的最大值的方法．
学生思考并作出回答：受自变量取值范围的限制，该
题的图象应为二次
函数图象的一部分．
如果学生提到：结合此题的实际背景，销售单价为整数，对应的利润值也为整数，此题的图象应由二次函数图象上一些不连续的点构成．
为了让学生明确研究的是哪两个变量之间的关系，补充第(1)问．
此问建立在学生已有知识基础上,学生回答较为容易,鼓励学生独立思考完成．
第(2)问，为了更容易找到两个变量间的函数关系式，先列代数式，要求学生独立思考完成．然后同桌两人讨论，允许学生间有不同意见．
再让学生列出利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学模型．
使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题．
在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大（小）值的方法．鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法．
由于研究y=x2，y=－x2的最大（小）值时，教材是利用图象让学生分析理解的，因此学生很可能会提到利用图象来求y的最大值的方法．
通过此问题的设置，让学生体会实际问题中自变量通常有取值范围的限制，因此函数图象往往是相应二次函数图象的一部分．
由于结合此题的实际背景，自变量x的取值范围为20≤x≤35的整数，图象应由此二次函数图象上一些不连续的点构成，对于此问题，如果学生提出给予简单讲解，若未提出，则不提此问题．
通过探索求此二次函数最大值方法
的过程，进一步让学生明确此二次函
数的最大值就是顶点的纵坐标值．
问
题
解
决
解决问题：
当销售单价x是 元时，可以获得最大利润y，最大利润y是 元．
学生验证：
根据实际问题的意义，检验自变量的这一取值是否在取值范围内．
当销售单价是29元时，可以获得最大利润是16200元．
让学生明确在运用数学知识解决实际问题时，要注意与实际背景相结合．
通过“提出问题——解决问题”的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函
数是解决实际问题的一类重要数学模型．
归
纳
求
二
次
函
数
最
值
的
一
般
方
法
同学们利用已学过的知识解决了“何时获得最大利润”问题．教师进一步提出：怎样来求一般二次函数的最值呢？
观察y=ax2+bx+c (a<0)的图象
顶点
1
x
y
o
1
x
y
o
1
1
观察y=ax2+bx+c (a<0)的图象
顶点
在此过程中鼓励学生相互补充．
学生观察二次函数图象，验证归纳得出：当a<0时，二次函数最大值是顶点的纵坐标值；当a>0时，二次函数的最小值也是顶点的纵坐标值．
最后归纳出求二次函数最大（小）值的方法：
(1).配方化为顶点式求最大（小）值；
(2).直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；
(3).利用图象找顶点求最大（小）值．
由于前面研究的是a<0的二次函数，因此先观察此类函数图象．
有了a<0的二次函数最大值的验证过程后，学生很容易归纳出a>0的二次函数最小值也是顶点的纵坐标值．
通过对一般二次函数最大（小）值问题的探究归纳，让学生再次明确二次函数的最大（小）值就是顶点的纵坐标值，使学生明确求二次函数最大（小）值的三种方法．
知
识
运
用
知
识
运
用
1．在本章第一节“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x（棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式为，也曾用列表的方法得到一个猜想：当x=10时，橙子的总产量最多．现在请你验证一下你的猜想是否正确．你是怎样做的？与同伴交流．
2．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是15米， AB边为x米，所围成矩形的面积为y平方米．
A
B
C
D
(1).写出y与x的关系式；
(2).利用函数图象描述篱笆所围成的矩形面积与AB的长之间的关系；
(3).当AB为多少米时，可以使篱笆所围成的矩形面积在50平方米以上？结合图象进行分析．
教师利用多媒体展示该二次函数大致图象．
3．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似于一次函数：
y=－x+1000(500≤x≤800，x为整数)．
设公司获得毛利润（毛利润=销售总价－成本总价）为S元．
(1).使用销售单价x表示毛利润S；(2).若你是试销员，要使公司获得最大的毛利润，销售单价应定为多少元？此时最大毛利润是多少元，销售量是多少件？
学生回答：
1．y=-5(x-10)2+
60500,当x=10时，y=60500．
此外，学生还可以利用顶点坐标公式、图象求该二次函数最大值．
2．(1).y=-x2+15x
(0<x<15)
(2).引导学生分析图象得到当x<7.5时，所围成矩形的面积随着AB的增大而增大；当x>7.5时，所围成矩形的面积随着AB的增大而减小．
(3).当5cm < AB < 10cm时，可以使篱笆所围成的矩形面积在50平方米以上．
3．(1)S=-x2+1500x
-500000 (500≤x≤800，x为整数)．
(2).S=-(x-750)2+
62500．
当x=750时，S最大值=62500，此时y=250（件）．
第1题运用求二次函数最大值的方法解决橙子最大产量问题，验证本章第一节所提出的问题中猜想的正确性．
第2题第(2)问，教师利用多媒体课件绘制该二次函数图象，学生利用图象直观分析，体会数形结合的思想方法，再次感受二次函数的最大值是图象顶点的纵坐标值．
第(3)问通过设置由函数值求自变量取值的问题培养学生的逆向思维．
针对我班学生能力较强，思维比较活跃的特点，补充了一题综合利用一次函数和二次函数知识求最大毛利润的练习，进一步培养学生的数学阅读能力和知识综合运用能力．
S与x之间无直接联系，必须通过中间变量y进行代换，因此确定S与x之间的函数关系是解决此题的关键．
知
识
小
结
教师在学生小结的基础上作点评或补充．
1．求二次函数最大（小）值的方法：
(1).利用顶点坐标公式，求最大（小）值；
(2).利用配方化为顶点式，求最大（小）值；
(3).利用图象，找顶点，求最大（小）值．
2．利用二次函数知识解决实际问题的步骤：
建立二次函数模型
实际背景
提出最值问题
求出最值
问题解决
检验结果
使购合理
舍 去
合理
不合理
学生小结求二次函数最大（小）值的方法和利用二次函数知识解决生活中最大（小）值问题的步骤．
通过小结，使学生这节课所学的知识系统化，感性认识上升为理性认
识．
在归纳解题步骤中适当渗透简单的数学建模和算法思想．
（课 外 探 究）
知
识
拓
展
在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm．点P从A点开始沿AB边向B点以每秒1cm的速度运动，点M
从点B开始沿BC边向C点以每秒2cm的速度运动．如果P、M分别同
时从A、B出发，设S表示△ PDM
的面积，x表示运动的时间．
(1).求出S与x之间的函数关系式
及自变量x的取值范围．
(2).求出何时S的值最小，S最小
A
B
C
D
P
M
值为多少？
学生讨论并做出回答：
(1).S=x2-6x+36
(0≤x≤6)．
(2).当时，
有最小值．
为满足不同学生的学习要求设计此题．若时间允许，课堂上完成．若时间不允许，鼓励学生课外探究．
第(2)问涉及到最小值，对本节课
内容进行拓展的同时，为下节课《最大面积是多少》作铺垫．
课后作业
教材60页 随堂练习第1题
习题2．7 第1、2题．
学生完成作业．
巩固课堂知识，提高知识运用的熟练程度．
板书设计：
习题解析：
对各个习题的解答和分析．
何时获得最大利润
1．求二次函数最大（小）值的方法：
学生活动:记录学生讨论结果．
2．利用二次函数知识解决实际问题的步骤：
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