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第14章《平方差公式》（第1课时）教学设计
一、教学内容的本质、地位、作用：
平方差公式是多项式乘法的后续学习及再创造活动的结果，是从一般到特殊的认知规律的典型范例。对它的学习和研究，不仅为特殊多项式的乘法提供了简便算法，而且为以后学习因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程等内容奠定了坚实的基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法。因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有举足轻重的地位，是初中阶段学习的第一个非常重要的计算公式。
二、教学问题诊断：
学生已熟练掌握了幂的运算和整式乘法，但在进行多项式乘法运算时，常常会弄错某些项的符号，并出现漏项等问题。由此，学生学习平方差公式的困难在于：（1）不能准确把握公式结构的本质特征（2）不能真正理解公式中字母代表的广泛意义。因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解，是当务之急，也是重中之重。
三、教法特点及预期效果：
1、教法特点：
以问题为线索，学生在动口、动手、动脑中使知识再创造，并展示学生探索成果，让学生感受学习数学是一件快乐的事。从中让学生明确获取知识只有通过自己的探索才能不仅“知其然”，而且“知其所以然”；透过表象看公式特征，而不是死记硬背，在应用中学会知识的迁移，抓住公式的结构特征，提高学生的灵活运用能力。
2、预期效果：让学生掌握平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算。
四、教学目标：
1．掌握平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算。
2．在探索平方差公式的过程中，体会数形结合的思想方法，进一步发展学生的符号感和观察、推理、归纳能力。
3．通过公式的探究，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信。
五、教学重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算。
六、教学难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式进行计算；公式几何意义的理解。
七、教学过程：
（一）课前复习、准备：
1、各小组长领取本组课上探究所需学具：正方形纸片
2、复习回顾：
计算：（2a+3b）（4a-6b）
【设计意图】复习回顾多项式乘多项式的运算法则，为后面学生验证平方差公式做好铺垫，同时为平方差公式的应用提供一个随机的变式训练，前后照应。
（二）课上探究：
【活动一】情境导入
今天老师遇到了一个难题，还请同学们伸出援助之手，“慷慨解囊”！
我是小小设计师：
小红准备用一块边长为a厘米的正方形花布做成手绢，但在缝制的过程中，花布的一角不小心被染上污渍，使正方形花布的这一角有边长为b厘米的小正方形花布无法再使用。（把发到你们手中的正方形纸片当作那块“花布”）他无从下手，我也是束手无策。请同学们帮助设计一下，把不规则花布通过剪拼变成规则花布来缝制手绢，看谁的办法多！”
【设计意图】
1、以帮助老师解决困难的形式，从学生身边感兴趣的几何问题出发，创设问题情境，极大地激发了学生的学习兴趣，并提高了学生的学习积极性；
2、平方差公式的代数形式学生容易用乘法公式马上推导出来，但是它的几何意义学生较难掌握。这一问题的引入很自然地让学生理解了公式的几何意义，体会到代数与几何的内在联系，可谓事半功倍，一举两得。
【活动二】自主探究（平方差公式）
合作交流：
1、各小组成员先独立剪拼正方形纸片，然后小组内交流各自的不同方法。
2、师巡视，派有不同拼法的小组代表到黑板前展示本组交流成果，师根据成果给予量规评价。
思考：
不规则花布的面积如何用代数式表示？规则花布的面积又如何表示?它们之间有怎样的关系？
（各小组代表将本组所展示图形的面积用代数式表示出来。）
精讲点拨：
对于同一个图形，无论用什么方法来求它的面积，这个面积会不会改变？从中你又能发现什么？
点拨：由于等式右边是两数平方差的形式，因此此公式叫“平方差公式”
【设计意图】
由学生自己给公式取名，会极大地增加学生学习数学的兴趣，同时通过取名这一活动能让学生更深刻地认识和理解公式。
师进一步点拨、强调，师生共同完成，及时巩固：
平方差公式：____________________________
问题：你能将上述公式转化成文字语言吗？
（学生独立思考后，小组内交流，小组代表发言）
文字叙述：________________________________________
【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，从而提高学生的语言组织、表达能力；加深学生对公式的理解和记忆。
问题 ：如何证明这个结论？
学生在自己学案上利用多项式的乘法法则推导出公式
（一名学生到黑板前板演推导过程） （a+b）（a-b）＝a2-ab+ab-b2=a2-b2
【设计意图】让学生经历探究——发现——猜想——验证的学习过程，体会数学这门学科的严谨性。
精讲点拨：
平方差公式的特点：
