八年级数学上册 平方根（第二课时）教案北师大版.doc

平方根 教学设计第（二）课时
教学设计思想：
本节内容需两课时讲授；第二课时主要以学生自主学习为主体进行教学，教师首先通过提出问题的方式引导学生思考、交流，从而得出平方根的定义及性质，再通过小组讨论明确算术平方根与平方根的区别和联系.
教学目标
（一）知识与技能
1．叙述平方根的概念、开平方的概念.
2．明确算术平方根与平方根的区别与联系.
3．进一步明确平方与开方是互为逆运算.
（二）过程与方法
1．加强概念形成过程的教学，让学生不仅掌握概念，而且知晓它的理论数据.
2．提倡学生进行自学，并能与同学互相交流与合作，变学会知识为会学知识.
3．培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到PX 们的共同点和不同点.
（三）情感、态度与价值观
通过学生在学习中互相帮助、相互合作，并能对不同概念进行区分，培养大家的团队精神，以及认真仔细的学习态度，为学生将来走上社会而做准备，使他们能在工作中保持严谨的态度，正确处理好人际关系，成为各方面的佼佼者.
教学重点
1．了解平方根、开平方的概念.
2．了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.
3．了解平方根与算术平方根的区别与联系.
教学难点
1．平方根与算术平方根的区别与联系.
2．负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因.
教学方法
讨论比较法.
即主要靠大家讨论得出结论，同时对相似的概念进行比较.这样不仅能正确区分这些概念，还能使学生学得更扎实.
教具准备
投影片.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
上节课我们学习了算术平方根的概念，性质.知道若一个正数x的平方等于a，即x2=a.则x叫a的算术平方根，记作x=，而且也是非负数，比如正数22=4，则2叫4的算术平方根，4叫2的平方，但是（－2）2=4，则－2叫4的什么根呢？下面我们就来讨论这个问题.
Ⅱ.讲授新课
1.平方根、开平方的概念
［师］请大家先思考两个问题.
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平方是9，还有其他的数，它的平方也是9吗？
（2）平方等于的数有几个？平方等于0.64的数呢？
［生］－3的平方也是9.
的平方是，－的平方也是，即平方等于的数有两个.
［生］平方等于9的数有两个，平方等于的数有两个，由此可知平方等于0.64的数也有两个.
［师］根据上一节课的内容，我们知道了是9的算术平方根，是的算术平方根，那么－3，－叫9、的什么根呢？请大家认真看书后回答.
［生］－3，－分别叫9、的平方根.
［师］那是不是说3叫9的算术平方根，－3也叫9的算术平方根，即9的算术平方根有一个是3，另一个是－3呢？
［生］不对.根据平方根的定义，一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个x就叫a的平方根（square root），也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，9的算术平方根只有一个是3.
［师］由平方根和算术平方根的定义，大家能否找出它们有什么相同和不同之处呢？请分小组讨论后选代表回答.
［生］平方根的定义中是有一个数x的平方等于a，则x叫a的平方根，x没有肯定是正数还是负数或零；而算术平方根的定义中是有一个正数x的平方等于a，则x叫a的算术平方根，这里的x只能是正数.由此看来都有x2=a，这是它们的相同之处，而x的要求不同，这是它们的不同之处.
［师］这位同学分析判断能力特棒，下面我再详细作一总结.
平方根与算术平方根的联系与区别
联系：
（1）具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
（2）存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.
（3）0的平方根，算术平方根都是0.
区别：
（1）定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“非负数a的非负平方根叫a的算术平方根”.
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.
（3）表示法不同：正数a的平方根表示为±，正数a的算术平方根表示为.
（4）取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个.
［师］什么叫开平方呢？
［生］求一个数a的平方根的运算，叫开平方（extraction of square root），其中a叫被开方数.
［师］我们共学了几种运算呢，这几种运算之间有怎样的联系呢？请大家讨论后回答.
［生］我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.
［师］大家非常聪明且爱动脑子，回答问题正确率极高，很值得表扬，希望你们能继续发扬下去.
2．平方根的性质
［师］请大家思考以下问题.
（1）一个正数有几个平方根.
（2）0有几个平方根?
（3）负数呢？
［生］第一个问题在前面已作过讨论，一个正数9有两个平方根3和－3；
因为只有零的平方为零，所以0有一个平方根是零.
因为任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根，例如－3没有平方根.
