资源描述
整式
一、教法建议
【抛砖引玉】
通过生活中的实例，引出本章也是本单元学习的内容是单项式，多项式，整式的有关概念，合并同类项，去括号，添括号的法则，以及整式的加减运算.在教学中先讲授单项式，后讲授多项式，再归纳出整式概念，关于单项式，依次讲清楚单项式的意义，单项式的系数和次数，单项式的系数是对式中的字母来说的，有数字系数与字母系数不同.单项式的次数是式中所有的字母的指数的和，而且次数仅仅与字母有关，要注意a1规定为a，指数1不写出，切不可把a的指数1当作0.单独一个非零的数，也是单项式，叫做零次单项式.数0也可以看作单项式，它没有任何确定的次数，多项式建立在单项式概念的基础上.教学时，通过实例，归纳出多项式的概念，使学生掌握单项式与多项式的关系，重点在于使学生认识多项式是几个单项式的和，每个单项式是该多项式的一个项，各项都包括它前面的符号，这一点在教学时要特别予以强调.同时要使学生弄清楚单项式的系数，次数与多项式的项数，次数等概念的区别与联系.多项式的各项，可以根据加法交换律和结合律交换位置，使式子变形而不改变多项式的值，要特别注意，变更项的位置时，一定要连同符号一起移动.对于多项式的排列方法，重新排列时要注意两点：一是先确定按照哪个字母的指数来排列，二是确定是按字母的升幂排列或降幂排列.在教学中，通过学生熟悉的实例引出同类项，并在对同一个多项式的各项进行比较的基础上给出同类项的概念，关于同类项的概念，要突出判断同类项的两条标准：一是字母相同；二是相同字母的指数分别相同，这两个条件缺一不可.由此讲授合并同类项的方法.去括号与添括号正好相反，检查添括号是否正确，可以用去括号检验，反之亦然.整式的加减实际就是合并同类项，在运算时，如果遇到数与多项式相乘，运用分配律计算；遇到括号，运用去括号法则，先去掉括号再合并同类项.要求学生注意练习，达到熟练.
【指点迷津】
合并同类项是本单元的重点，也是一个难点.为此，必须抓好三个关键环节的教学.首先要使学习掌握同类项的概念，会辩别同类项，准确地掌握判断同类项的两条标准.对于同类项，既要求含有相同字母，又要求每一个相同字母的指数都要相同，要使学生判断无误；其次，要使学生明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，多项式中的同类项合并后，项数减少，多项式变得比原来简单了.最后，要使学生切实掌握合并同类项的方法，明确“合并”是指同类项的系数相加，把得到的结果做为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变.在多项式中只有同类项可以合并，非同类项不可合并，要结合实例，对结果进行分析，指出多项式中只要不再有同类项，就是最后的结果.去括号和添括号，括号中符号的处理是教学中的难点，去括号和添括号都是对多项式变形，要根据去括号和添括号的法则进行.掌握法则的关键是把去掉或添上括号与括号前面的符号看成统一整体，这一点，学生不易理解，在教学中，要结合例题作些分析.
二、学海导航
【基础思维】
1.含有数字与字母积的代数式叫做 单独一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做 .一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的 .
2.几个单项式的和叫做 .在多项式中，每个单项式叫做 .其中，不含字母的项叫做 .在多项式里，次数最高项的次数，就是这个 .把一个多项式按某一个字母的指数从 排列起来，叫做把多项式按这个字母
排列.把一个多项式按 的指数从小到大的顺序排列起来叫做 升幂排列.
3.单项式和 统称 .
4.所有字母相同，并且相同字母的 也相同的项叫做 .几个常数项也是 .把多项式中的同类项合并成一项，叫做 .合并同类项的法则是： .
5.去括号法则：
括号前是“+”号，把
.
括号前是“－”号，把
.
6.添括号法则：
添括号后，括号前面是“+”号，
.
添括号后，括号前面是“－”号，
.
7.整式加减的一般步骤是：1.如遇到括号，按 ；2.合并 .
【学法指要】
例1、填表：
单项式
－x2y2
a
－7x2
0.68mn
－
πr3
系数
次数
揭示思路：根据单项式的系数，次数的定义可知：
系数依次是：－1，1，－7，0.68，－，
次数依次是：四次，一次，二次，二次，四次，三次.