1．左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项相同，另一项互为相反数
2．右边是相同项与相反项的平方差
3．公式中的字母可以表示任意数（正数和负数），也可以代表单项式或多项式等代数式
【活动三】有效训练（平方差公式的应用）
自主学习：分层训练
（1）直接运用新知，解决第一层次问题：
试一试、你能用平方差公式直接计算下列各式结果吗？
(a+b)(a-b)
a（相同的项）
b（互为相反数的项）
a2－b2（平方差的形式）
（y+3)(y-3)
(a+3b)(a-3b)
（-m-n）(-m+n)
（a+b+c）(a+b-c)
精讲点拨：
运用平方差公式进行计算，关键是找出公式中的a和b。最后一题是两个三项式相乘，如果两个式子中，它们的项数相同，有几项 是相同的，有几项互为相反数，那么相同的项即为公式中的a，相反的项即为公式中的b,它也能用平方差公式进行计算。
【设计意图】
1、进一步巩固学生对公式的认识和理解；
2、在认清公式的结构特征的基础上，进一步剖析a、b的广泛含义，抓住了概念的核心，使学生在公式的运用中能得心应手，起到事半功倍的效果。
（2）间接运用新知，解决第二层次问题：
自学例1，然后仿照例1 独立 运用平方差公式计算：
①(-2x+3)(3+2x) ②(3b+2a)(2a-3b)
③（-1-2a）(-1+2a) ④（a5-b2）（a5+b2）
【设计意图】
检查学生对平方差公式本质的理解程度，从而加深学生对公式的本质把握。
（3）灵活运用新知，解决第三层次问题：
看谁算的快
1)9×11
2)99×101
3)999×1001
（各小组抢答：通过举手示意，老师看看哪个小组的哪个同学做的既对又快，当多数同学基本做完后，派优胜者板演，师合理量规评价）
自主学习 合作交流
（学生自学例2，运用平方差公式计算下列各题)
（1）59.8×60.2 （2）(x+y)(x-y)(x2+y2)
精讲点拨：应用平方差公式会使计算变得更加简便
合作交流：归纳总结，形成知识网络
在应用平方差公式解题过程中我们应注意什么问题？
【设计意图】分三个层次，让学生体会平方差公式的特点：第一个层次直接应用公式，第二个层次是交换括号或括号内各项的位置，或先提公因式再运用公式进行计算，第三个层次是平方差公式的灵活运用。通过做题让学生总结出平方差公式的应用技巧：
（1）两个括号内含相同字母的项，有的符号相同，有的符号相反，才能运用平方差公式
进行计算；
（2）运用平方差公式进行计算的结果是相同项的平方减去相反项的平方。
在此环节中，对于学生出现的重点、难点问题，教师要及时地引导、点拨，拓展与变化，要在课堂中引起讨论，激发学生思维，让学生从本质上解决问题。精讲点拨可以由教师讲，也可以由学生讲，是一个归纳、发展、提升的过程。
（三）总结概括，自我评价
这节课你有哪些收获？还有什么困惑？
【设计意图】
从知识和情感态度两个方面加以小结，使学生对本节课的知识有一个系统全面的认识。
（四）课堂达标：
计算：
（1）（-a-b）（a-b） （2）（3a+2b）（3a-2b）
（3）103×97 （4）（a-b）（a+b）（a2+b2）
【设计意图】对本节重点内容进行现场检测，及时了解教学目标的达成情况．
（五）分层作业：
A层： 习题14.2 1.题
B层： 1. 2007×2009-20082
2. 若x+y=2,x-y=7，求x2-y2
【设计意图】
作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．
（六）课后延伸：
王红同学在计算（2+1)(22+1)(24+1)时，将积式乘以（2-1）得：
解：原式 = (2-1)(2+1)(22+1)(24+1)
= (22-1)(22+1)(24+1)
= (24-1)( 24 +1)
= 28-1
你能根据上题计算: (2+1)( 22 +1)( 24 +1)( 28+1) (216+1) 的结果吗？
【设计意图】拓展学生思维，体会应用公式的灵活性。
八、设计说明：
本节课以让学生帮助老师解决困难的形式，从学生身边感兴趣的问题出发，创设问题情境，从而发现“平方差公式”，打破了以往让学生通过大量的计算，然后观察，从而发现规律，才能得到公式。这样，既激发了学生的学习兴趣，提高了学生的学习积极性，又让学生在帮助老师解决困难的同时，很自然地理解了公式的几何意义，并为学生对公式几何意义的理解节省了时间，从而突破了难点，可谓事半功倍，一举多得！我认为这是本节课最大的亮点。其次分层训练、分层作业能关注到全体学生的发展，因材施教，也不失为本节课的独到之处。
根据《课程标准》，数学课不仅要学习数学知识，更要体现知识的认知发展过程，关注学生学习的兴趣。所以通过学生自主探究、合作交流、发现公式、应用公式、有条理地表达自己的思考过程，让学生经历知识的形成过程，不但“知其然，更知其所以然”，让学生沉浸于知识的探索中，是本节课的主要设计理念。通过探究的教学设计，为学生提供数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中，真正理解代数的基础知识、技能和思想方法，获得广泛的数学活动经验，提高学生探索、发现和创新能力。为突破难点，采用小组合作，先体验后归纳，从中感悟数形结合及整体的数学思想。
鉴于此，本节课的设计流程是：探索发现——归纳验证——应用拓展，以解决问题活动为基础，建立合理的数学训练，使学生在知识获得、过程经历、合作交流中得到提升。
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