九年级数学下册 第1章 直角三角形的边角关系教案 北师大版.doc

第一章 直角三角形的边角关系
§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第1课时）
教学目标
1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、 理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、 能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、 能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：理解正切函数的定义
难点：理解正切函数的定义
教学过程设计
一、复习已学过的直角三角形性质和定理
（勾股定理和其逆定理，300定理，斜边中线定理等等）
二、新课讲授
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

3、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）

⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
⑵
⑵有什么关系？

⑶如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3)呢?
⑷由此你得出什么结论?

4、正切函数
（1） 明确各边的名称
（2）
（3） 明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A的对边与∠A的邻边的比值。
（4） tanA的值越大，梯子越陡
5、巩固练习
如图，在△ACB中，∠C = 90°，
1） tanA = ；tanB = ；
2） 若AC = 4，BC = 3，则tanA = ；tanB = ；
3） 若AC = 8，AB = 10，则tanA = ；tanB = ；
三、讲解例题
例1 图中表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？
分析：通过计算正切值判断梯子的倾斜程度。这是上述结论的直接应用。

例2 如图，在△ACB中，∠C = 90°，AC = 6，，求BC、AB的长。
分析：通过正切函数求直角三角形其它边的长。

例3、正切函数的应用
书本P 5 正切函数的应用（山坡的坡度）
四、随堂练习 课本 P 6 随堂练习
五、小结 正切函数的定义。
六、作业 课本 P 6 习题1.1 1、2。
六、教学后记

§1.1.2 从梯子的倾斜程度谈起（第2课时）
教学目标
1、 经历探索直角三角形中边角关系的过程
2、理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义，并能够举例说明
3、能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比
4、能够根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算
教学重点和难点
重点：理解正弦、余弦函数的定义
难点：理解正弦、余弦函数的定义
教学过程设计
一、 复习正切函数
二、新课引入
1、书本 P 7 顶
2、正弦、余弦函数
，
3、巩固练习
如图，在△ACB中，∠C = 90°，
①sinA = ；cosA = ；sinB = ；cosB = ；
②若AC = 4，BC = 3，则sinA = ；cosA = ；
③若AC = 8，AB = 10，则sinA = ；cosB = ；
4、三角函数
锐角∠A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数。
5、梯子的倾斜程度
sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越大，梯子越陡

三、讲解例题
例2、如图，在Rt△ABC中，∠B = 90°，AC = 200，，求BC的长。

例3、如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 10，，求AB的长及sinB。

四、随堂练习 课本 P 9 随堂练习
五、小结 正弦、余弦函数的定义。
六、作业 课本 P 9 习题1.2 2、3

§1. 2 30°、45°、60°角的三角函数值
教学目标
1、经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义
2、能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
3、能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小
教学重点和难点
重点：进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算
难点：记住30°、45°、60°角的三角函数值
教学过程设计
一、复习
上两节课，我们研究了正切、正弦、余弦函数，这节课，我们继续研究特殊角的三角函数值。
二、新课讲授
1、引入
书本 P 10 引入
本节利用三角函数的定义求30°、45°、60°角的三角函数值，并利用这些值进行一些简单计算。
2、30°、45°、60°角的三角函数值
通过与学生一起推导，让学生真正理解特殊角的三角函数值。

度数
sinα
cosα
tanα
30°

45°

1
60°

要求学生在理解的基础上记忆，切忌死记硬背。
三、讲解例题
例1、1、计算：（1）sin30°+ cos45°； （2）；
（3）； （4）。

2、填空：（1）已知∠A是锐角，且cosA = ，则∠A = °，sinA = ；
（2）已知∠B是锐角，且2cosA = 1，则∠B = °；
（3）已知∠A是锐角，且3tanA = 0，则∠A = °；

例2、一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。

例3、在Rt△ABC中，∠C = 90°，，求，∠B、∠A。
分析：本例先求出比值后，利用特殊角的三角函数值，再确定角的大小。

四、随堂练习 课本 P 12 随堂练习
五、小结
要求学生在理解的基础上记忆特殊角的三角函数值，切忌死记硬背。
六、作业
书本 P 13 习题1.3 1、2

§1. 3 .1 三角函数的有关计算（第1课时）
教学目标
1．经历用计算器由已知锐角求三角函数值的过程，进一步体会三角函数意义．
2．能够用计算器进行有关三角函数值的计算．
3．能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
教学重点
1．用计算器由已知锐角求三角函数值．
2．能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
教学难点
用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
教学方法
探索——引导．
教学过程
一．提出问题，引入新课
课本P15引例
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200米，已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α＝16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？
怎样用科学计算器求三角函数值呢？
二．讲授新课
1．用科学计算器求一般锐角的三角函数值．
讲解计算器的使用（参照课本）
2、下面就请同学们利用计算器求出本节刚开始提出的问题．
3、下面请同学们用计算器计算下列各式的值(多媒体演示)．
(1)sin56°；(2)sin15°49′；(3)cos20°；(4)tan29°；
(5)tan44°59′59″；(6)sin15°＋cos61°＋tan76°．
(以小组为单位，展开竞赛，看哪一组既快又准确)
4、你能用计算器计算说明下列等式成立吗？(用多媒体演示)
下列等式成立吗？
(1)sin15°＋sin25°＝sin40°；(2)cos20°＋cos26°＝cos46°；
(3)tan25°＋tan15°＝tan40°．
由此，你能得出什么结论？
三．用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题．
当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面的夹角是∠β＝42°，由此你能想到还能计算什么？
四．随堂练习 P17
五．课时小结
本节课主要内容如下：
(1)运用计算器计算由已知锐角求它的三角函数值．
(2)运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．
六．课后作业
习题1．4的第1、2题
§1．3．1 三角函数的有关计算(一)
1．用计算器由已知锐角求它的三角函数值熟练操作，求sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″．
2．用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题．

