资源描述
26.2实际问题与反比例函数
第二课时
一、教学目标
1．核心素养
通过本课的学习，培养学生的模型思想和应用意识．
2．学习目标
（1）运用反比例函数的知识解决实际问题．
（2）经历“实际问题—建立模型—拓展应用”的过程，发展学生分析问题和解决问题的能力．
（3）经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识．
3．学习重点
运用反比例函数的概念、性质，分析和解决一些简单的实际问题
4．学习难点
抽象出实际问题中的反比例函数关系
二、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1
阅读教材P14－P15，杠杆平衡原理指的是什么？
任务2
电功率、电阻、电压之间的关系是什么？
任务3
请列举你了解的本课中未列举的三种或三种以上满足反比例函数关系的例子．
2．预习自测
1．如图，点B、P在函数的图象上，四边形COAB是正方形，四边形FOEP是长方形，下列说法不正确的是( )．
A．长方形BCFG和长方形GAEP的面积相等
B．点B的坐标为(9，9)
C．的图象关于过O、B的直线对称
D．长方形FOEP和正方形COAB面积相等
【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】
【答案】B
2．反比例函数在第一象限的图象如图所示，则m的值可能是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
【知识点：反比例函数的性质；数学思想：数形结合】
【答案】C
3．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流强度I（A）与电阻R（）成反比例函数关系，如图，则电流强度I（A）与电阻R（）之间的函数解析式为 ．
【知识点：反比例函数的图象及性质；数学思想：数形结合】
【答案】(R>0)
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）杠杆平衡原理：．
（2）电阻、电功率、电压之间的关系：．
（3）在以前的学习中，还有哪些与反比例函数有关的知识，请举例说明．
2．问题探究
问题探究一 对比分析 构建模型
●活动一 对比分析，构建反比例函数模型
问题1：下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，它们的解析式有什么共同特点？
（1）某住宅小区要种植一个面积为1000 m2的矩形草坪，草坪的长（单位：m）随宽（单位：m）的变化而变化；
（2）已知北京市总面积为1．68104 km2，人均占有面积S（单位：km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化 ．
【知识点：反比例函数的定义】
教师提出问题，学生小组讨论、交流，引导学生写出解析式，思考并解答下列问题：
（1）在每个问题中，谁是常量，谁是变量？
（2）两个变量之间具有函数关系吗？并说明理由．
（3）它们的解析式有什么共同特点？
问题探究二 反比例函数与杠杆原理
●活动一 复习旧知 学科融合
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德提出一个观点：“给我一个支点，我可以撬动地球． ”这种说法中用到了什么原理？
教师创设情境，引发学生回忆杠杆平衡原理：，请画图并用数学语言表述这一关系．
●活动二 引入实例 突出应用 重点、难点知识★▲
例1.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0．5m．
（1）动力F和动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想动力F不超过题（1）中的一半，则动力臂至少要加长多少？
【知识点：反比例函数定义与性质；数学思想：数形结合】
阅读与思考：阅读教材P13-14，解决下列问题：
（1）杠杆原理的内容是什么？怎样用数学语言表示？在日常生活中还有哪些用到杠杆原理的例子？请举例说明．
（2）此例中的是如何确定的？当阻力与阻力臂一定时，动力与动力臂之间是什么函数关系？
（3）第（2）问中的不等关系能否转化为相等关系来进行解答？怎样转换？请说说你的做法．
详解：（1）根据“杠杆原理”得：
∴F关于的函数解析式为
当=1．5m时，=400（N）
∴此时撬动石头至少需要400N的力．
（2）对于函数，F随的增大而减小． 只要求出F=200N时对应的的值，就能确定动力臂至少应该加长的量．
当F=400=200N时，由，解得=3（m）
（m）
对于函数，当>0时，越大，F越小
因此，若想用力不超过400N的一半，则动力臂至少应加长1．5m．
点拨：（1）在实际学习生活中，有很多跨学科的综合性题目，需要同学们有一双发现的眼睛；（2）生活中的实例往往受到实际情况的限制，如长度不能为负数等；（3）由于自变量的取值范围受到实际情况的限制，它的图象往往只是其中的一部分，有时得到的图象甚至不是连续的曲线，而只是其中的一些点．
问题探究三 反比例函数与电学 重点、难点知识★▲