对于－x2y2可看成－1·x2y2，而a可看成1·a，所以它们的系数分别为－1，1，只是“1”通常省略不写.a1规定为a，指数也可省略.它的次数是一次而不是零次.对于以上问题，必须引起重视，才能避免错误的产生.对于单项式的系数必须包括前面的符号，千万不能把符号遗失.对于－可写成－的形式，这时便知系数为－，指数为四次.对于中的“”是无限不循环小数， = 3.14159265……，它是一个数，不能当作字母.
例2、把多项式2xy2－x2y +x3y3－7重新排列：
(1)按x的降幂排列；(2)按y的升幂排列.
揭示思路：根据升幂或降幂的法则进行排列如下：
(1) x3y3－x2y +2xy2－7
(2)－7－x2y +2xy2 +x3y3
排列多项式时要分清多项式中的各项，例如，2xy2－x2y +x3y3－7的项是：2xy2，－x2y，+x3y3，－7；重新排列多项式时，各项都要带着符号移动位置.对含有两个或者两个以上字母的多项式，一般按其中的某一个字母的指数排列顺序.多项式的系数带有“+”号，移到首项时“+”号可以省略，首项移到后面时应添上“+”号.
例3、下列说法：（选择）
(1)－2000与2001是同类项；
(2)4a2bc与－bca2是同类项；
(3)－x4与x3是同类项；
(4)－4(a－b)2与3(a－b)2可以看作同类项.
其中正确的个数有（ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
揭示思路：
根据同类项的定义可知：(1)题中它们是常数项，所以－2000与2001是同类项.(2)题中字母的顺序有所变化，但仍然符合同类项的条件，因此4a2bc与－bca2是同类项.(3)题中所含字母相同，但相同字母次数不相同，不符合同类项的条件，所以它们不是同类项.(4)题中把(a－b)看成一个整体，即符合同类项的条件，可以看作是同类项.
故正确的个数有3个，选(C).
根据同类项的定义，同类项要求所含字母相同，且相同的字母的次数也相同，它与系数，所含字母顺序无关.
例4、合并下列多项式中的同类项
(1)5ab2－5ab3 + 0.5a3b－3ab2 + 6ab3－4.5a3b
(2)x2－x + 0.2x3 + 0.25x－0.5x2－x3
(3)3(a－b)2－7(a－b) + 8(a－b)2 + 6(a－b)
(4)3xy－x3y2－－x3y2－4
揭示思路：根据合并同类项的法则可知：
(1)原式= (5－3)ab2 + (－5 + 6)ab3 + (0.5－4.5)a3b
= 2ab2 + ab3－4a3b
(2)原式= (－0.5)x2 + (－ + 0.25)x + (0.2－)x3
= 0
(3)原式= (3 + 8)(a－b)2 + (－7 + 6)(a－b)
= 11(a－b)2－(a－b)
(4)原式= (3－)xy + (－1－)x3y2－4
= xy－x3y2－4
要正确合并同类项，必须先找准同类项.再把同类项的系数相加，字母与字母系数不变.合并同类项时，要带着每一项的符号交换多项式的位置，防止出现符号错误.合并后的同类项系数通常要化成假分数.(a－b)2，(a－b)都是多项式，要把(a－b)看成一个字母，即各当作一个因式合并同类项，同时要注意：(a + b) = (b + a)，(a－b)2 = (b－a)2等
例5、先去括号，再合并同类项：
(1)a－(3a－2b)－(4a + 3b)
(2)－(x2－y2) + (－4x2－3)－(x2 + y2)
(3)(x2－y2)－4(2x2－3y)
(4)(5a2－4ab)－(3a2 + 2ab－b2)
揭示思路：
根据去括号的法则，可进行如下计算：
(1)原式= a－3a + 2b－4a－3b
= (1－3－4)a + (2－3)b
= －6a－b
(2)原式=－x2 + y2－4x2－3－x2－y2
= －6x2－3
(3)原式= (x2－y2)－(8x2－12y)
= x2－y2－8x2 + 12y
=－7x2－y2 + 12y
(4)原式= a2－2ab－a2－ab + b2
= a2－ab + b2
题目要求“先去括号，再合并同类项”，指出多项式化简的动作顺序.但要正确去掉括号，必须牢记去括号的法则，对括号前是“－”号的尤其要注意.法则的“去掉”是把“括号”和“前面的符号”一起去掉，“不变”及“改变”是指括号里“各项”的符号，而不是某一项或部分项的“不变”和“改变”.对于含有数与多项式相乘，要注意它们的运算步骤；先用乘法分配律计算数与多项式相乘，再去括号，最后合并同类项.熟练后，可将相乘与括号同时进行，省略第二步.