［师］太精彩了.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.
3．讲解例题
［例］求下列各数的平方根.
（1）64；（2）；（3）0.0004；（4）（－25）2；（5）11.
解：（1）因为（±8）2=64，所以64的平方根是±8，即±=±8；
（2）因为（±）2=，所以的平方根是±，即±=±；
（3）因为（±0.02）2=0.0004，所以0.0004的平方根是±0.02，即±=±0.02；
（4）因为（±25）2=（－25）2，所以（－25）2的平方根是±25，即±=±25；
（5）11的平方根是±.
［师］请大家口述上题中各数的算术平方根.
［生］64的算术平方根为8；的算术平方根为；0.0004的算术平方根为0.02；（－25）2的算术平方根为25；11的算术平方根为.
4．想一想
（1）（）2等于多少？（）2等于多少？
（2）（）2等于多少？
（3）对于正数a，（）2等于多少？
解：（1）（）2=64；
（）2=；
（2）（）2=7.2；
（3）（）2=a（a＞0）
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.求下列各数的平方根
1.44，0，8，，441，196，10－4
解：因为（±1.2）2=1.44，所以1.44的平方根是±1.2，即±=±1.2；
因为02=0，所以0的平方根是0.
即±=0；
因为（±）2=8.所以8的平方根是±；
因为，所以的平方根是±，即±；
因为（±21）2=441，所以441的平方根是±21，即±=±21；
因为（±14）2=196，所以196的平方根是±14，即±=±14；
因为10－4=，（±）=，所以的平方根是±，即±=±=±=±.
2．填空
（1）25的平方根是_________；
（2）=_________；
（3）（）2=_________.
解：（1）±5；（2）5；（3）5.
（二）补充练习
1．判断下列各数是否有平方根？并说明理由.
（1）（－3）2；（2）0；（3）－0.01；（4）－52；（5）－a2；（6）a2－2a+2
2．求下列各数的平方根.
（1）121；（2）0.01；（3）2；（4）（－13）2；（5）－（－4）3.
答案：
1．分析：一个数有没有平方根，就看它是不是负数，是负数就没有平方根；不是负数就有平方根.
解：（1）∵（－3）2=9＞0
∴（－3）2有平方根
（2）∵0的平方根是它本身
∴0有平方根
（3）∵－0.01＜0
∴－0.01没有平方根
（4）∵－52=－25＜0
∴－52没有平方根
（5）当a=0时，－a2=0，有平方根
当a≠0时，－a2＜0，没有平方根.
（6）∵a2－2a+2=（a－1）2+1，无论a取何有理数，（a－1）2+1＞0
∴a2－2a+2有平方根.
说明：（1）负数没有平方根
（2）第（4）小题容易犯错误，－52=25＞0.
2．分析：根据平方与开平方互为逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根，其中2，（－13）2=169，－（－4）3=64，把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂.
解：（1）∵（±11）2=121
∴121的平方根是±11
即±=±11；
（2）∵（±0.1）2=0.01
∴0.01的平方根是±0.1
即±=±0.1；
（3）∵2，（±）2=
∴2的平方根是±
即±=±；
（4）∵（－13）2=169，（±13）2=169
∴（－13）2的平方根是±13
即±=±13；
（5）∵－（－4）3=64，（±8）2=64
∴－（－4）3的平方根是±8
即±=±8.
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容.
1．平方根的概念.
2．平方根的性质.
3．平方根与算术平方根的区别与联系.
4．求某些非负数的算术平方根和平方根.
Ⅴ.课后作业
习题2.4.
Ⅵ.活动与探究
1．对于任意数a，一定等于a吗？
解：不一定
当a=2时，=2
当a=时，
当a=0时，=0
当a=－2时，=2
当a－时，=.
综上所述，当a≥0时，=a
当a＜0时，=－a
2．中的被开方数a在什么情况下有意义，（）2等于什么？
解：因为任意数的平方都是非负数，也就是非负数才有平方根，所以被开方数a必须是正数或零，即非负数时有意义.
当a=1时，（）2=12=1
当a=4时，（）2=22=4
当a=时，
当a=时，
当a=0时，（）2=0.
所以（）2=a（a≥0）
板书设计
§2.2.2　平方根（二）
一、平方根的定义；
平方根的性质；
平方根与算术；
平方根的区别与联系.
二、例题讲解
三、练习
四、小结
五、作业