例2 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110~220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如右所示．
（1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？
（2）这个用电器功率的范围是多少？
R
【知识点：反比例函数的定义与性质；数学思想：数形结合】
探索与思考：
（1）怎样理解“~”的含义？怎样解答这类问题？
（2）为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？是通过调节什么实现的？
（3）功率、电阻、电压之间的关系是什么？当电压固定不变时，功率与电阻成什么函数关系？
详解：（1）由电学知识可知：当U=220v时，得
（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小．
把电阻的最小值R=110代入得功率的最大值：
=440（W）
把电阻的最大值R=220代入得功率的最小值：
=220（W）
因此用电器的电功率的范围为220~440W．
点拨：此题中得到的函数图象只是第一象限的这一部分．
问题探究三 学以致用 重点、难点知识★▲
例3 六一儿童节，小文到公园游玩． 看到公园的一段弯道MN（不计宽度），如图，它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN（MP⊥OP，NQ⊥OQ）． 他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等，比如：A、B、C是弯道MN上的三点，矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等．爱好数学的他建立了平面直角坐标系（如图），图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3，并测得S2=6（单位：平方米），OG=GH=HI．
（1）求S1和S3的值；
（2）设T（，）是弯道MN上的任一点，写出关于的函数关系式；
（3）公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造，在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木（区域边界上的点除外），已知MP=2米，NQ=3米．问一共能种植多少棵花木？
【知识点：反比例函数的应用】
参考答案：
（1）S1=18，S3=12；
（2）
（3）一共可种8+4+2+2+1=17棵．
点拨：（1）分别表示出每块阴影部分的面积，再去寻找其规律；（2）准确理解题意是关键，特别注意“区域的边界上的点除外”这名话对结果的影响．
3．课堂总结
【知识梳理】
(1)杠杆平衡原理：．
(2) 电阻、电功率、电压之间的关系：．
(3)在日常的学习生活中，会遇到很多与反比例函数有关的综合性问题，如当行程一定时，行驶的速度与行驶时间之间成反比例函数关系；当压力为定值时，压强与受力面积之间也成反比例函数关系等等．
【重难点突破】
(1)在实际问题中，要注意哪些是常量，哪些是变量；当给定的条件发生改变时，变量之间呈现的关系也会发生变化．
(2)在求函数的解析式时，常常用到待定系数法．
(3)如果在表示变量之间的关系时，未明确告诉 k值，我们需要根据已知条件确定k的值，才能进一步得到函数的解析式．
(4)不等关系常常转化为等量关系进行解答．
4．随堂检测
1．若点(－1，1)，(2，2)，(3，3)都在反比例函数的图象上，则( )．
A．1＜2＜3 B．2＜1＜3 C．3＜2＜1 D．1＜3＜2
答案：D
解析：
2．如图，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥轴，AC∥轴，△ABC的面积记为S，则( )．
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
答案：B
解析：
3．在温度不变的条件下，通过不断对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：
体积/ml
100
80
60
40
20
压强/kPa
60
75
100
150
300
则可以反映y与之间的关系的式子是( )．
A．＝3000 B．＝6000 C． D．
答案：D
解析：
4．如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线交OB于点D，且BD：BO=2：3，若△OBC的面积等于3，则m的值为（ ）
A．2 B． C． D．无法确定
答案：B
解析：
5．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流强度I（A）与电阻R（）成反比例函数关系，如图，则电流强度I（A）与电阻R（）之间的函数解析式为 ．
答案：（R>0）
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