§1.3.2 三角函数的有关计算(第2课时)
教学目标
1.经历用计算器由三角函数值求相应锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.
2.能够利用计算器进行有关三角函数值的计算.
3.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
教学重点
1.用计算器由已知三角函数值求锐角.
2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
教学难点
用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.
教学方法
探究——引导——发现.
教学过程
一.创设问题情境，引入新课
随着人民生活水平的提高，农用小轿车越来越多，为了交通安全，某市政府要修建10 m高的天桥，为了方便行人推车过天桥，需在天桥两端修建40m长的斜道.
这条斜道的倾斜角是多少?

这节课，我们就来学习如何用科学计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.
二.讲授新课
1.用计算器由锐角三角函数值求相应锐角的大小.
例1：①已知sinA=0.9816，求锐角A，
②已知cosA＝0.8607，求锐角A； ③已知tanA＝0.1890，求锐角A；
2、你能求出上图中∠A的大小吗?
3、巩固练习
①根据下列条件求锐角θ的大小：
(1)tanθ＝2.9888；(2)sinθ=0.3957；(3)cosθ＝0.7850；(4)tanθ＝0.8972；
(5)sinθ＝；(6)cosθ＝； (7)tanθ=22.3；(8)tanθ=；
②某段公路每前进100米，路面就升高4米，求这段公路的坡角.
4.解决含三角函数值计算的实际问题.
例2、如图，工件上有-V形槽.测得它的上口宽加20 mm深19.2mm。求V形角(∠ACB)的大小.(结果精确到1°)
例3、如图，一名患者体内某重要器官后面有一肿瘤.在接受放射性治疗时，为了最大限度地保证疗效，并且防止伤害器官，射线必须从侧面照射肿瘤.已知肿瘤在皮下6.3 cm的A处，射线从肿瘤右侧9.8cm的B处进入身体，求射线入射角度，
5.解直角三角形
（5个元素，两个锐角，两条直角边和一条斜边）.
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c.
(1)边的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)角的关系：∠A+∠B=90°；
(3)边角关系：sinA=，cosA=，tanA= ；sinB＝，cosB＝，tanB= .
三、随堂练习 P21
四、课时小结
本节课我们学习了用计算器由三角函数值求相应的锐角的过程，进一步体会三角函数的意义.并且用计算器辅助解决含有三角函数值计算的实际问题.
五、课后作业
习题1.5第1、2、3题

§1.4 船有触礁的危险吗
学习目标：
1.经历探索船是否有触礁危险过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.
学习重点：
1.经历探索船是否有触礁危险过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.
学习难点：根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.
学习方法： 探索——发现法
学习过程：
一、问题引入：
海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.

二、解决问题：
1、如图，小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计)

2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由45°减至30°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?

三、随堂练习 P24
四、课时小结

五、作业 习题1.6第1、2、3题.
六、课后练习：
1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为2米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.

2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).

3.如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.

4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).

5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).

6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.

7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与AB等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°, 如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?

8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.

1.5 测量物体的高度
1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容:
课题
在两岸近似平行的河段上测量河宽
测量目
标图示

测得数据
∠CAD=60°,AB=30m,∠CBD=45°,∠BDC=90°
请你根据以上的条件,计算出河宽CD(结果保留根号).
2、活动报告
课题
利用测倾器测量学校旗杆的高

测量示意图

测量数据
BD的长
BD=20.00m
测倾器的高
CD=1.21m
倾斜角
α=28°
计算
旗杆高AB的计算过程(精确到0.1m)

3.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)

4.为了测量校园内一棵不可攀树的高度, 学校数学应用实践小组做了如下的探索:
实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算 树AB的高度(精确到0.1米)
实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2. 5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题:
(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________.
(2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;
(3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____.
(4)写出求树高的算式:AB=___________.

5、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：

A
B
太
阳
光
线
C
D
E
实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米）

回顾与思考
一、知识回顾
　1．锐角三角函数的概念
　如图，在ABC中，∠C为直角，则锐角A 的各三角函数的定义如下：
(1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做
∠A的正弦，记作sinA，  即sinA＝
(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做
∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝
(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做
∠A的正切，记作tanA，即tanA＝
2．三角函数的关系
(1)同角的三角函数的关系
1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1 2)倒数关系：tgA·ctgA＝1
3)商的关系：tgA＝，ctgA＝
(2)互为余角的函数之间的关系
　　sin(90°－A)＝cosA， cos(90°－A)＝sinA
tg(90°－A)＝ctgA，Ctg(90°－A)＝tgA
3．直角三角形中的边角关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2
(2)锐角之间的关系 ：A＋B＝90°
(3)边角之间的关系 ：sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝tgA＝ctgB＝，
4．一些特殊角的三角函数值

0°
30°
45°
60°
90°
Sinα
0

1
Cosα
1

0
tgα
0

1

-----
ctgα
-----

1

0

5．锐角α的三角函数值 的符号及变化规律。
(1)锐角α的三角函数值都是正值
(2)若0≤α≤90° 则Sinα，tgα随α的增大而增大，Cosα，Ctgα随 α的增大而减小。
6．解直角三角形
(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角。
(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过程叫做解直角三角形。
7、常用到下面几个概念：
(1)仰角、俯角 视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角
(2)坡度 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，即i＝
(3)坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示则tgα＝i＝
(4)方位角 从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角。