例6、按下列要求，把多项式4a2－3b + 2c－7添上括号：
(1)把它放在前面带有“－”号的括号里.
(2)把它的后三项放在前面带有“+”号的括号里.
(3)把它的中间两项放在前面带有“－”号的括号里
(4)把它的前两项放在前面带有“－”号的括号里，把它的后两项也放在前面带有“－”号的括号里.
揭示思路：
根据添括号的法则可知：
(1)4a2－3b + 2c－7 = －(－4a2 + 3b－2c + 7)
(2)4a2－3b + 2c－7 = 4a2 + (－3b + 2c－7)
(3)4a2－3b + 2c－7 = 4a2－(3b－2c)－7
(4)4a2－3b + 2c－7 = －(－4a2 + 3b)－(－2c + 7)
无论是将多项式去括号还是添括号，都是在不改变多项式的值的前提下进行的多项变形.它也是检查去括号，添括号是否正确的根本标准.另外，添括号与去括号正好相反.要想检查添括号是不是正确，可以用去括号法则去检查，反之亦正确.在添括号的过程中，一定要注意符号的变化，尤其添括号前面有“－”号的，更要谨慎.
例7、计算：
2(a2b + 2b3－ab2) + 3a3－(2ba2－3ab2 + 3a3)－4b3
揭示思路：
根据整式加减的一般步骤可知：
原式= 2a2b + 4b3－2ab2 + 3a3－2a2b + 3ab2－3a3－4b3
= ab2
整式的加减一定要遵循它的两大步骤，并在去括号时，注意符号的变化.
例8、先化简再求值：
－(2xy－y2 + x2)－2(xy + y2－x2)，其中x =－1，y =－2
揭示思路：
按照题目要求，可作如下计算：
原式=－2xy + y2－x2－xy－y2 + 2x2
= －xy + y2 + x2
当x =－1，y =－2时，
原式=－×(－1)×(－2) + ×(－2)2 + (－1)2
=－ + 2 +
=－
当把字母的给定数值代入化简后的代数式时，遇到乘方或原来省略乘号的地方，则需要添上括号或者乘号.
【思维体操】
例、计算：
3mn2－2m2n－{5m2n－mn2－[4mn2－3m2n + (8m2n－6mn2)]}
揭示思路：
本例有多层括号，根据运算顺序，应逐层去括号.在具体去括号时，又可灵活些，可由里向外，也可由外向里，也可里外同时，总之，既要符合运算律，又要注意符号的变化，于是可找到如下几种思路.
解法一：（由里向外去括号）
原式= 3mn2－2m2n－{5m2n－mn2－[4mn2－3m2n + 8m2n－6mn2]}
= 3mn2－2m2n－{5m2n－mn2－4mn2 + 3m2n－8m2n + 6mn2}
= 3mn2－2m2n－5m2n + mn2 + 4mn2－3m2n + 8m2n－6mn2
= (3 + 1 + 4－6)mn2 + (－2－5－3 + 8)m2n
= 2mn2－2m2n
解法二：（由外向里去括号）
原式= 3mn2－2m2n－5m2n + mn2 + [4mn2－3m2n + (8m2n－6mn2)]
= 3mn2－2m2n－5m2n + mn2 + 4mn2－3m2n + (8m2n－6mn2)
= 3mn2－2m2n－5m2n + mn2 + 4mn2－3m2n + 8m2n－6mn2
= (3 + 1 + 4－6)mn2 + (－2－5－3 + 8)m2n
= 2mn2－2m2n
解法三：（里，外同时去括号）
原式= 3mn2－2m2n－5m2n + mn2 + [4mn2－3m2n + 8m2n－6mn2]
= 4mn2－7m2n + 5m2n－2mn2
= 2mn2－2m2n
有多层括号的整式运算，既可由里往外，按小®中®大的程序，逐层去掉括号，再合并同类项，去括号时一定要注意符号的变化.也可按由外向里的顺序逐层去括号，要注意去大括号时，应把中括号看作一个整体.同样，去中括号时，应把小括号看作一个整体.如果里外同时去括号，并在去括号的同时进行合并同类项，可以简化运算，提高计算的速度.总之对本单元所学知识要熟练掌握，综合应用时，灵活运用知识，便可收到好的效果.
