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八年级数学上册 平方根(第二课时)教案北师大版.doc

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平方根 教学设计第(二)课时 教学设计思想: 本节内容需两课时讲授;第二课时主要以学生自主学习为主体进行教学,教师首先通过提出问题的方式引导学生思考、交流,从而得出平方根的定义及性质,再通过小组讨论明确算术平方根与平方根的区别和联系. 教学目标 (一)知识与技能 1.叙述平方根的概念、开平方的概念. 2.明确算术平方根与平方根的区别与联系. 3.进一步明确平方与开方是互为逆运算. (二)过程与方法 1.加强概念形成过程的教学,让学生不仅掌握概念,而且知晓它的理论数据. 2.提倡学生进行自学,并能与同学互相交流与合作,变学会知识为会学知识. 3.培养学生的求同和求异思维,能从相似的事物中观察到PX 们的共同点和不同点. (三)情感、态度与价值观 通过学生在学习中互相帮助、相互合作,并能对不同概念进行区分,培养大家的团队精神,以及认真仔细的学习态度,为学生将来走上社会而做准备,使他们能在工作中保持严谨的态度,正确处理好人际关系,成为各方面的佼佼者. 教学重点 1.了解平方根、开平方的概念. 2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根. 3.了解平方根与算术平方根的区别与联系. 教学难点 1.平方根与算术平方根的区别与联系. 2.负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算的原因. 教学方法 讨论比较法. 即主要靠大家讨论得出结论,同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念,还能使学生学得更扎实. 教具准备 投影片. 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 上节课我们学习了算术平方根的概念,性质.知道若一个正数x的平方等于a,即x2=a.则x叫a的算术平方根,记作x=,而且也是非负数,比如正数22=4,则2叫4的算术平方根,4叫2的平方,但是(-2)2=4,则-2叫4的什么根呢?下面我们就来讨论这个问题. Ⅱ.讲授新课 1.平方根、开平方的概念 [师]请大家先思考两个问题. (1)9的算术平方根是3,也就是说,3的平方是9,还有其他的数,它的平方也是9吗? (2)平方等于的数有几个?平方等于0.64的数呢? [生]-3的平方也是9. 的平方是,-的平方也是,即平方等于的数有两个. [生]平方等于9的数有两个,平方等于的数有两个,由此可知平方等于0.64的数也有两个. [师]根据上一节课的内容,我们知道了是9的算术平方根,是的算术平方根,那么-3,-叫9、的什么根呢?请大家认真看书后回答. [生]-3,-分别叫9、的平方根. [师]那是不是说3叫9的算术平方根,-3也叫9的算术平方根,即9的算术平方根有一个是3,另一个是-3呢? [生]不对.根据平方根的定义,一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个x就叫a的平方根(square root),也叫二次方根,3和-3的平方都等于9,由定义可知3和-3都是9的平方根,即9的平方根有两个3和-3,9的算术平方根只有一个是3. [师]由平方根和算术平方根的定义,大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢?请分小组讨论后选代表回答. [生]平方根的定义中是有一个数x的平方等于a,则x叫a的平方根,x没有肯定是正数还是负数或零;而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a,则x叫a的算术平方根,这里的x只能是正数.由此看来都有x2=a,这是它们的相同之处,而x的要求不同,这是它们的不同之处. [师]这位同学分析判断能力特棒,下面我再详细作一总结. 平方根与算术平方根的联系与区别 联系: (1)具有包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种. (2)存在条件相同:平方根和算术平方根都是只有非负数才有. (3)0的平方根,算术平方根都是0. 区别: (1)定义不同:“如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根”;“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”. (2)个数不同:一个正数有两个平方根,而一个正数的算术平方根只有一个. (3)表示法不同:正数a的平方根表示为±,正数a的算术平方根表示为. (4)取值范围不同:正数的平方根一正一负,互为相反数;正数的算术平方根只有一个. [师]什么叫开平方呢? [生]求一个数a的平方根的运算,叫开平方(extraction of square root),其中a叫被开方数. [师]我们共学了几种运算呢,这几种运算之间有怎样的联系呢?