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平方根 教学设计第(二)课时
教学设计思想:
本节内容需两课时讲授;第二课时主要以学生自主学习为主体进行教学,教师首先通过提出问题的方式引导学生思考、交流,从而得出平方根的定义及性质,再通过小组讨论明确算术平方根与平方根的区别和联系.
教学目标
(一)知识与技能
1.叙述平方根的概念、开平方的概念.
2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.
3.进一步明确平方与开方是互为逆运算.
(二)过程与方法
1.加强概念形成过程的教学,让学生不仅掌握概念,而且知晓它的理论数据.
2.提倡学生进行自学,并能与同学互相交流与合作,变学会知识为会学知识.
3.培养学生的求同和求异思维,能从相似的事物中观察到PX 们的共同点和不同点.
(三)情感、态度与价值观
通过学生在学习中互相帮助、相互合作,并能对不同概念进行区分,培养大家的团队精神,以及认真仔细的学习态度,为学生将来走上社会而做准备,使他们能在工作中保持严谨的态度,正确处理好人际关系,成为各方面的佼佼者.
教学重点
1.了解平方根、开平方的概念.
2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.
3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.
教学难点
1.平方根与算术平方根的区别与联系.
2.负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算的原因.
教学方法
讨论比较法.
即主要靠大家讨论得出结论,同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念,还能使学生学得更扎实.
教具准备
投影片.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
上节课我们学习了算术平方根的概念,性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a.则x叫a的算术平方根,记作x=,而且也是非负数,比如正数22=4,则2叫4的算术平方根,4叫2的平方,但是(-2)2=4,则-2叫4的什么根呢?下面我们就来讨论这个问题.
Ⅱ.讲授新课
1.平方根、开平方的概念
[师]请大家先思考两个问题.
(1)9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9,还有其他的数,它的平方也是9吗?
(2)平方等于的数有几个?平方等于0.64的数呢?
[生]-3的平方也是9.
的平方是,-的平方也是,即平方等于的数有两个.
[生]平方等于9的数有两个,平方等于的数有两个,由此可知平方等于0.64的数也有两个.
[师]根据上一节课的内容,我们知道了是9的算术平方根,是的算术平方根,那么-3,-叫9、的什么根呢?请大家认真看书后回答.
[生]-3,-分别叫9、的平方根.
[师]那是不是说3叫9的算术平方根,-3也叫9的算术平方根,即9的算术平方根有一个是3,另一个是-3呢?
[生]不对.根据平方根的定义,一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个x就叫a的平方根(square root),也叫二次方根,3和-3的平方都等于9,由定义可知3和-3都是9的平方根,即9的平方根有两个3和-3,9的算术平方根只有一个是3.
[师]由平方根和算术平方根的定义,大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢?请分小组讨论后选代表回答.
[生]平方根的定义中是有一个数x的平方等于a,则x叫a的平方根,x没有肯定是正数还是负数或零;而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a,则x叫a的算术平方根,这里的x只能是正数.由此看来都有x2=a,这是它们的相同之处,而x的要求不同,这是它们的不同之处.
[师]这位同学分析判断能力特棒,下面我再详细作一总结.
平方根与算术平方根的联系与区别
联系:
(1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.
(2)存在条件相同:平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
(3)0的平方根,算术平方根都是0.
区别:
(1)定义不同:“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.
(2)个数不同:一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个.
(3)表示法不同:正数a的平方根表示为±,正数a的算术平方根表示为.
(4)取值范围不同:正数的平方根一正一负,互为相反数;正数的算术平方根只有一个.
[师]什么叫开平方呢?
[生]求一个数a的平方根的运算,叫开平方(extraction of square root),其中a叫被开方数.
[师]我们共学了几种运算呢,这几种运算之间有怎样的联系呢?请大家讨论后回答.
[生]我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算.
[师]大家非常聪明且爱动脑子,回答问题正确率极高,很值得表扬,希望你们能继续发扬下去.
2.平方根的性质
[师]请大家思考以下问题.
(1)一个正数有几个平方根.
(2)0有几个平方根?
(3)负数呢?
[生]第一个问题在前面已作过讨论,一个正数9有两个平方根3和-3;
因为只有零的平方为零,所以0有一个平方根是零.
因为任何数的平方都不是负数,所以负数没有平方根,例如-3没有平方根.