三、智能显示
【心中有数】
对本单元应理解整式，单项式，多项式的概念.对于给出的式子，会确定是不是整式.会回答出单项式的系数，次数，多项式的项数，次数，能把一个多项式按某一个字母的降幂或升幂排列.合并同类项是本单元重点，又是难点，因之，一定会判断给出的项是不是同类项，掌握合并同类项的要点，会熟练地合并同类项.去括号是整式加减的基础，也是本单元重点之一.要熟练掌握去括号和添括号的法则.熟练进行数与整式相乘的运算及整式加减运算.
【动脑动手】
1.化简：(－3x－5y)－5(3x2－4y－2)
2.某个整式减去2ab－3bc－4ac，误为加上此式，则得到的结果为ab + 2bc－3ac，试求这个整式.
3.已知A= y2－x2，B=－4xy + y2，求5A2－[－3A + (4A2－B)－B + A2]
4.已知m－n = 3，mn = －3
求：(－m－4n－mn)－(2mn－2m－3n)－(3mn + 2n－2m)的值.
5.三角形的第一边是a + 2b，第二边比第一边大(b－2)，第三边比第二边小5a－b，计算三角形的周长.
【创新园地】
1.证明：(a3 + 3a2 + 4a－1) + (a2－3a + a3－3)－(－8 + a + 4a2 + 2a3)的值与a的值无关.
2.有这样一道题：“当a = 0.35，b =－0.28时，求多项式7a3－6a3b + 3a2b + 3a3 + 6a3b－3a2b－10a3的值.”有一位同学指出，题目中给出的条件a = 0.35，b =－0.28是多余的，他的说法有没有道理.
【动脑动手】答案
1.原式=－3x－5y－15x2 + 20y + 10
=－15x2－3x + 15y + 10
也可这样解：
原式=－3x－5y－(15x2－20y－10)
=－3x－5y－15x2 + 20y + 10
=－15x2－3x + 15y + 10
2.依题意可列式子为：
(ab + 2bc－3ac)－(2ab－3bc－4ac)
= ab + 2bc－3ac－2ab + 3bc + 4ac
=－ab + 5bc + ac
因此，这个多项式为：－ab + 5bc + ac
3. 5A2－[－3A + (4A2－B)－B + A2]
= 5A2 + 3A－(4A2－B) + B－A2
= 5A2 + 3A－4A2 + B + B－A2
= 3A + 2B
当A = y2－x2，B =－4xy + y2时
原式= 3(y2－x2) + 2(－4xy + y2)
= 3y2－3x2－8xy + 2y2
= 5y2－3x2－8xy
4. (－m－4n－mn)－(2mn－2m－3n)－(3mn + 2n－2m)
=－m－4n－mn－2mn + 2m + 3n－3mn－2n + 2m
= 3m－3n－6mn
= 3(m－n)－6mn
当mn =－3，m－n = 3时
原式= 3×3－6×(－3)
= 9 + 18 = 27
5.依题意得三角形的周长是：
(a + 2b) + [(a + 2b) + (b－2)] + {[(a + 2b) + (b－2)]－(5a－b)}
= a + 2b + (a + 2b + b－2) + {a + 2b + b－2－(5a－b)}
= a + 2b + a + 3b－2 + (a + 3b－2－5a + b)
= 2a + 5b－2－4a + 4b－2
= 9b－2a－4
【创新园地】答案
1.证明：因为
(a3 + 3a2 + 4a－1) + (a2－3a + a3－3)－(－8 + a + 4a2 + 2a3)
= a3 + 3a2 + 4a－1 + a2－3a + a3－3 + 8 －a－4a2－2a3
= (1 + 1－2)a3 + (3 + 1－4)a2 + (4－3－1)a + (－1－3 + 8)
= 4
所以(a3 + 3a2 + 4a－1) + (a2－3a + a3－3)－(－8 + a + 4a2 + 2a3)的值与a的值无关.