请大家讨论后回答. [生]我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算,乘与除互为逆运算,乘方与开方互为逆运算. [师]大家非常聪明且爱动脑子,回答问题正确率极高,很值得表扬,希望你们能继续发扬下去. 2.平方根的性质 [师]请大家思考以下问题. (1)一个正数有几个平方根. (2)0有几个平方根? (3)负数呢? [生]第一个问题在前面已作过讨论,一个正数9有两个平方根3和-3; 因为只有零的平方为零,所以0有一个平方根是零. 因为任何数的平方都不是负数,所以负数没有平方根,例如-3没有平方根. [师]太精彩了.一个正数有两个平方根,且它们互为相反数;0有一个平方根是0,负数没有平方根. 3.讲解例题 [例]求下列各数的平方根. (1)64;(2);(3)0.0004;(4)(-25)2;(5)11. 解:(1)因为(±8)2=64,所以64的平方根是±8,即±=±8; (2)因为(±)2=,所以的平方根是±,即±=±; (3)因为(±0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是±0.02,即±=±0.02; (4)因为(±25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是±25,即±=±25; (5)11的平方根是±. [师]请大家口述上题中各数的算术平方根. [生]64的算术平方根为8;的算术平方根为;0.0004的算术平方根为0.02;(-25)2的算术平方根为25;11的算术平方根为. 4.想一想 (1)()2等于多少?()2等于多少? (2)()2等于多少? (3)对于正数a,()2等于多少? 解:(1)()2=64; ()2=; (2)()2=7.2; (3)()2=a(a>0) Ⅲ.课堂练习 (一)随堂练习 1.求下列各数的平方根 1.44,0,8,,441,196,10-4 解:因为(±1.2)2=1.44,所以1.44的平方根是±1.2,即±=±1.2; 因为02=0,所以0的平方根是0. 即±=0; 因为(±)2=8.所以8的平方根是±; 因为,所以的平方根是±,即±; 因为(±21)2=441,所以441的平方根是±21,即±=±21; 因为(±14)2=196,所以196的平方根是±14,即±=±14; 因为10-4=,(±)=,所以的平方根是±,即±=±=±=±. 2.填空 (1)25的平方根是_________; (2)=_________; (3)()2=_________. 解:(1)±5;(2)5;(3)5. (二)补充练习 1.判断下列各数是否有平方根?并说明理由. (1)(-3)2;(2)0;(3)-0.01;(4)-52;(5)-a2;(6)a2-2a+2 2.求下列各数的平方根. (1)121;(2)0.01;(3)2;(4)(-13)2;(5)-(-4)3. 答案: 1.分析:一个数有没有平方根,就看它是不是负数,是负数就没有平方根;不是负数就有平方根. 解:(1)∵(-3)2=9>0 ∴(-3)2有平方根 (2)∵0的平方根是它本身 ∴0有平方根 (3)∵-0.01<0 ∴-0.01没有平方根 (4)∵-52=-25<0 ∴-52没有平方根 (5)当a=0时,-a2=0,有平方根 当a≠0时,-a2<0,没有平方根. (6)∵a2-2a+2=(a-1)2+1,无论a取何有理数,(a-1)2+1>0 ∴a2-2a+2有平方根. 说明:(1)负数没有平方根 (2)第(4)小题容易犯错误,-52=25>0. 2.分析:根据平方与开平方互为逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根,其中2,(-13)2=169,-(-4)3=64,把带分数化为假分数,含有乘方运算先求出它的幂. 解:(1)∵(±11)2=121 ∴121的平方根是±11 即±=±11; (2)∵(±0.1)2=0.01 ∴0.01的平方根是±0.1 即±=±0.1; (3)∵2,(±)2= ∴2的平方根是± 即±=±; (4)∵(-13)2=169,(±13)2=169 ∴(-13)2的平方根是±13 即±=±13; (5)∵-(-4)3=64,(±8)2=64 ∴-(-4)3的平方根是±8 即±=±8. Ⅳ.课时小结 本节课学了如下内容. 1.平方根的概念. 2.平方根的性质. 3.平方根与算术平方根的区别与联系. 4.求某些非负数的算术平方根和平方根. Ⅴ.课后作业 习题2.4. Ⅵ.活动与探究 1.对于任意数a,一定等于a吗? 解:不一定 当a=2时,=2 当a=时, 当a=0时,=0 当a=-2时,=2 当a-时,=. 综上所述,当a≥0时,=a 当a<0时,=-a 2.中的被开方数a在什么情况下有意义,()2等于什么? 解:因为任意数的平方都是非负数,也就是非负数才有平方根,所以被开方数a必须是正数或零,即非负数时有意义. 当a=1时,()2=12=1 当a=4时,()2=22=4 当a=时, 当a=时, 当a=0时,()2=0. 所以()2=a(a≥0) 板书设计 §2.2.2 平方根(二) 一、平方根的定义; 平方根的性质; 平方根与算术; 平方根的区别与联系. 二、例题讲解 三、练习 四、小结 五、作业
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