中考数学复习“1+1+3”专项训练（5） 苏科版.doc

2013年九年级数学中考复习讲义系列-----每周一练（5）
时间：60分钟 总分：40分 姓名 得分
1. 如图，在Rt △ ABC 中，∠C=90° ，AC=BC=6cm，点P 从点A 出发，沿AB 方向以每秒cm的速度向终点B 运动；同时，动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1cm 的速度向终点C 运动，将△PQC 沿BC 翻折，点P 的对应点为点P′.设Q点运动的时间t 秒，若四边形QPCP′为菱形，则t 的值为（ ）

2．二次函数y＝x2的图象如图所示，点A0位于坐标原点， 点A1， A2， A3，…，A2013在y轴的正半轴上，点B1， B2， B3，…，B2013在二次函数y＝x2位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2012B2013A2013都为等边三角形，则△A2012B2013A2013的边长＝ ．

3．如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE•FD=AF•EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．

4．已知，如图，线段AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B、C．
（1）当AB=6，DC=2，BC=8时，点P在线段BC运动，不与点B、C重合．
① 若△ABP与△PCD可能全等，请直接写出的值；
② 若△ABP与△PCD相似，求线段BP的长．
（2）探究：设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD？

5．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H.
（1）直接填写：= ，b= ，顶点C的坐标为 ；
（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；
A
B
H
C

A
B
H
C

（备用图）
（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.

参考答案
1.B
2.2013
3.（1）证明：∵BD是⊙O的切线， ∴∠DBA=90°，
∵CH⊥AB， ∴CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD， ∴=， ∴AE•FD=AF•EC．
（2）证明：∵CH∥BD， ∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF， ∴==，
∵CE=EH（E为CH中点）， ∴BF=DF，
∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=∠DCB=90°， ∴CF=DF=BF， 即CF=BF．

（3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2， ∴EF=FC， ∴∠FCE=∠FEC，
∵∠AHE=∠CHG=90°， ∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°，
∵∠AEH=∠CEF， ∴∠G=∠FAG， ∴AF=FG，
∵FB⊥AG， ∴AB=BG，
连接OC，BC，
∵BF切⊙O于B， ∴∠FBC=∠CAB，
∵OC=OA，CF=BF， ∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC， ∴∠FCB=∠CAB，
∵∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCO=90°， ∴∠FCB+∠BCO=90°， 即OC⊥CG，
∴CG是⊙O切线，
∵GBA是⊙O割线， FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2， ∴FG2﹣4FG﹣12=0，
解得：FG=6，FG=﹣2（舍去），
由勾股定理得： AG=BG==4， ∴⊙O的半径是2．

4、解：（1）如图1，△ABP≌△PCD，

（2）若△ABP与△PCD相似．
分两种情况讨论：
① 如图1，△ABP≌△PCD，BP= DC= 2．
② 如图2，△ABP∽△DCP．

∵ △APB∽△PDC，∠C=∠B=90° ∴
设BP=x，则PC=8-x， ∴， ∴x=BP=6
综上讨论，BP=2或6．
（3）如果在直线BC上存在点P，使AP⊥PD，那么点P在以直线AD为直径的圆上，且圆的半径为c．
取AD的中点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E．(如下图)
∵∠B=∠OEC=∠C=90°，∴AB∥OE∥DC．
∴AO=DO，∴BE=CE．∴OE=(AB+DC)=(a+b)．
∴当OE<c，即a+b<c时，以AD为直径的圆与直线BC相交．
此时，存在⊙O和直线BC的交点P1、P2，使AP1⊥P1D，AP2⊥P2D．
当OE=c，即a+b=c时，以AD为直径的圆与直线BC相切．
此时，存在切点P，使AP⊥PD．
当OE>c，即a+b>c时，以AD为直径的圆与直线BC相离．
此时，在直线BC上不存在点P，使AP⊥PD．
综上，当a+b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．
5.解：（1），顶点C的坐标为（-1，4）

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D, 过点C作CE⊥y轴于点E.
E
C
由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°. 又∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠1. 又∵∠CED=∠DOA =90°，
1
∴△CED ∽△DOA，∴.

H
B
A
2
3

设D（0，c），则.
变形得，解之得.
综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.
（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.
延长CP交x轴于M，∴AM=CM， ∴AM2=CM2.
设M（m，0），则( m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.
设直线CM的解析式为y=k1x+b1，
则， 解之得，.
∴直线CM的解析式.
联立，解之得或(舍去).∴.
②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.
过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N.
由△CFA∽△CAH得，
由△FNA∽△AHC得.
∴, 点F坐标为（-5,1）.
设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解之得.
∴直线CF的解析式.
联立 ，解之得 或 (舍去). ∴.
P
A
B
H
C

Q
M
（图①）

P
A
B
H
C

Q
F
N
（图②）
∴满足条件的点P坐标为或