[师]太精彩了.一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;0有一个平方根是0,负数没有平方根.
3.讲解例题
[例]求下列各数的平方根.
(1)64;(2);(3)0.0004;(4)(-25)2;(5)11.
解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8;
(2)因为(±)2=,所以的平方根是±,即±=±;
(3)因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即±=±0.02;
(4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±=±25;
(5)11的平方根是±.
[师]请大家口述上题中各数的算术平方根.
[生]64的算术平方根为8;的算术平方根为;0.0004的算术平方根为0.02;(-25)2的算术平方根为25;11的算术平方根为.
4.想一想
(1)()2等于多少?()2等于多少?
(2)()2等于多少?
(3)对于正数a,()2等于多少?
解:(1)()2=64;
()2=;
(2)()2=7.2;
(3)()2=a(a>0)
Ⅲ.课堂练习
(一)随堂练习
1.求下列各数的平方根
1.44,0,8,,441,196,10-4
解:因为(±1.2)2=1.44,所以1.44的平方根是±1.2,即±=±1.2;
因为02=0,所以0的平方根是0.
即±=0;
因为(±)2=8.所以8的平方根是±;
因为,所以的平方根是±,即±;
因为(±21)2=441,所以441的平方根是±21,即±=±21;
因为(±14)2=196,所以196的平方根是±14,即±=±14;
因为10-4=,(±)=,所以的平方根是±,即±=±=±=±.
2.填空
(1)25的平方根是_________;
(2)=_________;
(3)()2=_________.
解:(1)±5;(2)5;(3)5.
(二)补充练习
1.判断下列各数是否有平方根?并说明理由.
(1)(-3)2;(2)0;(3)-0.01;(4)-52;(5)-a2;(6)a2-2a+2
2.求下列各数的平方根.
(1)121;(2)0.01;(3)2;(4)(-13)2;(5)-(-4)3.
答案:
1.分析:一个数有没有平方根,就看它是不是负数,是负数就没有平方根;不是负数就有平方根.
解:(1)∵(-3)2=9>0
∴(-3)2有平方根
(2)∵0的平方根是它本身
∴0有平方根
(3)∵-0.01<0
∴-0.01没有平方根
(4)∵-52=-25<0
∴-52没有平方根
(5)当a=0时,-a2=0,有平方根
当a≠0时,-a2<0,没有平方根.
(6)∵a2-2a+2=(a-1)2+1,无论a取何有理数,(a-1)2+1>0
∴a2-2a+2有平方根.
说明:(1)负数没有平方根
(2)第(4)小题容易犯错误,-52=25>0.
2.分析:根据平方与开平方互为逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根,其中2,(-13)2=169,-(-4)3=64,把带分数化为假分数,含有乘方运算先求出它的幂.
解:(1)∵(±11)2=121
∴121的平方根是±11
即±=±11;
(2)∵(±0.1)2=0.01
∴0.01的平方根是±0.1
即±=±0.1;
(3)∵2,(±)2=
∴2的平方根是±
即±=±;
(4)∵(-13)2=169,(±13)2=169
∴(-13)2的平方根是±13
即±=±13;
(5)∵-(-4)3=64,(±8)2=64
∴-(-4)3的平方根是±8
即±=±8.
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容.
1.平方根的概念.
2.平方根的性质.
3.平方根与算术平方根的区别与联系.
4.求某些非负数的算术平方根和平方根.
Ⅴ.课后作业
习题2.4.
Ⅵ.活动与探究
1.对于任意数a,一定等于a吗?
解:不一定
当a=2时,=2
当a=时,
当a=0时,=0
当a=-2时,=2
当a-时,=.
综上所述,当a≥0时,=a
当a<0时,=-a
2.中的被开方数a在什么情况下有意义,()2等于什么?
解:因为任意数的平方都是非负数,也就是非负数才有平方根,所以被开方数a必须是正数或零,即非负数时有意义.
当a=1时,()2=12=1
当a=4时,()2=22=4
当a=时,
当a=时,
当a=0时,()2=0.
所以()2=a(a≥0)
板书设计
§2.2.2 平方根(二)
一、平方根的定义;
平方根的性质;
平方根与算术;
平方根的区别与联系.
二、例题讲解
三、练习
四、小结
五、作业
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