资源描述
19.2 一次函数
19.2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数的定义
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解正比例函数的概念．
2．掌握正比例函数解析式的特点．
【过程与方法】
经历由实际问题引出正比例函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系．
【情感态度与价值观】
在探求正比例函数解析式的过程中，发展学生的数学应用能力．
二、重难点目标
【教学重点】
正比例函数的概念．
【教学难点】
判断一个函数是否是正比例函数．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P86～P87的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
2．下列函数：①y＝； ②y＝3x＋1; ③y＝1；④y＝8x；⑤v＝－5t；⑥3x＋1＝0; ⑦y＋2x; ⑧y＝8x2＋x(1－8x)．其中，是正比例函数的有④⑤⑧.
3．若关于x的函数y＝(m－1)x是正比例函数，则m≠1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】下列式子中，表示y是x的正比例函数的是( )
A．y＝ B．y＝x＋2
C．y＝x2 D．y＝2x
【互动探索】(引发学生思考)正比例函数的定义是什么？如何根据定义进行判断？
【分析】选项A，y＝，自变量次数不为1，错误；选项B，y＝x＋2，是和的形式，错误；选项C，y＝x2，自变量次数不为1，错误；选项D，y＝2x，符合正比例函数的定义，正确．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)正比例函数自变量的指数为1，系数不能为0.
【例2】若函数y＝(m－3)x|m|－2是正比例函数，则m的值为( )
A．3 B．－3
C．±3 D．不能确定
【互动探索】(引发学生思考)正比例函数满足的条件是什么？
【分析】由题意，得|m|－2＝1，且m－3≠0，解得m＝－3.
【答案】B
【互动总结】(学生总结，老师点评)正比例函数y＝kx成立的条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列函数中，正比例函数是( D )
A．y＝－x－1 B．y＝
C．y＝5(x＋1) D．y＝－x
2．下列各选项中的y与x的关系为正比例函数的是( A )
A．正方形的周长y和边长x的关系
B．圆的面积y与半径x的关系
C．直角三角形中一个锐角的度数为x，另一个锐角的度数为y
D．一棵树的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x月后这棵树的高度为y厘米
3．下列说法中不成立的是( D )
A．在y＝3x－1中，y＋1与x成正比例
B．在y＝－中，y与x成正比例
C．在y＝2(x＋1)中，y与x＋1成正比例
D．在y＝x＋3中，y与x成正比例
4．若函数y＝(k＋1)x＋k2－1是正比例函数，则k的值为1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知A、B两地相距30 km，小明以6 km/h的速度从A地出发前往B地，步行的路程是y km，步行的时间为x h.
(1)求y与x之间的函数表达式，并指出y是x的什么函数；
(2)写出该函数自变量的取值范围．
【互动探索】路程、速度与时间有什么关系？实际问题中自变量的取值范围应满足什么条件？
【解答】(1)由题意，得y＝6x，此函数是正比例函数．
(2)∵A、B两地相距30 km，
∴0≤6x≤30，
解得0≤x≤5，
即该函数自变量的取值范围是0≤x≤5.
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了正比例函数的定义，根据题意得出函数关系式是解题关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
正比例函数的定义：一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
练习设计
请完成本课时对应训练！
第2课时 正比例函数的图象与性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．能够画出正比例函数的图象．
2．掌握正比例函数的图象与性质．
3．能够利用正比例函数的图象与性质解决简单的数学问题．
【过程与方法】
1．通过画正比例函数图象，总结正比例函数的图象与性质，发展学生的数学应用能力．
2．在正比例函数的图象中体会数形结合思想，并提高解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
认识数学在解决问题中的重要作用，从而加深对数学的认识．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握正比例函数的图象与性质．
【教学难点】
利用正比例函数的图象与性质解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P87～P89的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．一般地，正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y＝kx.
2．正比例函数的图象是一条直线，它一定经过原点．
3．因为过两点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，通常是(0,0)和(1，k)．
4．当k > 0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；
当k<0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】在下列各图象中，表示函数y＝－kx(k＜0)的图象的是( )
A B C D
【互动探索】(引发学生思考)正比例函数图象与k的取值有什么关系？
【分析】∵k＜0，∴－k＞0，∴函数y＝－kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，且函数图象是过原点的直线．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k＞0时，图象过第一、三象限；当k＜0时，图象过第二、四象限．
【例2】关于函数y＝x，下列结论中正确的是( )
A．函数图象经过点(1,3)
B．不论x为何值，总有y＞0
C．y随x的增大而减小
D．函数图象经过第一、三象限
【互动探索】(引发学生思考)根据正比例函数解析式可以获得那些信息？
【分析】当x＝1时，y＝，故A选项错误；只有当x＞0时，y＞0才成立，故B选项错误；∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故C选项错误；∵k＝＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D选项正确．
【答案】D
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知正比例函数y＝kx(k≠0)的图象过第二、四象限，则( B )
A．y随x的增大而增大
B．y随x的增大而减小
C．当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减少；
D．不论x如何变化，y都不变
2．函数y＝|2x|的大致图象是( C )
A B C D
3．已知y＝(2m－1)xm2－3是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为( A )
A．y＝－5x B．y＝5x
C．y＝3x D．y＝－3x
4．已知正比例函数y＝kx(k≠0)，当x每增加3时，y就减小4，则k＝－.
5．已知函数y＝(－3)x2＋2(a－3)x是关于x的正比例函数．
(1)求正比例函数的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)若函数图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1<x2时，试比较y1，y2的大小．
解：(1)∵y＝(|a|－3)x2＋2(a－3)x是关于x的正比例函数，
∴|a|－3＝0且a－3≠0，
解得a＝－3，
∴y＝－12x.
(2)当x＝1时，y＝－12，且函数图象过原点，其图象如图所示：
(3)在y＝－12x中，k＝－12＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x1＜x2时，y1＞y2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝－1时，y＝11.
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)求当x＝2时y的值．
【互动探索】设正比例函数解析式→代入x、y的两组值进行计算→得出y与x的函数表达式→把x＝2代入求出对应的y值
【解答】(1)设y1＝kx2，y2＝a(x－2)，
则y＝kx2＋a(x－2)．
把x＝1，y＝5和x＝－1，y＝11代入，得
解得
∴y与x之间的函数表达式是y＝2x2－3(x－2)．
(2)把x＝2代入，得
y＝2×22－3×(2－2)＝8.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用定义求函数解析式，设出解析式是解题的关键一步．
【例4】已知正比例函数y＝kx图象经过点(3，－6)．
(1)求这个函数的解析式；
(2)判断点A(4，－2)是否在这个函数图象上；
(3)已知图象上两点B(x1，y1)、C(x2，y2)，如果x1＞x2，比较y1、y2的大小．
【互动探索】(1)把(3，－6)代入正比例函数y＝kx中计算出k即可得到解析式；
(2)将点A的横坐标代入正比例函数关系式，计算出函数值，若函数值等于－2，则点A在这个函数图象上，否则不在这个函数图象上；
(3)根据正比例函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小，即可判断．
【解答】(1)∵正比例函数y＝kx的图象经过点(3，－6)，∴－6＝3·k，解得k＝－2.
∴这个正比例函数的解析式为y＝－2x.
(2)将x＝4代入y＝－2x，得y＝－8≠－2，
∴点A(4，－2)不在这个函数图象上．
(3)∵k＝－2＜0，
∴y随x的增大而减小．
∵x1＞x2，
∴y1＜y2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)将已知点的坐标代入求出正比例函数解析式，是解决问题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
正比例函数
练习设计
请完成本课时对应训练！
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