2.因为
7a3－6a3b + 3a2b + 3a3 + 6a3b－3a2b－10a3
= (7 + 3－10)a3 + (－6 + 6)a3b + (3－3)a2b
= 0
所以，这个同学说的很有道理.
四、同 步 题 库
一、 填空题
1.-3ab2c3的系数是 ，次数是 .
2.若A=9x3+16xy2+8y3,B=3x3-4y2+16xy2,则A-B= .
3.若1<a<3,则|1-a|+|3-a|= .
4.若a3+b3=35,a2b-ab2=-6,则(a3-b3)+(3ab2-a2b)-2(ab2-b3)的值是 .
5.三个抽屉共有扑克a张，第一个抽屉装有张，第二个抽屉装有张（n为正整
数），那么第三个抽屉装有 张（用含a、n的代数式表示），如果第三个抽屉装有扑克303张，那么n= ，a= .
6.已知，则(x-6)2+x2= .
7.当x=-0.3,y=0.2时，则代数式(|3x-2y|-|2x-3y|)2的值为 .
8.多项式，按b的升幂排列是 .
9.-5xmym-n和是同类项，则m= ,n= .
10.计算-x2-x2-x2的结果是 .
二、 选择题
11.已知a-b=-3,c+d=2,则(b+c)-(a-d)的值为 .
（A）-1 （B）-5 （C）5 （D）1
12.下列说法正确的是 .
（A） 代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，0是代数式
（B） 规定了原点和单位长度的直线叫数轴
（C） 同类项是一些所含字母相同的项
（D） 有理数与数轴上的点对应关系是一一对应
13.设a是最小的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c三数的和为 .
（A）-1 （B）0 （C）2 （D）不存在
14.下面说法正确的是 .
（A）x的系数为0 （B）0是单项式
（C）的次数是3 （D）是一次单项式
15.下列各式去括号正确的是 .
（A）a-(a-b+c)=a-a+b+c （B）a-[-(-b-c)]=a-b-c
（C）(x+y)-(x-y)=2x-2y （D）(x-y)-(y-x)=0
16.等于 .
（A） （B）
（C） （D）
17.下列数量关系中,用代数式表示出结果是单项式的是 .
（A） a与b的和的2倍
（B） a与b的平方的差
（C） 比a的倒数大1的数
（D） a的2倍的相反数
18.若a<b，则|b-a+1|-|a-b-5|的值是 .
（A）4 （B）-4
（C）-2a+2b+6 （D）不能确定
19.一人在一墙边围成一块梯形园地，三面用篱笆围，设一腰为a,另一腰长2a+b，与墙对面的边比两腰和还长b，则此篱笆总长是 .
（A）3a+2b （B）6a+3b
（C）4a+2b （D）5a+3b
20. 2y z ，去括号后，空格内所填的符号，依次是 .
（A）+、-、+ （B）+、+、-
（C）-、-、+ （D）-、+、-
三、 解答题
21.计算：（1）
（2）
（3）
22.化简求值：
（1） 令，求的值.
（2） 已知
（3）
（4）
（5） 已知a=3b,c=5a,求的值.
23.若P、P+10、P+14都是质数，求出所有符合条件的质数P，并证明你的结论.
24.已知A=2x3-xyz,B=y3-z2+xyz,C=-x3+2y2-xyz,且(x+1)2+|y-1|+|z|=0，求A-[2B-3(C-A)]的值.
25.某水果店一天出售苹果a千克，单价x元，出售香蕉的量是苹果的2倍少2千克，单价是苹果价的1.5倍，求这一天商店的出售额.当a=15,x=0.8时，计算出金额数.
26.一个三位数，百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c.如果取其倒序（即a、c交换位置），又得三位数，用代数式表示原三位数减去新三位数的差（a>c）.当a、b、c分别取5、2、3时，求其差值.
27.暑假两名教师带8名学生外出旅游，教师旅游费每人a元，学生每人b元，因是团体给予优惠，教师按8折优惠，学生按6.5折优惠，共需交旅游费多少元？并计算出a=30, b=20时旅游费的金额.
28.三角形的第一边是a+2b，第二边比第一边大(b-2)，第三边比第二边小a-5b.计算三角形的周长.
29.已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于，计算：a+b+3x2-[2(x-3)+3x2-(-9x)]-cdx的值.
30.在长为a米，宽为b米矩形耕地上，修建宽为c米的三条道路（两条纵向，一条横向，横向与纵向相互垂直），把耕地分成大小相等的六块试验田，求每块试验田的面积.当a=32,b=20,c=1.5时，计算其值.(精确到0.01)如右图.
参 考 答 案
同步题库
一、 填空题
1.-3;6 2.6x3+8y3+4y2 3.2 4.41 5.;5;3535 6.50 7.0.01
8. 9.3;1 10.-3x2
二、 选择题
11.C 12.A 13.B 14.B 15.B 16.D 17.D 18.C 19.B 20.C
三、 解答题
21.解（1）
（2）
（3）
22.（1）解：
∵ x=2,y=-
∴
=12+3
=15
(2)解: ∵ m=3a2-2b2+c2;n=a2-b2-3c2
∴ 3m-2n=3(3a2-2b2+c2)-2(a2-b2-3c2)
=9a2-6b2+3c2-2a2+2b2+6c2
=7a2-4b2+9c2
(3)解:
=5-1-6
=-2
(4)解:-(7x-y-2z)-{[4x-(x-y-z)-3x+z]-x}
=-7x+y+2z-[(4x-x+y+z-3x+z)-x]
=-7x+y+2z-(y+2z-x)
=-7x+y+2z-y-2z+x
=-6x
(5)解: ∵ a=3b,c=5a
∴
23.证明当P=2时，则P+10=12，能被2或3整除,所以P=2不符合条件；当P=3时,P+10=13, P+14=17都是质数,显然P=3符合条件；若P为2,3以外的质数,不妨设P=3n+1或P=3n+2(n为正整数).当P=3n+1时,P+14=3n+1+14=3(n+5),它能被3整除,故P不可能为3n+1；当P=3n+2时，P+10=3n+2+10=3(n+4)，它能被3整除，故P也不可能为3n+2.因此，所有符合条件的质数只有P=3.
24.解：根据非负数性质，得
解得
∴ 把x=-1,y=1,z=0代入得
A=2·(-1)3-(-1) ·1·0=-2
B=13-0-0=1
C=-(-1)3+2·12-0=3
∴ A-[2B-3(C-A)]=A-[2B-3C+3A]
=A-2B+3C-3A
=-2A-2B+3C
∵ A=-2,B=1,C=3
∴ -2A-2B+3C=-2·(-2)-2·1+3·3
=4-2+9=11
25.解：根据题意列出销售额的式子为
ax+1.5(2a-2)x
∵ a=15,x=0.8
∴ ax+1.5(2a-2)x=15×0.8+1.5(2×15-2)·0.8
=45.6（元）
∴ 这一天商店的出售额45.6元.
26.解：差为100a+10b+c-(100c+10b+a)=99a-99c
∵ a=5,b=2,c=3
∴ 99a-99c=99×(5-3)
=198
∴ 其差值为198.
27.解：共需交旅游费的式子为
2×a×80%+8×b×65%
∵ a=30,b=20
∴ 2×a×80%+8×b×65%=2×30×80%+8×20×65%
=60×0.8+160×0.65
=48+104
=152（元）
∴ 旅游费的金额为152元.
28.解：三角形的周长=a+2b+(a+2b)+(b-2)+(a+2b)
+(b-2)-(a-5b)
=a+2b+a+2b+b-2+a+2b+b-2-a+5b
=2a+13b-4
29.解：依题意得
a+b=0a=-b,cd=1,
或
∴
∴ 当时，
当时，
30.解：每块试验田的面积为
当
∴
=89.42（米2）
∴ 每块试验田的面积为89.42米2.
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